廣東省汕頭市高堂中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省汕頭市高堂中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為A．588

B．480

C．450

D．120參考答案：B略2.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.i是虛數(shù)單位，若

(a，b∈R)，則乘積ab的值是A.－15

B.－3

C.3

D.15參考答案：B∵.∴a=－1，b=3.∴ab=－3，故選擇B.4.如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧得到的封閉圖形.在此圖形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等邊三角形內(nèi)的概率是(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】求出以為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，圓心角為的扇形的面積，根據(jù)圖形的性質(zhì)，可知它的3倍減去2倍的等邊三角形的面積就是萊洛三角形的面積，運(yùn)用幾何概型公式，求出概率.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，設(shè)以為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，圓心角為的扇形的面積為，則，，萊洛三角形面積為，則,在此圖形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等邊三角形內(nèi)的概率為,,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型.解決本題的關(guān)鍵是正確求出萊洛三角形的面積.考查了運(yùn)算能力.5.過直線x+y=0上一點(diǎn)P作圓C：（x+1）2+（y﹣5）2=2的兩條切線l1，l2，A，B為切點(diǎn)，當(dāng)CP與直線y=﹣x垂直時(shí)，∠APB=（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓．【分析】判斷圓心與直線的關(guān)系，在直線上求出特殊點(diǎn)，利用切線長(zhǎng)、半徑以及該點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成直角三角形，求出∠APB的值．【解答】解：顯然圓心C（﹣1，5）不在直線y=﹣x上．由對(duì)稱性可知，只有直線y=﹣x上的特殊點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)與圓心連線垂直于直線y=﹣x，從這點(diǎn)做切線才能關(guān)于直線y=﹣x對(duì)稱．所以該點(diǎn)與圓心連線所在的直線方程為：y﹣5=x+1即y=6+x，與y=﹣x聯(lián)立，可求出該點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3），所以該點(diǎn)到圓心的距離為=2，由切線長(zhǎng)、半徑以及該點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成直角三角形，又知圓的半徑為．所以兩切線夾角的一半的正弦值為=，所以?shī)A角∠APB=60°故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切的關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，常考題型．6.函數(shù)y=ax2+bx與y=（ab≠0，|a|≠|(zhì)b|）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】可采用反證法做題，假設(shè)A和B的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象正確，由二次函數(shù)的圖象推出矛盾，所以得到A和B錯(cuò)誤；同理假設(shè)C和D的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象正確，根據(jù)二次函數(shù)圖象推出矛盾，得到C錯(cuò)誤，D正確．【解答】解：對(duì)于A、B兩圖，||＞1而ax2+bx=0的兩根為0和﹣，且兩根之和為﹣，由圖知0＜﹣＜1得﹣1＜＜0，矛盾，對(duì)于C、D兩圖，0＜||＜1，在C圖中兩根之和﹣＜﹣1，即＞1矛盾，C錯(cuò)，D正確．故選：D．7.設(shè)點(diǎn)P在曲線y=ex上，點(diǎn)Q在曲線y=lnx上，則|PQ|最小值為(

) A． B． C． D．ln2參考答案：A考點(diǎn)：反函數(shù)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：考慮到兩曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，從而得此距離解答： 解：∵曲線y=ex（e自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與曲線y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，故可先求點(diǎn)P到直線y=x的最近距離d，設(shè)曲線y=ex上斜率為1的切線為y=x+b，∵y′=ex，由ex=1，得x=0，故切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），即b=1，∴d==，∴丨PQ丨的最小值為2d=．故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法8.一顆正方體骰子，共六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別是1、2、3、4、5、6，將這顆骰子排擲三次觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則三次點(diǎn)次和為16的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.設(shè)，不等式的解集是，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為……（） A． B． C． D．參考答案：A6節(jié)課共有種排法.語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課中間隔1節(jié)藝術(shù)課有種排法，三門文化課中、都相鄰有種排法，三門文化課中有兩門相鄰有，故所有的排法有，所以相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為,選A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為

．參考答案：12.設(shè)P、Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為____

_參考答案：13.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積 為

▲

cm3．參考答案：12cm3

略14.請(qǐng)閱讀下列材料：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，求證：.證明：構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)，恒有，所以，從而得，所以.根據(jù)上述證明方法，若個(gè)正實(shí)數(shù)滿足時(shí)，你能得到的結(jié)論是__________________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】類比推理．M1

解析：類比給出的材料，構(gòu)造函數(shù)，由對(duì)一切實(shí)數(shù)，恒有，所以，即可得到結(jié)論.故答案為：【思路點(diǎn)撥】類比給出的材料，構(gòu)造函數(shù)，由對(duì)一切實(shí)數(shù)，恒有，所以，即可得到結(jié)論.15.已知變量x，y滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)Z=e2x+y的最大值為．參考答案：e2考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題： 不等式的解法及應(yīng)用．分析： 設(shè)z=2x+y，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值．解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．設(shè)z=2x+y，由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)D（1，0）時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時(shí)z最大．代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×1+0=2．即z=2x+y的最大值為2，則Z=e2x+y的最大值為e2．故答案為：e2．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．16.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)銳角三角形，則實(shí)數(shù)的取值范是

.[參考答案：略17.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題13分）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）

參考答案：解：（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為.（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為012故的期望.（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.

19.(本小題滿分10分)如圖，AB為圓的直徑，P為圓外一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PCAB于C，交圓于D點(diǎn)，PA交圓于E點(diǎn)，BE交PC于F點(diǎn)．(I)求證：P=ABE；(Ⅱ)求證：CD2=CF·CP．參考答案：證明：（Ⅰ），所以在中，在中,所以……………….5分（Ⅱ）在中，，由①得∽,∴,∴,所以CD2=CF·CP?！?10分20.（本小題滿分12分）一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖4所示，其中俯視圖中．為側(cè)棱的中點(diǎn)．求證：平面；若為側(cè)棱上的一點(diǎn)，且，則為何值時(shí)，平面？并求此時(shí)幾何體的體積．參考答案：（1）由三視圖可知該四棱錐的底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長(zhǎng)為2，錐體高度為1。

………1分設(shè)AC，BD和交點(diǎn)為O，連OE，OE為△DPB的中位線，

………2分OE//PB，EO面EAC，PB面EAC，PB//面AEC

………5分

（2）過O作OFPA垂足為F在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，PO2=PF·PA，2PF=1，

…7分在菱形中BDAC，又因?yàn)镻O面ABCD，所以BDPO，及BD面APO，所以BDPA,又OFPA，從而PA平面BDF

…9分

當(dāng)時(shí)，在△POA中過F作FH//PO，則FH面BCD，F(xiàn)H=.

…12分21.已知在