函數(shù)對(duì)稱性周期性和奇偶性的規(guī)律總結(jié)大全完整版

函數(shù)自身)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函正數(shù)叫做最小正周期。2、對(duì)稱性定義(略)，請(qǐng)用圖形來(lái)理解。我們知道：偶函數(shù)關(guān)于y(即x=0)軸對(duì)稱，偶函數(shù)有關(guān)系式f(x)=f(x)奇函數(shù)關(guān)于(0，0)對(duì)稱，奇函數(shù)有關(guān)系式f(x)+f(x)=0上述關(guān)系式是否可以進(jìn)行拓展？答案是肯定的探討：(1)函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱一f(a+x)=f(ax)f(a+x)=f(ax)也可以寫成f(x)=f(2ax)或f(x)=f(2a+x)11y=f(x)=f(2ax)，即點(diǎn)(2ax,y)也在y=f(x)上，而點(diǎn)(x,y)與111111111x對(duì)稱22x對(duì)稱22(2)函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱一f(a+x)+f(ax)=2b簡(jiǎn)證：設(shè)點(diǎn)(x,y)在y=f(x)上，即y=f(x)，通過(guò)1111f(2ax)+f(x)=2b可知，f(2ax)+f(x)=2b，所以1faxbfxbyaxby)也在y=f(x)11111111b(1)函數(shù)y=f(x)滿足如下關(guān)系系，則f(x)的周期為2TC、f(x+T)=1+f(x)或f(x+T)=1f(x)(等式右邊加負(fù)號(hào)亦成立)21f(x)21+f(x)(2)函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(ax)且f(b+x)=f(bx)，則可推出f(x)=f(2ax)=f[b+(2axb)]=f[b(2axb)]=f[x+2(ba)]即可以得到y(tǒng)=f(x)的周期為2(b-a)，即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于垂直于x軸兩條直線對(duì)稱，則函數(shù)一定是周期函數(shù)”(3)如果奇函數(shù)滿足f(x+T)=f(x)則可以推出其周期是2T，且可以推出對(duì)稱軸為x對(duì)稱軸為x=+2kT(kz)，根據(jù)f(x)=f(x+2T)可以找出其對(duì)稱中心2如果偶函數(shù)滿足f(x+T)=f(x)則亦可以推出周期是2T，且可以推出對(duì)稱中心為(對(duì)稱中心為(+2kT,0)(kz)，根據(jù)f(x)=f(x+2T)可以推出對(duì)稱軸為2x=T+2kT(kz)(以上T0)(4)如果奇函數(shù)y=f(x)滿足f(T+x)=f(Tx)(T0)，則函數(shù)yfx)是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)y=f(x)滿足f(T+x)=f(Tx)(T0)，則函數(shù)y=f(x)是以2T為周期的周期性函定理3：若函數(shù)f(x)在R上滿足f(a+x)=f(ax)，且f(b+x)=f(bx)(其中a豐b)，則函數(shù)y=f(x)以2(ab)為周期.定理4：若函數(shù)f(x)在R上滿足f(a+x)=f(ax)，且f(b+x)=f(bx)(其中a豐b)，則函數(shù)y=f(x)以2(ab)為周期.定理5：若函數(shù)f(x)在R上滿足f(a+x)=f(ax)，且f(b+x)=f(bx)(其中a豐b)，則函數(shù)y=f(x)以4(ab)為周期.xxa定理1：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(bx)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱.推論1：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(ax)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.推論2：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線定理2：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(ax)=2b，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.推論3：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(ax)=0，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于推論4：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+f(x)=0，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)三、總規(guī)律：定義在R上的函數(shù)y=f(x)，在對(duì)稱性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中，只1．已知定義為R的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x+4)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+w)上單調(diào)遞增.如果x<2<x，且x+x<4，則f(x)+f(x)的值(A).121212分析：f(-x)=-f(x+4)形似周期函數(shù)f(x)=f(x+4)，但事實(shí)上不是，不過(guò)我們可以取特殊值代入，通過(guò)適當(dāng)描點(diǎn)作出它的圖象來(lái)了解其性質(zhì).或者，先用x-2代替x，使f(-x)=-f(x+4)變形為f(2-x)=-f(x+2).它的特征就是推論3.因此圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱.f(x)在區(qū)間(2,+w)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-w,2)上也單調(diào)遞增.我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個(gè)單位.x<4-x，且函數(shù)在(2,+w)上單調(diào)遞增，所以21f(x)<f(4-x)，又由f(-x)=-f(x+4)，21有f(4-x)=f[-(x-4)]=f(x-4+4)=-f(x)，11：f(x)+f(x)<f(x)+f(4-x)=f(x)-f(x)=0.選A.121111當(dāng)然，如果已經(jīng)作出大致圖象后，用特殊值代人也可猜想出答案.2：在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)=f(2x).若f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函fx)=f(2x)可知f(x)圖象關(guān)于x=1對(duì)x=0對(duì)稱，可得到f(x)為周期函數(shù)且最小正周期為2，BA.0B.1C.3D.5TTTT分析：f(T)=f(T)=0，f()=f()=f(+T)=f()，TTTT2222TTTT224．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2和x=4都對(duì)稱，且當(dāng)0x1時(shí)，f(x)=x.求f(19.5)的值.xf(999)中最多有(B)個(gè)不同的值.ABC.183D.199. 6：已知f(x)=，f1(x)=ff(x)，f2(x)=ff1(x)，…，fn+1(x)=ffn(x)，則f2004(-2)=(A).171B.7C.-5f(x)為迭代周期函數(shù)，故f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，f(-2)=f(-2)=-1.3n200420047nnn-225A．0B．1C．D．52fx其滿足在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，根據(jù)圖像，即可求出，答案為B。奇函奇函數(shù)，且f(x)-g(x)=，則f(x)等于(C)A.1B.2x2C.2D.2x分析：答案為C.本題是考察函數(shù)奇偶性的判定，并不難，根據(jù)奇偶性的定義，即可得出2fx122121221121一xx21x21212121211一xx12即f(x)<f(x).∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0∴f(x)在21(－1，1)上為減函數(shù).ffyfxxyfx析式.xx2 [01]，都有f(x＋x)＝f(x)·f(x)，且f(1)=a＞0．21212(Ⅲ)記a＝f(2n＋1)，求a．n2nn(Ⅰ)解：因?yàn)閷?duì)x，x∈[0，1]，都有f(x＋x)＝f(x)·f(x),1221212f(1)＝a＞0，24故f(x)＝f(1＋1－x)，(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f(x)≥0，x∈[0，1]22n2n2n2n2nn賞析黃愛民【大中小】【關(guān)閉】對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)，下面總結(jié)這兩個(gè)性質(zhì)的幾個(gè)重要結(jié)論及運(yùn)(一)函數(shù)圖象本身的對(duì)稱性(自身對(duì)稱)1、函數(shù)滿足(T為常數(shù))的充要條件是的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。2、函數(shù)滿足(T為常數(shù))的充要條件是的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。3、函數(shù)滿足的充要條件是圖象關(guān)于直線4、如果函數(shù)滿足且，(和是不關(guān)于直線對(duì)稱。6、曲線關(guān)于直線對(duì)稱曲線為關(guān)于直線對(duì)稱。6、曲線關(guān)于直線對(duì)稱曲線為相等的常數(shù))，則是以為為周期的周期函數(shù)。5、如果奇函數(shù)滿足()，則函數(shù)是以4T6、如果偶函數(shù)滿足()，則函數(shù)是以2T(二)兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性(相互對(duì)稱)(利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理1X2Y、曲線、曲線關(guān)于直線對(duì)稱曲線為、曲線、曲線關(guān)于直線對(duì)稱曲線為、曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱曲線為1、定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足時(shí),,則。2、已知函數(shù)滿足，則圖象關(guān)于__________對(duì)與函數(shù)的圖象關(guān)于關(guān)于__________對(duì)稱。R9、函數(shù)定義域?yàn)镽，且恒滿足和，當(dāng)R9、函數(shù)定義域?yàn)镽，且恒滿足和，當(dāng)4、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，則的圖象關(guān)于