第四章現(xiàn)代控制理論

第四章現(xiàn)代控制理論第一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性是系統(tǒng)性能研究的首要問(wèn)題！控制系統(tǒng)本身處于平衡狀態(tài)。受到擾動(dòng)，產(chǎn)生偏差。擾動(dòng)消失后，偏差逐漸變小，能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則穩(wěn)定。偏差逐漸變大，不能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則不穩(wěn)定。系統(tǒng)在初始偏差作用下，過(guò)渡過(guò)程的收斂性。第二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五經(jīng)典控制理論對(duì)穩(wěn)定性分析的局限性（1）局限于描述線性定常系統(tǒng)（2）局限于研究系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)勞斯（Routh）判據(jù)奈氏（Nyquist）判據(jù)第三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五現(xiàn)代控制理論對(duì)穩(wěn)定性分析的特點(diǎn)（1）穩(wěn)定判據(jù)可用于線性/非線性，定常/時(shí)變系統(tǒng)；（2）研究系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性；現(xiàn)代控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)李雅普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性理論（3）能夠反映系統(tǒng)穩(wěn)定的本質(zhì)特征。第四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)設(shè)系統(tǒng)方程為：不受外力n維狀態(tài)向量n維向量函數(shù)展開(kāi)式為：方程的解為：初始狀態(tài)向量初始時(shí)刻第五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五平衡狀態(tài)：各分量相對(duì)于時(shí)間不再發(fā)生變化所有狀態(tài)的變化速度為零，即是靜止?fàn)顟B(tài)

線性定常系統(tǒng)：平衡狀態(tài)：一個(gè)平衡狀態(tài)——狀態(tài)空間原點(diǎn)無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)第六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：機(jī)械位移系統(tǒng)選平衡狀態(tài)狀態(tài)方程第七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五平衡狀態(tài)：各分量相對(duì)于時(shí)間不再發(fā)生變化所有狀態(tài)的變化速度為零，即是靜止?fàn)顟B(tài)

非線性系統(tǒng)：平衡狀態(tài)：多個(gè)平衡狀態(tài)例：第八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：分析單擺的平衡狀態(tài)。解：選?。籂顟B(tài)方程：平衡狀態(tài)：第九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：分析單擺的平衡狀態(tài)。解：選?。籂顟B(tài)方程：平衡狀態(tài)：第十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性：系統(tǒng)在平衡狀態(tài)鄰域的局部的（小范圍的）動(dòng)態(tài)行為。線性系統(tǒng)：只有一個(gè)平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。非線性系統(tǒng)：有多個(gè)平衡狀態(tài)，且可能穩(wěn)定性不同，需將每個(gè)平衡點(diǎn)分別討論。第十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五歐式范數(shù)二、穩(wěn)定性的幾個(gè)定義表示向量的長(zhǎng)度表示向量到的距離表示狀態(tài)空間中，以為圓心，半徑為c的圓表示狀態(tài)空間中，以為球心，半徑為c的球第十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五歐式范數(shù)表示向量的長(zhǎng)度表示向量到的距離當(dāng)范數(shù)限制在某一范圍之內(nèi)時(shí)，可以表示為。且具有明確的幾何意義。用此概念來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)為球心，為半徑的閉球域內(nèi)，即若能使系統(tǒng)方程的解在的過(guò)程中，始終位于以為球心，任意規(guī)定的半徑為的閉球域內(nèi)，即則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。穩(wěn)定1、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定第十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五幾何意義：初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推移，狀態(tài)向量距平衡點(diǎn)的距離可以維持在一個(gè)確定的數(shù)值內(nèi)，而到達(dá)不了平衡點(diǎn)。任給一個(gè)球域，若存在一個(gè)球域，使得當(dāng)時(shí)，從出發(fā)的軌跡不離開(kāi)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。第十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五幾何意義：任給一個(gè)球域，若存在一個(gè)球域，使得當(dāng)時(shí)，從出發(fā)的軌跡不離開(kāi)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。若與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。時(shí)變系統(tǒng)與有關(guān)定常系統(tǒng)與無(wú)關(guān)第十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五與經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性的定義不同。當(dāng)系統(tǒng)做不衰減的震蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，將描繪出一條封閉曲線，只要不超出，則認(rèn)為是穩(wěn)定的。第十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)為球心，為半徑的閉球域內(nèi)，即則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。若系統(tǒng)方程的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有2、漸近穩(wěn)定若與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。第十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五幾何意義：初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推移，狀態(tài)向量距平衡點(diǎn)的距離可以無(wú)限接近，直至到達(dá)平衡點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，從出發(fā)的軌跡不僅不超出，而且最終收斂于，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。與經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性的定義相同。第十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五初始狀態(tài)在整個(gè)狀態(tài)空間時(shí)，平衡狀態(tài)都漸近穩(wěn)定。當(dāng)初始條件擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)均具有漸近穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。3、大范圍漸近穩(wěn)定幾何意義：當(dāng)時(shí)，從狀態(tài)空間任意一點(diǎn)出發(fā)的軌跡都收斂于。第二十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無(wú)關(guān)，如果漸近穩(wěn)定，則必然大范圍漸近穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件密切相關(guān)，如果漸近穩(wěn)定，不一定大范圍漸近穩(wěn)定。第二十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：機(jī)械位移系統(tǒng)第二十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推移，狀態(tài)向量距平衡點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)。如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)和任一個(gè)實(shí)數(shù)，不管這兩個(gè)實(shí)數(shù)有多小，在內(nèi)總存在著一個(gè)狀態(tài)，由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。4、不穩(wěn)定幾何意義：第二十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2李雅普諾夫第一法（間接法）外部穩(wěn)定性零初始條件下，對(duì)于任意一個(gè)有界輸入，若系統(tǒng)所產(chǎn)生的相應(yīng)輸出也是有界的，稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。外部穩(wěn)定的充要條件：傳遞函數(shù)矩陣中所有元素的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。第二十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定A的所有特征值：李雅普諾夫意義下穩(wěn)定A的所有特征值：且的特征值無(wú)重根不穩(wěn)定A有一個(gè)特征值：或的特征值有重根內(nèi)部穩(wěn)定性第二十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五與經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性一致漸近穩(wěn)定不穩(wěn)定傳函極點(diǎn)即A的特征值第二十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五與經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性一致李雅普諾夫意義下穩(wěn)定不穩(wěn)定第二十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：設(shè)系統(tǒng)方程為：試確定其外部穩(wěn)定性、內(nèi)部穩(wěn)定性。[解]

（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：極點(diǎn)位于s左半平面，s=2的極點(diǎn)被對(duì)消掉了。系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的。第二十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）求系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。第二十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.3李雅普諾夫第二法（直接法）不必求解微分方程，直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)需要能量。在非零初始狀態(tài)作用下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若能量隨時(shí)間衰減以致最終消失，則系統(tǒng)遲早會(huì)達(dá)到平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。反之，系統(tǒng)則不穩(wěn)定。若能量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不增不減，則稱為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。第三十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：機(jī)械位移系統(tǒng)選狀態(tài)方程系統(tǒng)能量第三十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：機(jī)械位移系統(tǒng)選系統(tǒng)能量能量隨時(shí)間變化率能量不斷衰減運(yùn)動(dòng)會(huì)停止嗎？

第三十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：機(jī)械位移系統(tǒng)系統(tǒng)能量能量隨時(shí)間變化率能量不斷衰減漸近穩(wěn)定！第三十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五李雅普諾夫第二法的基本思想求出系統(tǒng)的能量函數(shù)（李雅普諾夫函數(shù)）——標(biāo)量函數(shù)。求出能量隨時(shí)間變化率。依據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程考察能量函數(shù)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變換規(guī)律。利用和的符號(hào)特征，判斷平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。第三十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性在零平衡狀態(tài)的鄰域內(nèi)正定負(fù)定第三十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性在零平衡狀態(tài)的鄰域內(nèi)正半定負(fù)半定不定第三十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：已知，確定標(biāo)量函數(shù)的定號(hào)性。解：正定解：正半定第三十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：解：負(fù)半定不定第三十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、二次型定號(hào)性二次型：各項(xiàng)均為自變量的二次單項(xiàng)式的標(biāo)量函數(shù)P為實(shí)對(duì)稱矩陣?yán)?/p>

第三十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五二次型定號(hào)性的判別方法二次型正定矩陣P正定P的各階順序主子式>0第四十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五二次型定號(hào)性的判別方法二次型負(fù)定矩陣P負(fù)定P的各階順序主子式負(fù)正相間第四十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五二次型定號(hào)性的判別方法二次型正半定矩陣P正半定P的各階順序主子式二次型負(fù)半定矩陣P負(fù)半定P的各階順序主子式負(fù)正相間，或等于零第四十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五矩陣P定號(hào)性的判別方法二矩陣P正定矩陣P負(fù)定矩陣P正半定矩陣P負(fù)半定第四十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：確定下列二次型的定號(hào)性。解：判別方法一正定P的各階順序主子式>0第四十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：確定下列二次型的定號(hào)性。解：判別方法二矩陣P的特征值的符號(hào)有正有負(fù)，即符號(hào)不定不定第四十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：確定下列二次型為正定時(shí)，待定常數(shù)的取值范圍。解：第四十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五(1)正定(2)負(fù)定(3)則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定。（線性/非線性)定常系統(tǒng)：，其中，如果存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)滿足：定理1三、李雅普諾夫第二法主要定理第四十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五(1)正定(2)負(fù)半定則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定。（線性/非線性)定常系統(tǒng)：，其中，如果存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，滿足：(4)(3)定理2第四十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五(1)正定(2)負(fù)半定(3)則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。（線性/非線性)定常系統(tǒng)：，其中，如果存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)滿足：(4)系統(tǒng)保持穩(wěn)定的等幅振蕩，非漸近穩(wěn)定！能量不變！定理3第四十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：機(jī)械位移系統(tǒng)選狀態(tài)方程系統(tǒng)能量正定第五十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：機(jī)械位移系統(tǒng)系統(tǒng)能量正定正定負(fù)半定但不恒等于0能量不斷衰減漸近穩(wěn)定第五十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：機(jī)械位移系統(tǒng)系統(tǒng)能量正定恒等于0能量不變李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定選狀態(tài)方程第五十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。定理4時(shí)變系統(tǒng)定常系統(tǒng)：如果存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)其中，且滿足：(1)(2)第五十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五注意如果存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)上述定理是系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定的充分條件。如果不滿足定理，系統(tǒng)零平衡狀態(tài)不一定不穩(wěn)定！應(yīng)該重新選取李雅普諾夫函數(shù)進(jìn)行分析。第五十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五僅有數(shù)學(xué)方程，沒(méi)有物理意義的系統(tǒng)求出能量隨時(shí)間變化率。依據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程考察能量函數(shù)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變換規(guī)律。利用和的符號(hào)特征，判斷平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。虛構(gòu)一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的能量函數(shù)（李雅普諾夫函數(shù)）——標(biāo)量函數(shù)。第五十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：分析下列系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：選?。赫ㄘ?fù)定大范圍（一致）漸近穩(wěn)定第五十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五幾何意義：表示系統(tǒng)狀態(tài)到空間原點(diǎn)的距離。表示狀態(tài)趨向原點(diǎn)的速度。第五十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：分析下列系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解法一：求平衡狀態(tài)選取李雅普諾夫函數(shù)：正定負(fù)定系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定第五十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：分析下列系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解法二：求平衡狀態(tài)選取李雅普諾夫函數(shù)：正定負(fù)半定系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定只在原點(diǎn)為零第五十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023