第六章樣本及其抽樣分布

第六章樣本及其抽樣分布第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五

樣本:

由部分個體構(gòu)成的集合。經(jīng)常說,來自(或取自)某總體的樣本。樣本具有二重性:在抽樣前,它是隨機向量,在抽樣后,它是數(shù)值向量(隨機向量的取值)。樣本選擇方式:(1)有放回抽樣.(2)無放回抽樣特別,樣本容量<<總體數(shù)量時,無放回抽樣可近似看作有放回抽樣.簡單隨機樣本(s.r.s):

具有兩個特點的樣本:代表性(組成樣本的每個個體與總體同分布),獨立性(組成樣本的個體間相互獨立)。

樣本容量:

樣本中所含個體的個數(shù)。第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五如,檢驗一批燈泡的質(zhì)量,從中選擇100只,則總體:這批燈泡(有限總體)個體:這批燈泡中的每一只樣本:抽取的100只燈泡(簡單隨機樣本)樣本容量:100樣本觀測值:x1,x2,…,x100定義:設(shè)X為一隨機變量,其分布函數(shù)為F(x),X1,X2,…,Xn是一組獨立且與X同分布的隨機變量,稱X為總體;(X1,X2,…,Xn)為來自總體X(或分布函數(shù)F(x))的簡單隨機樣本;n為樣本容量;在依次觀測中,樣本的具體觀測值x1,x2,…,xn稱為樣本值XX1,X2,…,X100100樣本值注意:樣本是一組獨立同總體分布相同的隨機變量.第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五總體選擇個體樣本觀測樣本樣本觀察值(數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論統(tǒng)計的一般步驟:推斷總體性質(zhì)

統(tǒng)計量為了集中簡單隨機樣本所帶來的總體信息,考慮樣本的函數(shù),且不含任何未知參數(shù),這樣的“不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量。第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五

是來自總體例6.2.1

設(shè)未知,則()不是統(tǒng)計量。的s.r.s,其中已知,統(tǒng)計量定義:設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個樣本,g(X1,X2,…,Xn)是n維隨機變量的函數(shù),若g中除樣本的函數(shù)外不含任何未知參數(shù),則稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計量.統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五①樣本均值

常用統(tǒng)計量:②樣本方差③樣本標準差④樣本k階原點矩⑤樣本k階中心矩第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五(6)順序統(tǒng)計量與樣本分布函數(shù)設(shè)X1,X2,…,Xn的觀察值為x1,x2,…,xn,從小到大排序得到:x(1),x(2),…,x(n),定義X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),…,X(n))或它們的函數(shù)都稱為順序統(tǒng)計量.顯然X(1)X(2)

…X(n)且有X(1)=min(X(1),X(2),…,X(n)),X(n)=max(X(1),X(2),…,X(n))1)樣本中位數(shù)2)樣本極差R=X(n)-X(1)第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五樣本分布函數(shù)(經(jīng)驗分布函數(shù))格里汶科定理:設(shè)總體X的分布是F(x),則下式成立第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五第6.3節(jié)抽樣分布一、樣本均值的分布定理：設(shè)X1，X2,…Xn是來自總體N(,2)的樣本，是樣本均值，則有注：在大樣本情況下，無論總體服從何種分布均有第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五二、順序統(tǒng)計量的分布1、（X（1），X（2）…X(n)）的概率密度函數(shù)為2、樣本中位數(shù)的概率密度函數(shù)為3、樣本極差的概率密度函數(shù)為其中第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五z

1-α例6.3.1

設(shè)X~N(0,1),分別為0.95,0.975,0.75,求X關(guān)于的100%分位數(shù).Xφ(x)三、標準正態(tài)分布及其100%分位數(shù)定義:設(shè)X~N(0,1),對任意0<<1,若P{X<λ}=,則稱λ為標準正態(tài)分布的100%

分位數(shù),記為解:=0.95時,反查表得:z0.95=1.64類似可得:z0.975=1.96,z0.75=0.69－z第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五分布及其性質(zhì)1.定義:

稱n個相互獨立同標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和X的分布為自由度為n的分布,記作(2)

X1,X2,…Xk獨立,Xi~(ni),(i=1,2,…,k),則

2.性質(zhì):

(1)

X1,X2,…Xn獨立,Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),則(3)X1,X2,…Xn為來自總體N(,2)的簡單隨機樣本,則四、（4）第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五

例6.3.2

設(shè)是來自總體的s.r.s,則服從()分布。

例6.3.3(983)設(shè)是取自總體N(0,4)的s.r.s,

當a=

,b=

時,解(1)服從(2)由題意得a=1/20b=1/100第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五3.的密度曲線Xf(x)n=1n=4n=10隨著n的增大,密度曲線逐漸趨于平緩,對稱.第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五4.

分布的100

%分位數(shù)定義:設(shè),對于給定的(0<<1),若P{X<λ}=,則稱λ為自由度為n的分布的100%分位數(shù),記為Xf(x)查表求100%分位數(shù):(1)若P{X<λ}=,則(1)若P{X>λ}=,則例6.3.4.設(shè)X~(10),P{X>λ1}=0.025,P{X<λ2}=0.05,求λ1,λ2.解:查表得:查表得:第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五五、t分布及其性質(zhì)1.定義

設(shè)隨機變量,隨機變量,Y且它們互相獨立,則稱隨機變量

的分布為自由度是n的t分布,記作可以證明t分布的概率密度函數(shù)為第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五

特點:

關(guān)于y軸對稱;隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標準正態(tài)密度曲線.2.t分布的密度曲線:Xf(x)第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五3、t分布的性質(zhì)（1）（2）（3）h(t)的圖形關(guān)于Y軸對稱第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五4.t分布的100α%分位數(shù):Xf(x)對于給定α(0<α<1),若P{t(n)<λ}=α

,則稱λ為t分布的100α%分位數(shù),記為:1-α例6.3.5.

設(shè)t~t(15),求(1)α=0.995(2)α=0.005的100α%分位數(shù);解:(1)λ=t0.995(15),查表得λ=2.9467(2)λ=t0.005(15),查表得λ=-2.9467注:

第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五

例6.3.6(974)

設(shè)隨機變量X和Y

相互獨立且都服從正態(tài)分布,而和分別是來自總體X

和Y

的s.r.s,則統(tǒng)計量服從()分布,參數(shù)為().t9解:故與獨立,所以第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五六、F分布及其性質(zhì)1.定義

設(shè)隨機變量隨機變量且它們相互獨立,則稱隨機變量的分布為自由度是的F

分布。記作可以證明，的概率密度函數(shù)為第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五2.F分布的概率密度曲線3.性質(zhì):第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五4.F分布的100α%分位數(shù)Xf(x)設(shè)F~,對于給定α(0<α<1),若P{F<λ}=α,則稱λ為F分布的100α%分位數(shù),記為:5.100α%分位數(shù)的計算(1)若P{F<λ}=α,則(2)若P{F<λ}=α(α比較小),則P{1/F<1/λ}=1-α,故第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例6.3.7

設(shè)F～F(24,15),分別求滿足解(1)λ=F0.975(24,15)=2.29(2)λ=F0.95(24,15)=2.70(3)α比較小,P{1/F<1/λ}=0.975所以λ=0.41第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五七、抽樣分布基本定理1、設(shè)是來自總體的s.r.s,

表示樣本均值，則

第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五2、設(shè)X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),X,Y相互獨立,從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,樣本均值分別記為第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五3、定理6.3.3設(shè)X1，X2,…,Xn是來自總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有注：由可得第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五4、定理6.3.4設(shè)X1，X2,…,Xn是來自總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有例6.3.8(993)設(shè)是來自正態(tài)總體X的s.r.s,證明:統(tǒng)計量Z~t(2)第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例6.3.9(994)