第四章階線性微分方程

第四章階線性微分方程第一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五第三章線性微分方程組

第二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五3．1一階微分方程組

在前兩章里，我們研究了含有一個未知函數(shù)的常微分方程的解法及其解的性質(zhì).但是，在很多實際和理論問題中，還要求我們?nèi)デ蠼夂卸鄠€未知函數(shù)的微分方程組，或者研究它們的解的性質(zhì).

第三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五例如，已知在空間運動的質(zhì)點的速度與時間及點的坐標的關(guān)系為且質(zhì)點在時刻經(jīng)過點，求該質(zhì)點的運動軌跡。第四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五因為和,所以這個問題其實就是求一階微分方程組的滿足初始條件的解。另外，在n階微分方程（1.12）第五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五中,令就可以把它化成等價的一階微分方程組注意，這是一個含n個未知函數(shù)的一階微分方程組。第六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

第四章線性微分方程

第17講n

階線性微分方程的一般理論

第18講n

階常系數(shù)線性齊次方程的解法

第19講n

階常系數(shù)線性非齊次方程的解法

第20講二階常系數(shù)線性方程與振動現(xiàn)象4.1.1線性微分方程的一般概念

n階線性微分方程在自然科學與工程技術(shù)中有著極其廣泛的應(yīng)用．在介紹線性方程的一般理論之前，先讓我們來研究一個實際例子.

例1彈簧振動.

第七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五設(shè)一質(zhì)量為m的物體B被系于掛在頂板上一彈簧的末端，(我們將假設(shè)彈簧的質(zhì)量與這一物體的質(zhì)量比較起來是小的可以忽略不計的)，現(xiàn)在來求該物體在外力擾動時的運動微分方程式．

當物體B不受外力擾動時，重力被作用于物體B上的彈簧的彈力所平衡而處于靜止位置，把物體B的靜止位置取為坐標軸x的原點0，向下方向取為正向，如圖4-1的(a).

若有一外力f(t)沿垂直方向作用在物體B上，那么物體B將離開靜止位置0，如圖4-1的(b)，記表物體B在t時刻關(guān)于靜止位置0的位移，于是分別表示物體B的速度和加速度．

由牛頓第二定律F=ma,m是物體B的質(zhì)量，a=是物體B位移的加速度，而F是作用于物體B上的合外力．

第八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

這時，合外力F由如下幾部分構(gòu)成．

(1)彈簧的恢復力f1，依虎克定律，彈簧恢復力f1與物體B的位移x成正比，即

式中比例常數(shù)c(>0)叫作彈性系數(shù)，根據(jù)所取的坐標系，恢復力f1的方向與位移x的方向相反，所以上式右端添一負號．

(2)空氣的阻力f2，當速度不太大時，空氣阻力f2可取為與物體B位移的速度成正比，亦即

式中比例常數(shù)(>0)叫作阻尼系數(shù)，式中右邊的負號，是由于阻力f2的方向與物體B

的速度的方向相反．

第九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

(3)外力

因此，我們得到

從而我們得物體B在外力作用下的運動微分方程式

(4.1)

我們將在本章第4節(jié)，詳細敘述方程(4.1)所描述的彈簧振動的性質(zhì)．由于方程(4.1)是描述物體B在外力f(t)經(jīng)常作用下的運動，所以方程(4.1)亦稱為阻尼強迫振動．

一般的n階線性微分方程可以寫成如下形狀：

第十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

(4.5)

方程(4.5)的初始條件記為

(4.6)

n階線性微分方程與第三章講過的一階線性微分方程組有著密切的關(guān)系，即可以把前者化成后者，而且二者是等價的，這樣就可以把前者作為后者的特例加以處理.

在方程(4.5)中，令,(4.5)就可以化成一階方程組

(4.7)第十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五(4.7)可以寫成向量形式

(4.8)其中

,

方程組(4.8)的初始條件可記為

Y()=Y0第十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五其中

引理4.1

方程(4.5)與方程組(4.7)是等價的，即若是方程(4.5)在區(qū)間I上的解，則，，…，是方程組(4.7)在區(qū)間I上的解；反之，若，，…，是方程組(4.7)在區(qū)間I上的

第十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五是方程(4.5)在區(qū)間I上的解.

證明設(shè)是方程(4.5)在區(qū)間I上的解.令

，，…，

(4.9)則有

(4.10)

第十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五在區(qū)間I上恒成立.這表明，，，…，是方程組(4.7)在區(qū)間I上的解.

反之，設(shè)，，…，是方程組(4.7)在區(qū)間I上的解.于是(4.10)式在區(qū)間I上恒成立.由(4.10)的前n-1個等式.可以看出，函數(shù)，，…，滿足關(guān)系式(4.9)，將它們代入到(4.10)的最后一個等式，就有

第十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五在區(qū)間I上恒成立，這就表明是方程(4.5)在區(qū)間I上的解.證畢.

由引理4.1和第三章的定理3.1′,我們立即可以得到下面的定理．

定理4.1

如果方程(4.5)的系數(shù)(k=1,2,…，n)及其右端函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義且連續(xù)，則對于I上的任一及任意給定的，方程(4.5)的滿足初始條件(4.6)的解在I上存在且唯一.

在下面的討論中，總假設(shè)(4.5)的系數(shù)(k=1,2,…，n)及其右端函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，從而，方程(4.5)的滿足初始條件(4.6)的解在整個區(qū)間I上總存在且唯一.

第十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

如果在(4.5)中，在區(qū)間I上恒等于零,(4.5)變成

(4.11)

方程(4.11)稱為n階線性齊次微分方程(或簡稱n階齊次方程)，與此相應(yīng)，(4.5)稱為n階線性非齊次微分方程(或簡稱n階非齊次方程).有時，為了敘述上的方便，還稱(4.11)為(4.5)的對應(yīng)的齊次方程.4.1.2n

階線性齊次微分方程的一般理論

由引理4.1，齊次方程(4.11)等價于下面的一階線性齊次微分方程組

第十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

(4.12)

這里和Y與(4.8)中的相同.于是由第三章的定理3.2可知，齊次方程(4.11)的所有

也構(gòu)成一個線性空間.為了研究這個線性空間的性質(zhì)，進而搞清楚(4.11)的解的結(jié)構(gòu)，我們需要下面的定義和引理.

定義4.1

函數(shù)組，，…，稱為在區(qū)間I上線性相關(guān)，如果存在一組不全為零的常數(shù),,…,，使得第十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

++…+=0

(4.13)

在區(qū)間I上恒成立.反之，如果只當==…==0時，才能使(4.13)在I上成立，則稱函數(shù)組，，…，在I上線性無關(guān).

引理4.2

一組n-1階可微的數(shù)值函數(shù)，，…，在I上線性相關(guān)的充要條件是向量函數(shù)組

第十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

,,…,

(4.14)

在I上線性相關(guān).

證明若，，…，在I上線性相關(guān)，則存在一組不全為零的常數(shù),,…,，使得

第二十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

++…+=0

(4.15)０

在I上恒成立.將(4.15)0式對x逐次微分n-1次，得

++…+=0

(4.15)１

……………

++…+=0

(4.15)n-1

第二十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五聯(lián)合(4.15)０，(4.15)１，…，(4.15)n-1，就得到向量函數(shù)組(4.14)是線性相關(guān)的.反之，若向量函數(shù)組(4.14)在I上線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù),,…,，使得(4.15)０，(4.15)１，…，(4.15)n-1各式在I上恒成立，由(4.15)０表明，，…，在I上線性相關(guān).證畢.

第二十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五由引理4.2，為了建立函數(shù)組線性相關(guān)與線性無關(guān)的判別法則，自然需要引入下面的定義.

定義4.2設(shè)函數(shù)組，，…，中每一個函數(shù)均有n-1階導數(shù)，我們稱行列式

第二十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五為已知函數(shù)組的朗斯基(Wronski)行列式.

有了以上的準備工作，我們現(xiàn)在可以清楚地看到，齊次方程(4.11)的一般理論完全可以歸結(jié)為第三章中一階線性齊次微分方程組的一般理論來加以處理.由§3.3中關(guān)于齊次方程組的有關(guān)定理，可以自然地得到下面的關(guān)于齊次方程(4.11)的一系列定理.

定理4.2齊次方程(4.11)的n個解

，，…，

在其定義區(qū)間I上線性無關(guān)(相關(guān))的充要條件是在I上存在點x0，使得它們的朗斯基行列式W(x０)≠0

(W(x０)＝0).

定理4.3

如果，，…，是方程(4.11)的n個線性無關(guān)解，則

第二十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

y=++…+

(4.16)

是方程(4.11)的通解，其中為n個任意常數(shù).

通常稱定理4.3為方程(4.11)的基本定理.

定義4.3方程(4.11)的定義在區(qū)間I上的n個線性無關(guān)解稱為(4.11)的基本解組.

由定義4.3，方程(4.11)的基本定理又可敘述為：方程(4.11)的通解為它的基本解組的線性組合.

例3易于驗證函數(shù)y１=cosx,y２=sinx是方程

y″＋y=0

的解.并且由它們構(gòu)成的朗斯基行列式

第二十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

在（－∞，＋∞）上恒成立，因此，這兩個函數(shù)是已知方程的兩個線性無關(guān)解，即是一基本解組，故該方程的通解可寫為

y(x)=C１cosx+C２sinx

其中,C１，C２是任意常數(shù).不難看出，對于任意的非零常數(shù)k１和k２函數(shù)組

y１＝k１cosx，

y２=k２sinx

都是已知方程的基本解組

基本定理表明，齊次方程(4.11)的所有解的集合是一個n維線性空間.進一步，我們還有定理4.4n階齊次方程(4.11)的線性無關(guān)解的個數(shù)不超過n

個.

定理4.5n階齊次方程(4.11)總存在定義在區(qū)間I上的基本解組.

最后，齊次方程(4.11)的解與它的系數(shù)之間有如下關(guān)系.

第二十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

定理4.6

設(shè)，，…，是方程(4.11)的任意n個解，W(x)是它們朗斯基行列式，則對區(qū)間I上的任一x０有

W(x)=W(x０)

（4.11）

上述關(guān)系式稱為劉維爾(Liouville)公式.

第二十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五由公式(4.17)可以再次看出齊次方程(4.11)的朗斯基行列式的兩個重要性質(zhì)：

１．方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上某一點為零，則在整個區(qū)間I上恒等于零.

２．方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上某一點不等于零，則在整個區(qū)間I上恒不為零

下面給出劉維爾公式的一個簡單應(yīng)用：對于二階線性齊次方程

y″+p(x)y′+q(x)y=0

如果已知它的一個非零特解y１，依劉維爾公式(4.17),可用積分的方法求出與y1線性無關(guān)的另一特解，從而可求出它的通解.

設(shè)y是已知二階齊次方程一個解，根據(jù)公式(4.17)有第二十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

或

為了積分上面這個一階線性方程，用乘上式兩端，整理后可得

由此可得

第二十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五易見是已知方程的另一個解，即C*=0,C=1所對應(yīng)的解.此外，由

所以，所求得的解y與已知解y１是線性無關(guān)解.從而，可得已知方程的通解

（4.18）

其中C*和C是任意常數(shù).例

例4

求方程

第三十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

的通解.

解容易看出，已知方程有特解y１＝x.此處,根據(jù)公式(4.18)，立刻可以求得通解

第三十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

4.1.3n

階線性非齊次微分方程的一般理論

由于n階非齊次方程(4.5)等價于一階非齊次方程組(4.7)，于是由第三章的定理3.10，我們有下面的

定理4.7n階線性非齊次方程(4.5)的通解等于它的對應(yīng)齊次方程的通解與它本身的一個特解之和.

由此可見，求(4.5)的通解問題，就歸結(jié)為求(4.5)的一個特解和對應(yīng)齊次方程的一個基本解組的問題了.

和一階非齊次線性微分方程組一樣，對于非齊次方程(4.5)，也能夠由對應(yīng)齊次方程的一個基本解組求出它本身的一個特解，即常數(shù)變易法.具體作法如下.

第三十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五設(shè)是(4.5)的對應(yīng)齊次方程的n個線性無關(guān)解，則函數(shù)

y=C１y１+C２y２+…+Cnyn

是(4.5)的對應(yīng)齊次方程的通解，其中C１，C２，…，Cn是任意常數(shù).

現(xiàn)在設(shè)一組函數(shù)，使

(4.19)

成為非齊次方程(4.5)的解

由非齊次方程(4.5)與一階非齊次方程組(4.7)的等價關(guān)系和第三章的(3.18)式，可知，

第三十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五，，滿足下面的非齊次方程組

=

它是關(guān)于變量的線性代數(shù)方程組，由于它的系數(shù)行列式恰是齊次方程的n個線性無關(guān)解的朗斯基行列式W(x)，故它恒不為零，因此，上述方程組關(guān)于有唯一解.解出后再積分，并代入到(4.19)中，便得到(4.5)的一個特解.

第三十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

例5

求非齊次方程

的通解.解由例3知，是對應(yīng)齊次方程的線性無關(guān)解，故它的通解為

現(xiàn)在求已知方程形如

的一個特解.由關(guān)系式(4.20),滿足方程組

=

第三十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五或?qū)懗杉兞糠匠探M

解上述方程組，得

,

積分得

，

故已知方程的通解為

y=C1cosx+C2sinx+cosxln｜cosx｜+xsinx

第三十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

本講要點：

1．n階線性方程（4.5）與一階線性方程組（4.7）的等價關(guān)系．

2．n階線性方程（4.5）解的存在區(qū)間的特殊性．

3．通過（4.5）與（4.7）的等價關(guān)系得到n階線性方程（4.5）解的線性似性質(zhì)，通解結(jié)構(gòu)定理以及解與系數(shù)的關(guān)系一劉維爾公式．

4．非齊次通解結(jié)構(gòu)定理及常數(shù)變易法．

第三十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五6．常數(shù)

4.2n階常系數(shù)線性齊次方程解法

本節(jié)只討論常系數(shù)線性齊次方程

y^n+a_1y^(n-1)+…＋a_n-1y′+a_ny=0

（4.21）

的求解問題，這里a_11，a_2，…，a_n為實常數(shù).由定理4.3，我們知道(4.21)的求解問題歸結(jié)為求其基本解組即可.雖然對于一般的線性齊次微分方程，人們至今沒有找到一個求其基本解組的一般方法，但是對于方程(4.21)，這一問題已徹底解決.其中，一個自然的作法是把(4.21)化成與之等價的一階線性常系數(shù)齊次微分方程組，然后按3.5節(jié)的有關(guān)解法及引理4.1和引理4.2，就可以求得(4.21)的基本解組.但是這樣的推導過程并不十分簡潔，因此我們這里將對方程(4.21)采用下面的待定指數(shù)函數(shù)法求解.

首先，研究一個簡單的一階方程

y′+ay=0

（4.22）

其中a是常數(shù)，不難求出它有特解

y=e-ax.

比較(4.21)與(4.22)，我們可以猜想方程(4.21)也有形如

y=eλx

（4.23）

的解，其中λ是待定常數(shù).將(4.23)代入(4.21)中得到

第三十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

(λn+a１λn-1+…+an－１λ+an)eλx=0

（4.24）

因為eλx≠0，所以有

P(λ)=λn+a1λn-1+…+an－１λ+an=0

（4.25）

我們稱(4.25)為方程(4.21)的特征方程，它的根稱為特征根.

這樣，y=eλx是方程(4.21)的解，當且僅當λ是特征方程(4.25)的根.

下面分兩種情形討論.

4.2.1

特征根都是單根.

定理4.8若特征方程(4.25)有n個互異根λ1，λ2，…，λn，則

（4.26）

是方程(4.21)的一個基本解組.

證明

顯然，

(i=1,2,…，n)分別是(4.21)的解.它們的朗斯基行列式

第三十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

從而(4.26)是方程(4.21)的一個基本解組.上述行列式為著名的范德蒙(Vandermond)行列式．例1

求方程

y″－5y′=0

的通解.

解特征方程為

λ2－5λ＝0

特征根為λ1＝0，λ2＝5，故所求通解為

y=C1+C2e5x

其中C1，C2為任意常數(shù).

例2求方程

y″－5y′+6y＝0

的通解及滿足初始條件：當x=0時，y=1,y′＝2的特解.

解特征方程為

λ2－5λ+6＝0

特征根為λ1＝2，λ2＝3，故所求通解為

y=C1e2x+C２e3x其中C1，C2為任意常數(shù).

將初始條件代入方程組

第四十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

得

由此解得C2＝0，C1＝1.因而所求特解為

y

=e2x

特征方程(4.25)可能有復根，由于其系數(shù)是實的，它的復根一定是共軛成對地出現(xiàn).即此時在相異特征根λ1，λ2，…，λn中有復數(shù)，比如λk=a+ib，(a,b為實數(shù))，則λk+1=a-ib也是(4.25)的根.由定理4.8，這兩個特征根所對應(yīng)的解是實變量復值函數(shù)

第四十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

yk=e(a+ib)x=eaxcosbx+ieaxsinbx

yk＋1=e(a-ib)x=eaxcosbx－ieaxsinbx

我們可以按照3.5節(jié)中對常數(shù)線性方程組的同樣處理方法，把這兩個復值解實值化，即取其實部eaxcosbx和虛部eaxsinbx作為這兩個根所對應(yīng)的解，并且它們與其余的特征根所對應(yīng)的解仍然是線性無關(guān)的.

例3求方程

的通解.

解特征方程為

λ3－3λ2＋9λ＋13＝0

或

(λ+1)(λ2－4λ＋13)＝0

由此得

λ1＝－1，λ2＝2+3i，λ3＝2－3i

因此，基本解組為

e-x，e2xcos3x，e2xsin3x通解為

y=C1e-x+e2x(C1cos3x+C3sin3x)

第四十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

例4

求方程

的通解.

解特征方程為

λ3－λ2＋4λ－4＝0

由于

λ3－λ2＋4λ－4＝λ2(λ－1)+4(λ－1)

=(λ－1)(λ２＋4)

故特征根為

λ-１＝1，λ２＝2i，λ３＝－2i

基本解組為

ex,cos2x，sin2x

故所求通解為

y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x通解為

y=C1e-x+e2x(C1cos3x+C3sin3x)

第四十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

4.2.2特征根有重根

設(shè)是(4.25)的重根(實的或復的)，由定理4.8知是(4.21)的一個解，如何求出其余的k-1個解呢?先看一下最簡單的二階常系數(shù)方程

y″＋py′+qy＝0

并設(shè)p2＝4q.

特征方程為

λ2＋pλ+q=0

由于p2＝4q，易見是二重特征根，它對應(yīng)的解為

第四十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

現(xiàn)求已知方程和y1線性無關(guān)的另一特解.由公式(4.18)，這一特解可取為

這樣，二重特征根所對應(yīng)的兩個線性無關(guān)解是

進一步，可以證明，若λ1是(4.25)的k重根，則(4.21)有形如

的k個特解.為此，只需證明：對m=0,1，…，k－1，總有

這里L是由方程(4.21)左端所定義的線性微分算子，即

L［y］=y(n)+a1y(n-1)+…＋an-1y′+any

(4.27)

首先，我們知道，若λ1是(4.25)的k重根，則有

第四十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

(4.28)其次，易見

又由于

(4.29)

于是由(4.28)立刻得到函數(shù)

都是(4.21)的解.第四十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五一般地，當特征方程有多個重根時，如何確定該方程的基本解組，我們有下面的

定理4.9如果方程(4.21)有互異的特征根λ1，λ2，…，λp，它們的重數(shù)分別為m1，m2，…，mp，mi≥1，且m1＋m2＋…＋mp＝n，則與它們對應(yīng)的(4.21)的特解是

(4.30)

且(4.30)構(gòu)成(4.21)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的基本解組.

這個定理的證明請見教材．

第四十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五在(4.30)中可能出現(xiàn)復解，比如λ1＝a+ib是(4.21)的m1重特征根，則其共軛a－ib也是(4.21)的m１重特征根.因此，此時(4.30)中含有如下的2m1個解

與單特征根處理復值解的同樣作法，我們可在(4.30)中用下面的2m1個實值解替換這2m1個復值解.

對于其它復根也同樣處理，最后就得到方程(4.21)的n個線性無關(guān)的實解.

第四十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

例5

求方程

y″＋4y′+4y＝0

的通解.

解特征方程為

λ2＋4λ＋4＝0

λ1＝－2是二重特征根，故所求通解是

y=e-2x(C1＋C2x)

例6

求方程

的通解.

解特征方程是

λ4－4λ3＋5λ2－4λ＋4＝0

由于

λ4－4λ3＋5λ2－4λ＋4＝(λ－2)2(λ2＋1)

故特征根是

λ1,2＝2，λ3＝i，λ4＝－i

它們對應(yīng)的實解為

第四十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五所求通解為

例7

求方程

的通解.解特征方程是

λ3－3λ2＋3λ－1＝0

由于

λ3－3λ2＋3λ－1=(λ－1)3

故特征根為λ1,2,3＝1所對應(yīng)的解為

ex,xex,x2ex

故所求通解為

y=ex（C1＋C2x＋C3x2）

第五十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五笨節(jié)所介紹的求解方程(4.21)的方法，不僅可以求出其通解和初值問題解，而且還能求出邊值問題解，初值問題和邊值問題都是常微分方程的定解問題．常微分方程的邊值問題與求解某些偏分微方程密切相關(guān)，例如弦振動方程的求解問題就歸結(jié)為下面的二階常系數(shù)線性方程邊值問題是否存在非零解．

例8

試討論λ為何值時，方程

y″+λy=0存在滿足y(0)=y(1)=0的非零解．

解當λ=0時，方程的通解是

y=C1+C2x

要使y(0)=y(1)=0，必須C1=C2=0，于是y(x)≡0.

當λ<0時，令方程的通解是

要使y(0)=0，必須C1+C2=0，即C2=－C1，因此，要使y(1)=0，

第五十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

將C2=－C1代入上式，有

必須有C１=0，從而C２=0，于是y(x)≡0.

當λ>0時，方程的通解是

這要使y(0)=0，必須有C1=0，于是

要使y(1)=0，只要即可．要使,當且僅當,從而時方程有非零解yn(x)=C2sinnπx

(C2≠0,

n=0,±1,±2,…).

第五十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五本節(jié)要點：

本節(jié)主要介紹n階常系數(shù)線性齊次方程（4.21）的解法，所采用的是待定指數(shù)函數(shù)解法．

這一方法的特點是把求解方程（4.21）化為求對應(yīng)特征方程（4.25）的特征根問題．求解時關(guān)鍵是要熟練掌握特征根為單根、重根時對應(yīng)解的形式．

第五十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五4.3n階常系數(shù)線性非齊次方程解法

本節(jié)研究n階常系數(shù)線性非齊次方程

(4.33)

的解法.我們已知道，(4.33)的通解等于它的對應(yīng)齊次方程通解和它本身一個特解之和.我們在上一節(jié)已經(jīng)掌握了齊次方程通解的求法，現(xiàn)在問題歸結(jié)到如何求(4.33)的一個特解，其方法主要有兩種，一種是常數(shù)變易法，這在§4.1己介紹過，它是求非齊次方程特解的一般方法，但計算比較麻煩.下面介紹第二種方法，即待定系數(shù)法，其計算較為簡便，但是主要適用于非齊次項的某些情形.這里，我們考慮如下兩種類型的非齊次項

其中都是已知多項式，是常數(shù)．我們稱前者為第一類型非齊

4.3n階常系數(shù)線性非齊次方程解法

本節(jié)研究n階常系數(shù)線性非齊次方程

(4.33)

后者為第二類型齊次項第五十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五4.3.1第一類型非齊次項特解的待定系數(shù)解法現(xiàn)在，考慮時，非齊次方程(4.33)的非齊次特解的求法，先從最簡單的二階方程

（4.34）

開始.

因為經(jīng)過求任意階導數(shù)再與常數(shù)線性組合后，仍是原類型函數(shù)，所以，自然猜想到(4.34)有形如

y=Aeαx

（4.35）

的特解，其中A為待定常數(shù).將(4.35)代入(4.34)得到

第五十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

則

(4.36)

這樣，當不是特征方程

λ2＋pλ+q=0

（4.37）

的根時，則用(4.36)所確定的A便得到(4.34)的特解.當是(4.37)的單根時，即，這時(4.36)無法確定A.此時，可設(shè)特解為

y=Axeαx

(4.38)

并將它作為形式解代入(4.34)式，得

Ax＋A(2＋p)＝

第五十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五因是單特征根，故可解出

(4.39)

這時(4.34)便有形如(4.38)的特解，其中A由(4.39)確定.

如果是(4.37)的重根，則，這時(4.38)的形式已不可用.此時，可設(shè)特解為

y=Ax2

將它作為形式解，代入(4.34)得到

由于是二重根，故上式左端前兩個括號內(nèi)的數(shù)為零，由此得到

綜上所述，可以得到如下結(jié)論：

第五十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

如果不是(4.37)的根，則(4.34)有形如A的特解；如果是(4.37)的單根，則(4.34)有形如Ax的特解；如果是(4.37)的重根，則(4.34)有形如Ax2的特解.

例1

求方程

y″－3y′＝e5x

的通解.

解先求齊次通解，特征方程為

λ2－3λ＝0

特征根為

λ1＝0，λ2＝3

故齊次方程的通解為

y=C１＋C２e3x

由于不是特征根，故已知方程有形如

y１＝Ae5x

的解.將它代入原方程，得到

25Ae5x－15Ae5x

=e5x

第五十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五于是，已知方程有特解，從而得通解

例2求方程

的通解.

解對應(yīng)齊次方程的特征方程為

λ２－1＝0特征根是λ＝±１，對應(yīng)齊次通解為

y=C１ex+C２e-x

由于是特征方程的根，故已知方程有形如

y１=Axex

的特解.將它代入原方程，得

第五十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

從而，故,由此得通解

上述關(guān)于二階方程的結(jié)果，可以推廣到n階常系數(shù)線性非齊次方程(4.33)．

設(shè)Pm(x)是m次實或復系數(shù)的多項式，即

(4.40)則有

(1)當不是特征根時，(4.33)有形如

y1(x)=Qm(x)

的特解，其中

Ｑm(x)=q0xm+q1xm-1+…＋qm-1x+qm

(2)當是k(≥1)重特征根時，(4.33)有形如

y1(x)=xkQm(x)

的特解，其中Qm(x)也是上述的m次多項式.

證明見教材．

第六十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

例3

求方程

y″－5y′＋6y=6x2－10x＋2

的通解.

解先求對應(yīng)齊次方程

y″－5y′＋6y=0

的通解.

特征方程是

λ2－5λ＋6＝0

由于λ2－5λ＋6＝(λ－2)（λ－3），故特征根λ1＝2，λ2＝3，從而，對應(yīng)齊次方程通解為

y=C1e2x+C2e3x

因為不是特征根，因而已知方程有形如

y1=Ａx2+Bx+C

的特解.為確定出系數(shù)A，B，C，將它代入原方程中.由于

第六十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

故

2A－5(2Ax+B)+6(Ax２+Bx+C)=6x２－10x+2

或

6Ax2+(6B-10A)x+2A－5B+6C=6x2－10x+2

比較上式等號兩端x的同次冪系數(shù)，可得

解上述方程組，得

A=1,B=0,C=0

故已知方程特解為

y１＝x２

已知方程的通解為

y=x２＋C１e2x+C２e3x

例4求方程

y″－5y′＝－5x２＋2x

的通解.

解對應(yīng)齊次方程的特征方程為

λ２－5λ＝0，λ(λ－5)＝0第六十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五特征根為λ１＝0，λ２＝5，齊次方程的通解為

y=C１＋C２e5x

由于是單特征根，故已知非齊次方程有形如

y１=x(Ax２＋Bx+C)

的特解.

將它代入已知方程，并比較x的同次冪系數(shù)，得

故，最后可得所求通解

例5求方程

y″－4y′+4y＝2e2x

的通解.

解由于

λ2－4λ＋4＝0，λ1,2＝2

第六十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五故齊次方程通解為

y=e2x(C1＋Ｃ2x)

由于是二重特征根，故已知非齊次方程有形如

y1＝Ａx2e2x

的特解．將它代入已知方程，比較x的同次冪系數(shù)，得

A＝1

所求通解為

y＝x2e2x＋e2x(C1＋Ｃ2x)

4.3.2第二類型非齊次項特解的待定系數(shù)解法

考慮

時，非齊次方程(4.33)的特解的求法．

設(shè)上式中的與是x的次數(shù)不高于m的多項式，但二者至少有一個的次數(shù)為m.

根據(jù)歐拉公式，有

第六十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五這樣一來f(x)可改寫成

(4.4.1)其中，,是m次多項式.因此，(4.41)式相當于兩個(4.40)形狀的函數(shù)相加.再由非齊次方程的一個性質(zhì)——迭加原理，情形(4.41)可化為情形(4.40).下面就來介紹迭加原理.

迭加原理設(shè)有非齊次方程

=f１(x)+f2（x）

（4.42）

且y1(x),y2(x)分別是方程

第六十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五且y1(x),y2(x)分別是方程

=f１(x),=f2(x)

的解，則函數(shù)y1(x)+y2(x)是方程(4.42)的解.

證明由于L[y１(x)]=f１(x)，

L[y２(x)]=f2(x)

故有

證畢.

根據(jù)迭加原理，就可以把情形(4.41)化為(4.40)了.再根據(jù)對于(4.40)討論的結(jié)果，我們有如下的結(jié)論：

(1)如果不是特征根，則(4.33)有形如

(4.43)

的特解，其中與是m次多項式

第六十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

(2)如果是k重特征根，則(4.33)有形如

(4.44)

的特解，其中與是m次多項式.

為了求得對于(4.41)的情形方程(4.33)的實特解，可以由的定義，將(4.43)與(4.44)化成三角函數(shù)的形式.于是，對應(yīng)于上述兩種情形，有：

(3)如果不是特征根，則特解具有形狀

其中，是系數(shù)待定的m次多項式.

第六十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

(4)如果是k重特征根，則特解應(yīng)具形狀

其中，是系數(shù)待定的m次多項式.

，的系數(shù)的求法和上面類似，即把y1代入原方程，再比較x的同次冪系數(shù)即可求得.

值得注意的是，即使在，中有一個恒為零，這時方程(4.33)的特解仍具有形狀(4.43)，(4.44).即不能當≡0時在(4.43)或(4.44)中就令≡0，而≡0時，就令

第六十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五例6

求方程

y″＋y′－2y=ex(cosx－7sinx)

的通解.

解先求解對應(yīng)的齊次方程：

y″＋y′－2y=0

我們有

λ2＋λ－2＝0，λ１＝1，λ２＝－2

y=C１ex＋C２e-2x因為數(shù)=1±i不是特征根，故原方程具有形如

y1＝ex(Acosx+Bsinx)

的特解.

將上式代入原方程，由于

y1＝ex(Acosx+Bsinx)

y1′＝ex[(A＋B)cosx+(B－A)sinx]

y1″＝ex

[2Bcosx－2Asinx]

第六十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五故

或

比較上述等式兩端的cosx,sinx的系數(shù)，可得

－A+3B=1,－3A－B=－7

因此，A=2，B=1.故

第七十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

y１＝ex（2cosx＋sinx）

所求通解為

y=ex(2cosx+sinx)+C１ex+C２e-2x

例7

求方程

y″+y′=2sinx

的通解.

解齊次方程是y″+y′=0，我們有

λ2＋1＝0，λ1，2＝±i

y=C1cosx+C2sinx

由于=±i是特征方程的單根，故所求特解應(yīng)具形式

y1=x(Acosx+Bsinx)現(xiàn)將上式代入原方程，確定系數(shù)A，B.由于

第七十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

可求得A＝－1，B＝0

y1＝－xcosx

因而，所求通解為

y=－xcosx+C1cosx+C2sinx

例8求方程

y″－6y′＋5y＝－3ex＋5x2

的通解.

解對應(yīng)的齊次方程是y″－6y′＋5y＝0.我們有

λ2－6λ＋5＝0，λ1＝1，λ2＝5

故它的通解是y=C1ex＋C2e5x.

因為原方程右端由兩項組成，根據(jù)迭加原理，可先分別求下述二方程

y″－6y′＋5y＝－3ex

y″－6y′＋5y＝5x2

的特解，這二特解之和即為原方程的一個特解.

第七十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五對于其中第一個方程，有

對于第二個方程，有

因而，

第七十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五為原方程的一個特解，其通解為

本節(jié)要點：

本節(jié)主要內(nèi)容是介紹如何求解n階常系數(shù)線性非齊次方程的解法．

非齊次方程解法主要有兩種，即

·常數(shù)變易法

·待定系數(shù)法

前者應(yīng)用泛圍較廣，而后者只適用某些特殊的非齊次項形式．這里我們把非齊次項分成兩個類型加以討論，但是其核心思想是一致的，即多項式和指數(shù)函數(shù)的導數(shù)還是同類函數(shù)，這是待定系數(shù)法可行性的基礎(chǔ)．

第七十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五4.4二階常系數(shù)線性方程與振動現(xiàn)象

本節(jié)主要是具體求解在4.1節(jié)提出的，描述彈簧振動的方程

(4.1)

并且研究其解的物理意義.

如果f(t)≡0，即假定沒有外力f(t)，這時得到方程

(4.1)'

而稱彈簧的振動為阻尼自由振動.

如果f(t)≡0且μ=0，即假定沒有外力且忽略阻力，這時得到方程

(4.1)''

而稱彈簧的振動為無阻尼自由振動或簡諧運動.

第七十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五下面我們分別求解方程(4.1)，(4.1)

4.4.1簡諧振動——無阻尼自由振動.

令,方程(4.1)

這是一個二階常系數(shù)齊次方程.特征方程為λ2+k2=0,特征根是λ1,2=±ik,它的通解為

x=C1coskt+C2sinkt

其中C1,C2是任意常數(shù).

為了闡明上式的物理意義，像三角學中常做的那樣，我們把上式改寫成如下形式：

或記為

x=Asin(kt+

(4.46)

其中

)第七十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五

由此可見，物體在平衡位置附近作簡諧振動(圖4-3)

圖4-3量A稱為振幅，幅角kt+稱為振動的位相(或，稱為初位相，是固有振動頻率，為周期.易見，k僅與彈簧的剛度和物體的質(zhì)量有關(guān).因為，則周期還可以表為.將(4.50)對t微分，可以得物體運動的速度

簡稱位相)，位相在t=0時所取之值，即第七十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五為了確定振幅及初位相，必須給出初始條件.例如，假設(shè)在初始時刻t=0時，物體的位置是x=x0，速度是v=v0.這時有

x0=Asin,v0=Akcos

從而

4.4.2阻尼自由振動

如果令，則方程(4.1)

(4.47)

的形式.它是一個二階常系數(shù)線性齊次方程.它的特征方程是λ2＋2nλ+k2＝0，特征根是

(4.48)

第七十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)在分三種情況討論.

(1)n2－k2＜0，這時對應(yīng)于介質(zhì)阻尼相對不太大的情形.如果令，則(4.48)為