第四章矩陣論

第四章矩陣論1第一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五1矩陣的概念4.1

矩陣的概念及其運(yùn)算2矩陣的線性運(yùn)算4矩陣的轉(zhuǎn)置3矩陣的乘法2第二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五引例產(chǎn)品分配問(wèn)題：某廠向三個(gè)商店發(fā)送四個(gè)產(chǎn)品.產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品1234店1店2店3單單件價(jià)重產(chǎn)品1產(chǎn)品2產(chǎn)品3產(chǎn)品43第三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五1矩陣概念簡(jiǎn)記為:

4第四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五矩陣相等若兩個(gè)矩陣行數(shù)相同,列數(shù)也相同,則稱為同型矩陣.矩陣的相等則稱A與B相等,記作A=B.零矩陣0所有元素全是零的矩陣.5第五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五特殊矩陣特殊矩陣(1)n階方陣(2)行矩陣(又稱為行向量)(3)列矩陣(又稱為列向量)6第六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)角陣

(4)方陣中從左上角元素到右下角元素的元素族稱為主對(duì)角線.主對(duì)角線以外的元素都是零的方陣稱為對(duì)角矩陣，簡(jiǎn)稱對(duì)角陣.記為7第七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五上、下三角陣(5)單位矩陣主對(duì)角線上的元素全是1的對(duì)角陣(6)上三角陣主對(duì)角線下方所有元素均為零的方陣;

下三角陣主對(duì)角線上方所有元素均為零的方陣.8第八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五2矩陣線性運(yùn)算加法

：兩同型矩陣之和為運(yùn)算律:

9第九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五續(xù)數(shù)乘

：運(yùn)算律:

給定矩陣

及數(shù),10第十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五3矩陣的乘法的乘積為其中

A的第i行

B的第j列

注意:

A的列數(shù)=B的行數(shù)!11第十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五矩陣乘法的性質(zhì)結(jié)合律(AB)C=A(BC).

(2)(AB)=(

A)B=A(B)，(為數(shù)).

(3)右分配律

A(B+C)=AB+AC，

左分配律(B+C)A=BA+CA.12第十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1

則

可見:AB=OA=O或B=O

BA=CAB=C

AB=BA

13第十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五注解特別注意:(1)一般情形AB

BA

若同階方陣A,B滿足AB=BA,則稱A

與B

可交換.(2)矩陣乘法無(wú)消去律

AB=OA=O或B=O.AB=ACB=C.(AB)C=OA=B.14第十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五續(xù)(1)單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當(dāng)于數(shù)1.簡(jiǎn)寫成EA=AE=A.

E與任何同階方陣可交換.

(2)純量矩陣

可見,純量矩陣E與任何同階方陣都可交換,它將數(shù)與矩陣之積轉(zhuǎn)換為矩陣與矩陣之積.

15第十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五方陣的冪運(yùn)算律16第十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五續(xù)思考:設(shè)A,B為n階方陣,對(duì)嗎？?jī)H當(dāng)A,B可交換時(shí)等號(hào)才成立.反例:17第十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算律:18第十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣若n階方陣A滿足

則稱A為對(duì)稱矩陣.

A為對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)：若n階方陣A滿足

則稱A為反對(duì)稱矩陣.

A為反對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)：19第十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五證例2E為n階單位矩陣,

證明H為對(duì)稱矩陣,且所以H為對(duì)稱矩陣.

20第二十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五1矩陣行列式的定義4.2

方陣的行列式2矩陣行列式的性質(zhì)

21第二十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五二階行列式的定義行列式的元素

行標(biāo)列標(biāo)對(duì)角線法則22第二十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五三階行列式的定義不同行不同列元素乘積之代數(shù)和！

加減號(hào)的規(guī)律:23第二十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五1n

階行列式的定義

式1)當(dāng)n=2時(shí),

2)當(dāng)n

>2時(shí),假定n-1階行列式已定義.所在行和列后所得的n–1階行列式.則n階行列式定義為：24第二十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五續(xù)n階行列式

中劃去

所在的行和列后所得的n–1階行列式的余子式;

的代數(shù)余子式.

因此,n階行列式25第二十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3行列式和代數(shù)余子式分別為：26第二十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4

求下三角行列式之值27第二十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五2性質(zhì)拉普拉斯展開定理

設(shè)Aij

為行列式D中元素aij的代數(shù)余子式,則28第二十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例5

求上三角行列式之值29第二十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例6利用對(duì)角線法則計(jì)算得：30第三十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五變換性質(zhì)1交換行列式的兩行(列),行列式變號(hào).性質(zhì)1例如

若

則推論:行列式D中有兩行(或兩列)完全相同

D=0.31第三十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五變換性質(zhì)2性質(zhì)2例如

若

則D中第i行乘以k得行列式D1

(j列)推論:同一行(列)的公因子可提到行列式符號(hào)外.32第三十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五續(xù)——推廣33第三十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五變換性質(zhì)3性質(zhì)3把行列式的某行(列)的k倍加到另一行(列),

行列式的值不變.推論

D中有兩行(列)元素成比例

34第三十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五分解性質(zhì)性質(zhì)4對(duì)行有類似結(jié)果!35第三十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五注解36第三十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例7計(jì)算行列式37第三十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例8

計(jì)算解法1.

D

38第三十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五

計(jì)算解法2.

D

39第三十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五方陣的行列式由n階方陣A的元素構(gòu)成的行列式稱為方陣A

的行列式,

定義運(yùn)算律40第四十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例9設(shè)

解法1.解法2.

設(shè)A為n階方陣,

1或–1.

41第四十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五1矩陣的初等變換與初等矩陣4.3

矩陣的秩與矩陣的逆2矩陣的等價(jià)與階梯矩陣4矩陣的逆3矩陣的秩42第四十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五1矩陣的初等變換與初等矩陣下列三種變換稱為矩陣的初等行變換:(列)初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.43第四十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1044第四十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五初等矩陣的定義由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等矩陣(1)對(duì)調(diào)單位矩陣E的第i行(列)與第j行(列)E(i,j)E(i(k))(3)以數(shù)k乘第j行(i列)加到第i行(j列)上E(ij(k))45第四十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五初等矩陣—對(duì)調(diào)E第i

行(列)與第j

行(列)E(i,j)作用

對(duì)調(diào)A的第i行與第j行.

對(duì)調(diào)A的第i列與第j列.46第四十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例11給定矩陣則有直接計(jì)算可得：47第四十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五初等矩陣E(i(k))作用—

對(duì)A施行運(yùn)算—對(duì)A施行運(yùn)算

48第四十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五初等矩陣—第i

行(j列)加第j行(i列)

的k

倍E(ij(k))作用—對(duì)A施行運(yùn)算—對(duì)A施行運(yùn)算49第四十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例12給定矩陣則有50第五十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五計(jì)算得所以有：

用一系列初等矩陣左乘矩陣A等價(jià)于對(duì)A施加一系列初等行變換，用一系列初等矩陣右乘矩陣A等價(jià)于對(duì)A施加一系列初等列變換.51第五十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五2矩陣的等價(jià)與(行)階梯矩陣設(shè)矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化成矩陣B，則稱矩陣A與B等價(jià)，記為例如，矩陣等價(jià).因?yàn)?2第五十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五(行)階梯矩陣—定義滿足下列條件的矩陣稱為（行）階梯矩陣.(1)每行第一個(gè)非零元素的列標(biāo)大于或等于其行標(biāo).(2)每行第一個(gè)非零元素的列標(biāo)大于其上一行第一個(gè)非零元素的列標(biāo).例如，初等行變換可將任意一個(gè)矩陣變?yōu)殡A梯形矩陣！(3)所有零行（即元素全為零的行）均在非零行的下方.

53第五十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣稱滿足下列條件的階梯矩陣為行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：(1)各非零行的第一個(gè)非零元（即首非零元）都是1；(2)每個(gè)首非零元所在列的其余元素都是零.例如，矩陣初等行變換可將任意一個(gè)矩陣變?yōu)樾袠?biāo)準(zhǔn)形矩陣！是行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.54第五十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五3矩陣的秩引理1、任何一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)有限次行初等變換可以化成（行）階梯形矩陣.

稱與矩陣A等價(jià)的階梯形矩陣的非零行數(shù)必相等.2、與矩陣A等價(jià)的任何兩個(gè)階梯形矩陣的

非零行數(shù)為矩陣

A的秩,記作r(A).規(guī)定:零矩陣的秩為0.矩陣秩的定義

55第五十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五矩陣秩的性質(zhì)

設(shè)A為n階方陣,若r(A)=n,則稱A為滿秩矩陣;若r(A)<n,則稱A為降秩矩陣.(2)矩陣的初等變換不改變矩陣的秩！即(1)行階梯矩陣的秩等于它的非零行數(shù).56第五十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例13求矩陣A的秩解因?yàn)樗?，r(A)=2.57第五十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4矩陣的逆對(duì)n階方陣A,

若存在n階方陣B,使得則稱A

可逆,B為A的逆矩陣.

命題若A可逆

A的逆矩陣惟一.

證則于是有證畢.定義:58第五十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五矩陣逆的性質(zhì)59第五十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例14求矩陣的逆矩陣.解構(gòu)造矩陣則60第六十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五矩陣的逆求法例15解61第六十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五因此有62第六十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五1線性方程組可解條件4.4

線性方程組2線性方程組的解法63第六十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五概述一般形式(1)系數(shù)矩陣常向量

未知向量64第六十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五線性方程組的矩陣形式與向量形式矩陣形式向量形式(2)(3)65第六十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五幾個(gè)概念若有常數(shù)

，使得方程組(1)中的m個(gè)式若常向量b=0,則稱為方程組(1)的解.子均成為恒等式，方程組(1)有解,就稱它是相容的,

方程組(1)無(wú)解,就稱它是不相容的.則稱方程組(1)為齊次線性方程組，否則，稱方程組(1)為非齊次線性方程組.即(4)66第六十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五1線性方程組的可解條件引例求解解①②③67第六十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五引例（續(xù)）68第六十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五69第六十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五70第七十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五可解條件(1)無(wú)解線性方程組(2)有惟一解(3)有無(wú)窮多解齊次線性方程組一定有解.(1)有惟一零解(2)有非零解71第七十一頁(yè)，共