第十七章 第十七章 動能定理

第十七章第十七章動能定理第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五第十七章動量定理第一節(jié)力的功第二節(jié)動能第三節(jié)動能定理第四節(jié)功率和功率方程下一頁上一頁第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

力的功是力沿路程累積效應的度量。一、常力的功下一頁上一頁第一節(jié)力的功FSFSW×==

cosa力的功是代數(shù)量。時，正功；時，功為零；時，負功。單位：焦耳（Ｊ）；2pa<2pa=2pa>m1N1J1×=第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五二、變力的功

dzFdyFdxFzyx++=dsFt=dsFWadcos=元功：下一頁上一頁rdF×=第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五力在曲線路程中作功為F21MM下一頁上一頁（自然形式表達式）ò=ò=2121cosMMMMdsFdsFWta（矢量式）ò×=21MMrdF（直角坐標表達式）ò++=21MMzyxdzFdyFdxF第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五下一頁上一頁三、合力的功質(zhì)點M受n個力作用合力為則合力的功RnFFF,,,21……?=iFRrdFFFrdRWnMMMM×+……..++=×=òò)(212121nMMnMMMMWWWrdFrdFrdF+++=×+……..,.+×+×=òòòL2121212121

在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。即

?=iWW第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五四、常見力的功1.重力的功mgFFFzyx-===

,0

,0質(zhì)點：重力在三軸上的投影：下一頁上一頁ò-=-=21)(21zzzzmgmgdzW質(zhì)點系：

質(zhì)點系重力的功，等于質(zhì)點系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點的路徑無關(guān)。)()(2121CCiiiizzMgzzgmWW-=-==??第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五2.彈性力的功彈簧原長，在彈性極限內(nèi)代數(shù)量k—彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時所需的力。N/m,N/cm。

0l)(0lrk--=022011202201,

])()[(2lrlrlrlrk-=-=---=dd令彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)。下一頁上一頁200)(2)(2121lrdkdrlrkWrrrr--=--=òò第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

3．作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力的功，

力偶的功設在繞z軸轉(zhuǎn)動的剛體上M點作用有力，計算剛體轉(zhuǎn)過一角度時力所作的功。M點軌跡已知。FFbnFFFF++=t下一頁上一頁下一頁上一頁第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五作用于轉(zhuǎn)動剛體上力的功等于力矩的功。如果作用力偶M,且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸力矩與剛體轉(zhuǎn)向一致作功。下一頁上一頁)(12jj-=MWjjdttdFmrdFdsFWz)(=×==ò-==\21)()(

12jjjjjjdFmWz若M=常量,則ò=21jjjMdW第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五正壓力，摩擦力作用于瞬心P處，而瞬心的元位移NFN=常量時,W=–f′NS,與質(zhì)點的路徑有關(guān)。RsmmW-=-=j若m=常量則②圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功③滾動摩擦阻力偶m的功

4.摩擦力的功①動滑動摩擦力的功下一頁上一頁0==dtvdrpp0=×=×=dtvFdrFWppd第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五五、質(zhì)點系內(nèi)力的功

只要A、B兩點間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等于零。下一頁上一頁BArdFrdFW×+×='dBArdFrdF×-×=)(BArrdF-×=×)(BAdF=第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五六、理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。

2.光滑鉸支座1.光滑接觸面約束下一頁上一頁)(

0)(rdNrdNWN^=×=d第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五3.光滑鉸鏈（中間鉸）4.柔索約束

拉緊時，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。下一頁上一頁?×+×=rdNrdNWN')(d0=×-×=rdNrdN第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五物體的動能是由于物體運動而具有的能量，是機械運動強弱的又一種度量。與速度方向無關(guān)的正標量,具有與功相同的量綱,單位也是J。二、質(zhì)點系的動能一、質(zhì)點的動能

下一頁上一頁第二節(jié)動能221mvT=221iivmT?=第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五221wPJT=（P為速度瞬心）2MdJJCP+=1111222222

2)(22wwwCCCJvMdMJ+=+=1.平動剛體2.定軸轉(zhuǎn)動剛體3.平面運動剛體三、剛體的動能下一頁上一頁22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT====??222221)(2121wwziiiiJrmvmT===??第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五1.質(zhì)點的動能定理：)21(

2mvdmvdv=而dsFWmvdtd==)21(2因此

動能定理的微分形式將上式沿路徑積分，可得21MMWmvmv=-21222121動能定理的積分形式下一頁上一頁第三節(jié)動能定理ttFmaFam=T=

兩邊點乘以，有dsvdt=dsFmvdv×=t第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)點系動能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點系的動能定理可寫成以下的形式2.質(zhì)點系的動能定理將上式沿路徑積分，可得21MMiiiWvmdd=)21(2對質(zhì)點系中的一質(zhì)點

：iM下一頁上一頁對整個質(zhì)點系，有????=T=iiiiiiWvmdWvmddd)21(

)21(22即

質(zhì)點系動能定理的微分形式?=iWdTd?=-WTT12?=-iWTT12

為所有外力與內(nèi)力的功之和?iW第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

例1

圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)下一頁上一頁第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解：取系統(tǒng)為研究對象01=T222221

2121BCAOJvgQJTww++=下一頁上一頁)/(

RhQhMWi=+=?jj)78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA+=×++×=ww第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4

)(0)78(162++=+=-+上式求導得：7P8QQ)g8(M/Ra++=下一頁上一頁?=-iWTT12由)(

)(2dtdhvdtdhQRMdtdvv=+=×1678gPQ+第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例2行星齒輪傳動機構(gòu),放在水平面內(nèi)。動齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤；曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動；求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角的函數(shù)表示)。解：取整個系統(tǒng)為研究對象01=T下一頁上一頁?=jMWi212222121321w2212

wgrPvgPgQlT×++=第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五wwwrlrvlv===111

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)(26wwwwlgPQrlgrPlgPgQlT+=++=根據(jù)動能定理，得jwMlgPQ=-+0129222PQgMl9232+=jw下一頁上一頁212222121321w212

2

wgrPvgPgQlT×++=第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

一、功率：力在單位時間內(nèi)所作的功。作用力的功率：力矩的功率：功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。下一頁上一頁第四節(jié)功率和功率方程dtWPd=vFdtdsFdtWPttd=×==30pwjdnMMdtdMdtWPzzz=×===第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五P輸入—輸入功率P有用—有用功率P無用—無用功率下一頁上一頁二、功率方程：由的兩邊同除以dt得?=WdTd??--===無用有用輸入即PPPPdtdTdtWdtdT

d第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五是評定機器質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標之一。一般情況下＜１。工程上把機器的有用輸出功率與輸入功率之比稱為機械功率三、機械功率下一頁上一頁第二十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例3單級齒輪減速器，電動機的功率P=7.5kW，轉(zhuǎn)速n=1450ra