第四節(jié)解析函數(shù)

第四節(jié)解析函數(shù)第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五Cauchy-Riemann條件必要條件設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內一點z=x+iy可導，那么有§1.3導數(shù)第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五充分必要條件設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內一點z=x+iy可導的充分必要條件是注意：條件點處滿足在RiemannCauchy),(.2-yx點處可微；在),(),(),,(.1yxyxvyxuf(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy可導(微)點處可微；在),(),(),,(yxyxvyxu?第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五充分條件設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)處滿足那么f(z)在z=x+iy處可導。Cauchy-Riemann方程在極坐標系下的形式為第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五§1.4解析函數(shù)一.解析定義().0解析在則稱zzf(),00的鄰域內處處可導及在如果函數(shù)zzzf第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五二.解析函數(shù)的性質(1)若函數(shù)f(z)=u+iv,在區(qū)域B上解析,則u(x,y)=C1,v(x,y)=C2(C1C2為常數(shù))是B上的兩組正交曲線族兩邊分別相乘,得即梯度正交分別是曲線u=常數(shù)和v=常數(shù)的法向矢量,因此U=常數(shù)和v=常數(shù)是互相正交的兩曲線族第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五(2)若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析,則u,v均為B上的調和函數(shù)如果某函數(shù)H(x,y)在區(qū)域B上有二階連續(xù)偏導數(shù)且滿足拉普拉斯方程則稱H(x,y)為區(qū)域B上的調和函數(shù).后邊我們將證明,二階偏導數(shù)存在且連續(xù),對柯西-黎曼方程前一式子對x求導,后一式子對y求導,相加可以消除v,得到同理可得第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五以上說明u(x,y)和v(x,y)都滿足二維的拉普拉斯方程,即都是調和函數(shù),又由于是同一個復變函數(shù)的實部和虛部,所以又特別稱之為共軛調和函數(shù)若給定一個二元的調和函數(shù),可以看做某個解析函數(shù)的實部(虛部),利用柯西-黎曼條件求出相應的虛部(實部),也就確定了這個解析函數(shù).給定的二元函數(shù)u(x,y)是解析函數(shù)的實部,求相應的虛部v(x,y)二元函數(shù)v(x,y)的微分式是由柯西-黎曼條件可得是全微分，三.求解析函數(shù)的實部或虛部原因如下第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五滿足拉普拉斯方程可以用下列方法計算出(1)曲線積分法全微分的積分與路徑無關,可選取特殊積分路徑使積分路徑容易算出.(2)湊全微分法

微分的右端湊成全微分顯式,v(x,y)自然求出(3)不定積分法以上方法同樣適用于從虛部v求實部u的情況例1已知解析函數(shù)f(z)的實部u(x,y)=x2-y2,求虛部和解析函數(shù)解:驗證u是調和函數(shù),滿足拉普拉斯方程,確實是某解析函數(shù)的實部.第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)柯西-黎曼條件有(1)曲線積分法先計算u的偏導數(shù)由此可得dv=2ydx+2xdy右邊是全微分,積分值與路徑無關,為便于計算,取如圖路徑:(x,0)(x,y)oxyC為積分常數(shù)CxyCxdyyx+=+=ò22),()0,x(Cxdyydxxdyydxvyxxx++++=òò2222),()0,()0,()0,0(第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五(2)湊全微分法由上已知dv=2ydx+2xdy很容易湊成全微分形式d(2xy),則dv=d(2xy)此時顯然有v=2xy+C實質上也是曲線積分法,在容易湊微分的時候很方便.(3)不定積分法上邊算出第一式對y積分,x看做參數(shù),可得對x求導其中為x的任意函數(shù),再由柯西-黎曼條件知道從而有可得v=2xy+C解析函數(shù)為第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五例2已知解析函數(shù)f(z)的虛部求實部u(x,y)和解析函數(shù)f(z)解直角坐標系下，的計算比較煩瑣，改用極坐標系求u(x,y)的方法和例1一樣，可以用三種方法，這里只介紹全微分顯式法，先計算v的偏導數(shù)由柯西－黎曼方程可得則可得第十二頁，共十六頁，