第十二章 結(jié)構(gòu)動力計算

第十二章結(jié)構(gòu)動力計算第一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五§12-1概述§12-2運動方程的建立§12-3單自由度體系的自由振動§12-4阻尼對自由振動的影響§12-5簡諧荷載作用下無阻尼單自由度體系的受迫振動§12-6多自由度體系的自振頻率和振型計算第十二章結(jié)構(gòu)動力計算第二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五一、動荷載及其分類

動荷載是指其大小、方向和作用位置隨時間變化的荷載。由于荷載隨時間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動力學的最主要特征。

靜荷載只與作用位置有關(guān)，而動荷載是坐標和時間的函數(shù)。

§12-1概述第三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五動荷載按其隨時間的變化規(guī)律進行分類：第四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五二、結(jié)構(gòu)動力計算的目的

研究結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的反應規(guī)律，找出動荷載作用下結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力和最大動位移，為結(jié)構(gòu)的動力可靠性設(shè)計提供依據(jù)。

三、動力反應的特點在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動力反應（動內(nèi)力、動位移等）都隨時間變化，它除了與動荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)的固有特性（自振頻率、振型和阻尼）有關(guān)。不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應?？梢?，結(jié)構(gòu)的固有特性能確定動荷載下的反應，故稱之為結(jié)構(gòu)的動力特性。第五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五強迫振動：結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生的振動。研究強迫振動，可得到結(jié)構(gòu)的動力反應。

四、自由振動和強迫振動自由振動：結(jié)構(gòu)在沒有動荷載作用時，由初速度、初位移所引起的振動。研究結(jié)構(gòu)的自由振動，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。結(jié)構(gòu)在強迫振動時各截面的最大內(nèi)力、位移都與結(jié)構(gòu)的自由振動的頻率密切有關(guān)。第六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五確定體系運動過程中任一時刻全部質(zhì)點位置所需的獨立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為體系的自由度。根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單自由度體系，多自由度體系和無限自由度體系。五、動力分析中的自由度1．自由度的定義將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學原則集中到若干幾何點上，使結(jié)構(gòu)只在這些點上有質(zhì)量。從而把一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。2.實際結(jié)構(gòu)自由度的簡化方法為分析計算方便，往往將具有無限自由度體系的實際結(jié)構(gòu)簡化為有限自由度。常用的簡化方法有：（1）集中質(zhì)量法第七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五不計軸向變形:W=1平面:計軸向變形:W=2第八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五3.確定體系振動自由度的方法4個自由度2個自由度方法一:可以運用附加鏈桿法，使質(zhì)量不發(fā)生線位移所施加的附加鏈桿數(shù)即為體系的計算自由度。方法二:當忽略桿件的軸向變形時，可以運用幾何構(gòu)造分析中的鉸接鏈桿法——將所有質(zhì)點和剛結(jié)點變?yōu)殂q結(jié)點后，使鉸接鏈桿體系成為幾何不變體系所需要增加的鏈桿數(shù)即為自由度數(shù)。第九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五不計軸向變形：W=1W=2第十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五W=3W=1θ第十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論：①結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與質(zhì)點的個數(shù)無關(guān)②結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關(guān)考慮軸向變形后各計算簡圖的動力自由度數(shù)是多少？思考：第十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五描述體系振動時質(zhì)點動位移的數(shù)學表達式，稱為動力體系的運動方程（亦稱振動方程）。單自由度體系的動力分析能反映出振動的基本特性，是多個自由度體系分析的基礎(chǔ)。本章只介紹微幅振動（線性振動）。根據(jù)達朗貝爾原理建立運動方程的方法稱為動靜法（或慣性力法）。具體作法有兩種：剛度法和柔度法?！?2-2運動方程的建立第十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五剛度法：將力寫成位移的函數(shù)，按平衡條件列出外力（包括假想作用在質(zhì)量上的慣性力和阻尼力）與結(jié)構(gòu)抗力（彈性恢復力）的動力平衡方程（剛度方程），類似于位移法。柔度法：將位移寫成力的函數(shù)，按位移協(xié)調(diào)條件列出位移方程（柔度方程），類似于力法。第十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)量m所產(chǎn)生的水平位移，可視為由動力荷載P(t)和慣性力共同作用在懸臂梁頂端所產(chǎn)生的。根據(jù)疊加原理，得一、按位移協(xié)調(diào)條件建立運動方程――柔度法第十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五δ11——柔度系數(shù)。表示在質(zhì)量的運動方向施加單位力時，在該運動方向所產(chǎn)生的靜力位移。式（B）可改寫為：第十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五1、單自由度體系的振動模型二、按平衡條件建立運動方程剛度法（1）動力荷載：（2）彈性恢復力：（3）慣性力：2、取質(zhì)量m為隔離體，其上作用有：第十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五3、建立運動方程根據(jù)達朗貝爾原理，由∑X＝0，得代入，即得K11——剛度系數(shù)。表示在質(zhì)量的運動方向產(chǎn)生單位位移所需施加的力。剛度系數(shù)與柔度系數(shù)互為倒數(shù)：第十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例1：試用剛度法建立圖示剛架受動力荷載P(t)作用的運動方程。解：1)確定自由度（建模）：結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m分布于剛性橫梁，只能產(chǎn)生水平位移，屬單自由度體系。2)確定位移參數(shù)：設(shè)剛梁在任一時刻的位移為y(t)，向右為正。第十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五3)繪隔離體受力圖：取出隔離體。圖中給出了慣性力、彈性恢復力。各力均設(shè)沿坐標正向為正。4)列運動方程：按動靜法列動力平衡方程，可得第二十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五式中：代入整理，可得運動方程：式中，剛度系數(shù)k又稱為樓層剛度，系指上下樓面發(fā)生單位相對位移（?＝1）時，樓層中各柱剪力之和，如圖所示）。第二十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例3:試用柔度法建立圖示靜定剛架受動力荷載作用的運動方程。解：本題為單自由度體系的振動。取質(zhì)量m水平方向的位移y為坐標。運動方程為:第二十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五繪出、圖如圖所示。由圖乘法得得運動方程圖圖第二十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五也可寫作為等效動力荷載第二十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五四、建立運動方程小結(jié)1)判斷動力自由度數(shù)目，標出質(zhì)量未知位移正向。2)沿所設(shè)位移正向加慣性力、阻尼力和彈性恢復力，并冠以負號。3)根據(jù)是求柔度系數(shù)方便還是求剛度系數(shù)方便，確定是寫柔度方程還是寫剛度方程。4)剛度方程幾種寫法的選擇：①當結(jié)構(gòu)給質(zhì)體的反力亦即彈性恢復力FS容易求時，宜以質(zhì)體為隔離體建立方程（方法二）；否則以結(jié)構(gòu)為對象列方程（方法一）。②當用上述方法一和方法二有困難時，則宜用添加附加約束的方法列方程（方法三）。第二十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五1、剛度法：質(zhì)點在慣性力與彈簧的恢復力作用下將處于一種虛擬平衡。一、運動方程：體系在沒有外部動力荷載作用，而由初始位移y0和初始速度u0

引起的振動，叫做自由振動§12-3單自由度體系的自由振動(不計阻尼)第二十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五2、柔度法：當質(zhì)點振動時，把慣性力看作是一個靜力荷載，則質(zhì)點在其作用下結(jié)構(gòu)在質(zhì)點處的位移y(t)應等于：第二十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五二、運動方程的解：初始條件定積分常數(shù)當t=0時則運動方程為：設(shè)初始時刻有初位移y0和初速度v0第二十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五三、自由振動解的分析1．質(zhì)點的運動規(guī)律—簡諧振動，質(zhì)點作直線往復運動。Tyt0-AA質(zhì)點離平衡位置的位移隨時間t變化的函數(shù)圖

振幅:初相位:第二十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五初相角a：標志著t=0時的位置。頻率f：每1秒間振動次數(shù)，圓頻率（簡稱頻率）ω：表示2π秒內(nèi)的振動次數(shù)。振幅A：振動過程中的質(zhì)點的最大的位移。周期T：Tyt0-AA第三十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五2．自由振動中速度的改變規(guī)律最大速度等于振幅A與頻率w的乘積。最大加速度等于振幅A與頻率w平方的乘積3．自振中加速度和慣性力的變化規(guī)律：慣性力幅值等于質(zhì)量、振幅與頻率平方的乘積第三十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五由于阻尼的作用，自振在幾秒乃至百分之幾秒內(nèi)消失。但阻尼對自振頻率的影響很小。4．自振的衰減四、求自振頻率的方法：

1．用于柔度系數(shù)好求的體系。

2．用于剛度系數(shù)好求的體系。用于單質(zhì)點的單自由度體系第三十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五3．能量法求自振頻率。（用于多質(zhì)點的單自由度體系、復雜體系）4．幅值方程求自振頻率。兩者按同一規(guī)律改變。由式（12-32）：第三十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五在達到振幅時，慣性力Z(t)達到其幅值，慣性力與位移方向一致，位移A是慣性力幅值產(chǎn)生的。故：由柔度方程：由剛度方程：幅值方程求自振頻率第三十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例12-8：圖示鋼制懸臂梁，梁端部有一個質(zhì)量為123kg的電機。已知梁跨為1m，彈性模量：,截面慣性矩I=78cm4。不計梁的自重，求自振頻率和周期。第三十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五解：圖示體系為單質(zhì)點的單自由度體系1）畫單位力作用下的單位彎矩圖。2）圖乘法計算柔度系數(shù)。3）求自振頻率lP=1第三十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例12-9圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計,求其自振頻率。解:第三十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五

不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作圖，求出剛度系數(shù):

自振頻率

例12-9圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計,求其自振頻率。第三十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例3：求圖示剛架的自振頻率。各桿EI為常數(shù)。10.6l0.6lMi圖解:1）作出單位力引起的彎矩圖，第三十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五10.6l0.6l1）作出單位力引起的彎矩圖，3）求自振頻率：2）按圖乘法求出柔度系數(shù)為：Mi圖第四十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例4：求圖示剛架的自振頻率。各桿EI為常數(shù)。11ll分析：圖示體系有兩個振質(zhì)，均無豎向位移，僅有水平位移且相同，故是單自由度體系。由于兩個質(zhì)點上的慣性力共線，列方程時可以合并，所以可按一個質(zhì)點的情況考慮。解:（1）作出虛設(shè)位移方向的單位力引起的彎矩圖第四十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五（1）作出單位力引起的彎矩圖，（3）求自振頻率：（2）按圖乘法求出柔度系數(shù)為：11ll0第四十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例5：求圖剛架水平振動的自振頻率，不計橫梁的變形。k11k11解：圖示體系為單自由度體系:1)在質(zhì)量上沿位移方向加鏈桿，并令鏈桿沿位移方向發(fā)生單位位移，作出單位彎矩圖。第四十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五2）求鏈桿反力，即為剛度系數(shù)3）求自振頻率：k11k11EI→∞例5：求圖剛架水平振動的自振頻率，不計橫梁的變形。第四十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例6：求圖示體系的自振頻率。已知桿的剛度為無窮大，不計桿的質(zhì)量，彈簧剛度系數(shù)為K。解：圖示體系為單自由度體系。由于兩個質(zhì)點的慣性力不共線，所以不能將質(zhì)量合并。利用幅值方程求解。第四十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五方法一：利用幅值方程。

以質(zhì)點C的位移作基本位移參數(shù)，其最大位移設(shè)為A，以A點為矩心列力矩方程，有第四十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五方法二：能量法求體系的最大動能和最大勢能。振子的最大動能：彈性勢能：令第四十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點有一集中質(zhì)量m。當不考慮的自重，試比較三者的自振頻率。第四十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五P=1思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點有一集中質(zhì)量m。當不考慮的自重，試比較三者的自振頻率。第四十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五mgP=1MP圖Mi圖△st表示重力所產(chǎn)生的靜位移思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點有一集中質(zhì)量m。當不考慮梁的自重，試比較三者的自振頻率。第五十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五MP圖mgP=1Mi圖思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點有一集中質(zhì)量m。當不考慮梁的自重，試比較三者的自振頻率。第五十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五結(jié)構(gòu)的自振頻率只取決于它本身的質(zhì)量、剛度，隨著結(jié)構(gòu)剛度的加大，其自振頻率也相應增高。思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點有一集中質(zhì)量m。當不考慮梁的自重，試比較三者的自振頻率。第五十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)：《教材》12-15、16總結(jié)：

1、質(zhì)點的運動規(guī)律——簡諧振動。

2、自由振動中速度、加速度、慣性力的改變規(guī)律

3、求自振頻率的方法：

柔度法剛度法能量法幅值法單質(zhì)點、單自由度體系多質(zhì)點單自由度體系、復雜體系第五十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五§12-5簡諧荷載作用下無阻尼單自由度體系的受迫振動強迫振動——結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的振動單自由度體系在動荷載下的振動及相應的振動模型如圖示:

彈性力慣性力

平衡方程

第五十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五不同的動荷載作用，體系的動力反應不同。常見的幾種動荷載作用下體系的動力反應：或

式中

結(jié)構(gòu)的自振頻率

單自由度體系強迫振動方程

第五十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五一、簡諧荷載

—

荷載幅值

—

荷載的圓頻率(擾頻)1、運動方程及其解

二階線性非齊次常微分方程

通解：

齊次解：

設(shè)特解：

第五十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五運動方程的通解為：

由初始條件確定故特解為：代入方程，求得式（12-61）第三項按擾頻振動，稱為純受迫振動。前兩項消逝后，只考慮穩(wěn)態(tài)，即：第五十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五式（12-62）中振幅A等于：其中：由此可得：叫靜位移。是將擾力的幅值P作為靜力加上去時產(chǎn)生的位移令：得振幅的表達式：動力系數(shù)第五十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五得振幅的表達式：求動位移、動內(nèi)力最大值的計算步驟：1）在擾力幅值P作用下求靜位移及靜內(nèi)力；2）求動力系數(shù)；3）將靜位移、靜內(nèi)力乘以動力系數(shù)即得動位移、動內(nèi)力的幅值；思考題:P70例題12-15第五十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五動力系數(shù)是頻率比的函數(shù)

2、算式分析它反映了干擾力對結(jié)構(gòu)的動力作用。振幅算式：動力系數(shù)：當時，即動位移與干擾力指向一致；當時，即動位移與干擾力指向相反。第六十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五1）時，干擾力產(chǎn)生的動力作用不明顯，因此可當作靜荷載處理；極限情況，即或，則。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時間變化，因此不存在振動問題。當時，為增函數(shù)。

2、算式分析振幅算式：動力系數(shù)：第六十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五2）當時，，共振,為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率使或。

3）當時，為減函數(shù)當時，，，體系處于靜止狀態(tài)。2、算式分析振幅算式：動力系數(shù)：第六十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩.已知：第六十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五解:(1)計算動力系數(shù)梁的自振頻率：

荷載頻率：

動力系數(shù)：

例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩.第六十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五(2)動荷載幅值作為靜荷載作用時的位移和內(nèi)力(3)振幅和動彎矩幅值振幅動彎矩幅值例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩.第六十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五(4)最大位移和最大彎矩

簡支梁的最大位移和最大彎矩均在梁跨中點

跨中重量G產(chǎn)生的靜位移

:跨中的最大位移:

跨中重量G產(chǎn)生的靜彎矩:跨中的最大彎矩:

例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩.第六十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五4.動荷載不作用在質(zhì)點上時的動計算

振動方程

令

(a)

(b)

第六十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五則穩(wěn)態(tài)解[同式(12-62)]

(c)

(d)

(e)

第六十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五

（1）、振幅

結(jié)論:仍是位移的動力系數(shù).第六十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五

（2）、動內(nèi)力幅值

三者同時達到幅值。、、作同頻同步運動，根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力幅值和干擾力幅值同時作用在體系上，按靜力學計算方法便可求得動內(nèi)力幅值。第七十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例：求圖示簡支梁的振幅，作動彎矩幅值圖。已知：

(a)

(b)

解

(1)計算動力系數(shù)

(2)簡支梁的振幅

(c)第七十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五

(d)

(e)

(3)作動彎矩的幅值圖慣性力幅值動彎矩幅值圖(f)將動荷載幅值F和慣性力幅值I作用在梁上，按靜力學方法作出彎矩圖---動彎矩幅值圖。

例：求圖示簡支梁的振幅，作動彎矩幅值圖。已知：第七十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論對于單自由度體系，當干擾力作用在質(zhì)量上時，位移的動力系數(shù)和內(nèi)力的動力系數(shù)是相同的；當干擾力不作用在質(zhì)量上時，位移和內(nèi)力各自的動力系數(shù)通常是不同的。對于位移和內(nèi)力動力系數(shù)相同的情況，求結(jié)構(gòu)的最大動力反應時，可將干擾力幅值當作靜荷載作用計算結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力，然后再乘以動力系數(shù)，便可得到穩(wěn)態(tài)振動時結(jié)構(gòu)的最大動位移和最大動內(nèi)力。對于位移和內(nèi)力動力系數(shù)不同的情況，則要從體系的運動方程出發(fā)，先求出穩(wěn)態(tài)振動的位移幅值，再算出慣性力。最后，按靜力計算方法求出結(jié)構(gòu)在干擾力幅值和慣性力幅值共同作用下的內(nèi)力，此即結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力。第七十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五●工程實例1)多層房屋的側(cè)向振動，2)不等高排架的振動，3)塊式基礎(chǔ)的水平回轉(zhuǎn)振動，4)高聳結(jié)構(gòu)(如煙囪)在地震作用下的振動，5)橋梁的振動，6)拱壩和水閘的振動等，一般均化為多自由度體系計算。●目的1)計算自振頻率，即，，…，。2)確定振型（振動形式），即，，…

，或振型常數(shù)r1，r2（僅適用于兩個自由度體系）。并討論振型的特性——主振型的正交性?！?2-7多自由度體系的自振頻率和振型計算第七十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五●方法1)剛度法——根據(jù)力的平衡條件建立運動微分方程。2)柔度法——根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件建立運動微分方程。對于多自由度體系自由振動分析一般不考慮阻尼。第七十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五一、兩個自由度體系的自由振動1.剛度法(1)運動方程的建立若不考慮阻尼，取質(zhì)量m1和m2作隔離體，質(zhì)點上作用慣性力和彈性恢復力，根據(jù)達朗伯原理，可列出平衡方程第七十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五結(jié)構(gòu)所受的力、與結(jié)構(gòu)的位移、之間應滿足剛度方程是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)第七十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五可得運動方程也可用矩陣表示為或縮寫為式中，為質(zhì)量矩陣；為加速度列陣；為剛度矩陣；為位移列陣。第七十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五(2)運動方程的求解設(shè)1)在振動過程中，兩個質(zhì)點同頻率（w）、同相位（a）。上式所表明的運動具有以下特點：2)在振動過程中，兩個質(zhì)點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但二者的比值始終保持不變，即常數(shù)結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型或振型。這樣的振動稱為按振型自振（單頻振動，具有不變的振動形式），而實際的多自由度體系的自由振動是多頻振動，振動形狀隨時間而變化，但可化為各個振型振動的疊加。第七十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五(3)求自振頻率wi將代入運動方程得或為了要求得A1、A2不全為零的解答，應使其系數(shù)行列式為零，即由此式可確定體系的自振頻率wi，因此稱頻率方程或特征方程。第八十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五將D展開，整理后，得由此可以解出w2的兩個根，即由上式可見，w只與體系本身的剛度系數(shù)及其質(zhì)量分布情形有關(guān)，而與外部荷載無關(guān)。約定w1<w2，其中w1稱第一圓頻率（最小圓頻率，基本圓頻率、基頻）w2稱第二圓頻率（高頻）。第八十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五(4)求主振型第一,求第一主振型：令w

=w1，代入式（12-98），則代入振型方程（12-101）由于系數(shù)行列式D＝0，此二方程是線性相關(guān)的（實際上只有一個獨立的方程），不能求出A11和A21的具體數(shù)值，而只能求得二者的比值。第一振型（相對于w1），可表示為第八十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五第二，求第二主振型：令w=w2，則代入振型方程，得同樣，也可求得第八十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五可作出兩個自由度體系的第一主振型和第二主振型，如圖所示。第一主振型第二主振型兩個自由度體系第八十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五三．舉例

例12-19：已知圖示兩層剛架，橫梁為無限剛性。該質(zhì)量集中在樓層上，分別為m1，m2。層間側(cè)移剛度（層間產(chǎn)生單位相對側(cè)移時所需施加的力）分別為k1，k2。求剛架水平振動時自振頻率和主振型。第八十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五解：（1）求結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)第八十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五（2）求自振頻率由頻率方程當時，有解得：第八十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五（3）求主振型兩個主振型圖：第一主振型第二主振型第一主振型第二主振型第八十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五在一般情況下，兩個自由度體系的自由振動可以看作是兩個頻率及其主振型的組合振動。相應于w1，有一組特解（前述甲組特解），相應于w2也有一組特解（乙組特解），它們是線性無關(guān)的。由這兩組特解加以線性組合，即得通解為甲組特解乙組特解式中，兩對待定常數(shù)A1、a1；A2、a2由初始條件(y0和v0)確定。兩個自由度體系可按第一主振型、第二主振型或二者的組合振動。體系能按某個振型自振，其條件是：y0和v0應當與此主振型相對應。要想引起按第一主振型的簡諧自振，則所給y01/y02或v01/v02必須等于r1；要想引起按第二主振型的簡諧自振，則所給y01/y02或v01/v02必須等于r2。否則，將產(chǎn)生組合的非簡諧的周期運動。第八十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五(5)標準化（規(guī)一化）主振型為了使主振型的振幅具有確定值，需要另外補充條件，這樣得到的主振型，叫做標準化主振型。一般可規(guī)定主振型中某個元素為給定值，如規(guī)定某個元素Yji等于1，或最大元素等于1。

第一主振型第二主振型第九十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五多自由度體系自由振動的重要特性：1)多自由度自振頻率和主振型的個數(shù)均與體系自由度的個數(shù)相等；2)每個自振頻率有其相應的主振型，而這些主振型就是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時所具有的特定形式；3)多自由度體系的自振頻率和主振型是體系自身的固有動力特性，它們只取決于體系自身的剛度系數(shù)及其質(zhì)量的分布情形，而與外部荷載無關(guān)。第九十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五例：圖示框架，其橫梁為無限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，試計算其自振頻率和主振型。解：本例兩層框架為兩個自由度體系，用剛度法計算較為方便。(1)求剛度系數(shù)kij第九十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五(2)求自振頻率wi將m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入所以由此得第九十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五(3)求主振型（振型常數(shù)ri）第一主振型第二主振型(4)作振型曲線，如圖所示。第一主振型

第二主振型

第九十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五2.柔度法對于圖示體系，在自由振動中的任一時刻t，質(zhì)量m1、m2的位移、應當?shù)扔隗w系在當時慣性力、作用下所產(chǎn)生的靜力位移（圖a）思路(1)運動方程的建立dij是體系的柔度系數(shù)第九十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五也可寫為或以上運動方程，也可利用剛度法所建立的運動方程間接導出：因所以，有前乘以[d]，得注意：[d]與[K]雖然互為逆陣，但[d]中之dij與[K]中之kij元素一般并不互逆（僅單自由度體系例外）。第九十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五(2)運動方程的求解(3)求自振頻率wi設(shè)特解代入運動方程，并消去公因子表明，主振型的位移幅值(Y1及Y2)，就是體系在此主振型慣性力幅值作用下引起的靜力位移，如圖所示。慣性力為:第九十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五將式通除以稱為振型方程或特征向量方程。為了求得Y1、Y2不全為0的解，應使該系數(shù)行列式等于零，即稱為頻率方程或特征方程。由它可以求出w1和w2。第九十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期五令l

=，代入式(a)，得關(guān)于l

的二次方程展開，得(a)可解出l的兩個根，即約定l1>l2(從而滿足w1<w2)，于是求得第九十九頁，共一