第四章 晶格振動

第四章晶格振動第一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五在上一章的討論中把組成晶體的粒子看作是處在平衡位置上的。但對于實際晶體卻不確切。實際晶體中的原子并不處于靜止狀態(tài)，它們在平衡位置附近作微振動，而且由于晶體內(nèi)原子間存在著相互作用力，因此各個原子的振動并不是孤立的，而是聯(lián)系在一起的，整個晶格可看作是一個互相耦合的振動系統(tǒng)，這個系統(tǒng)的運動稱為晶格振動。第二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五

晶格振動不僅對晶體的比熱、熱膨脹和熱傳導等熱學性質(zhì)有重要影響，而且和晶體的電學性質(zhì)、光學性質(zhì)和介電性質(zhì)等也有密切關(guān)系。應(yīng)用晶格振動理論可對物理性質(zhì)作比較統(tǒng)一的論述，為簡單起見，我們先考慮一維晶格的振動，然后再把所得得的的主要結(jié)論加以推廣，引出三維晶格振動的基本特征。第三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五本章要研究的內(nèi)容：晶格振動及其對晶體宏觀性質(zhì)的影響研究的意義：利用晶格振動的理論解釋晶體的熱學性質(zhì)研究的方法：一維原子鏈三維晶格晶格振動與熱學性質(zhì)之間的關(guān)系格波聲子第四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五§1一維原子鏈的振動簡諧近似：假設(shè)原子間的相互作用力僅存在于最近鄰原子之間，在簡諧近似下，我們可以用一個力常數(shù)為k

的彈簧表示最緊鄰原子間的相互作用。一維情況下，原子的振動是縱向的。一獨立簡諧振動二簡諧振動的耦合（一）一維單原子鏈的振動（二）一維雙原子鏈的振動第五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五晶格振動最簡單的模式是獨立簡諧振動，所謂獨立是指：(1)各個原子的振動相互獨立；(2)一個原子在三個空間方向上的振動相互獨立。一獨立簡諧振動第六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五1.一維簡諧振動的經(jīng)典力學處理根據(jù)經(jīng)典力學原理，一維簡諧振動滿足如下微分方程：解得系統(tǒng)勢能對晶格振動，如溫度不是很高，原子只在平衡位置附近作微小位移，這時的晶格振動滿足簡諧條件，k等于f(r)-r

曲線在r0處斜率的絕對值，m是原子質(zhì)量。第七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五2一維簡諧振動的量子力學處理原子是一種量子，其運動規(guī)律受量子力學支配。一維諧振子的主要結(jié)論（在第一章已經(jīng)學習過）由于簡諧振子的勢能為，將這個關(guān)系代入薛定諤方程，就可以確定簡諧振子的波函數(shù)?？梢宰C明，量子化的簡諧振子能量的可能值為：顯然，原子振動的能量是量子化的。n=0對應(yīng)的能量稱為零點能量，相鄰能級的能量差為。

第八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五二簡諧振動的耦合事實上，晶體中原子的振動并不是獨立的，而是相互關(guān)聯(lián)的，這種關(guān)系稱為耦合。（一）一維單原子鏈的振動（二）一維雙原子鏈的振動第九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五第十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五第十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五（一）一維單原子鏈的振動引言建立模型建立運動方程求解討論第十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五1引言體心立方的鐵一維單原子鏈三維問題的簡化第十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五波矢q的可取值是分離的鏈長的有限性造成的波矢q取值的分離性將保持，ω與q的線性關(guān)系一般不存在，且振動角頻率ω有上限，被限制在一定的區(qū)間。在一維連續(xù)介質(zhì)中傳播的彈性波若弦或棒為有限長(L)，則形成駐波，L必為半波長的整數(shù)倍，則：一維單原子鏈振動的簡介一維單原子鏈中離散的原子耦合振動形成的波第十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五2建立模型1）最近鄰假設(shè)：只考慮最近鄰原子之間的相互作用力；2）簡諧近似：相互作用力為簡諧力；3）波恩－卡曼周期性邊界條件：第十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五波恩－卡曼周期性邊界條件第十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五3建立運動方程1)對于第n個原子有：2)對于單原子鏈上的每一個原子，都遵從類似的方程，共有N個類似方程，且相互耦合。第十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五4求解設(shè)方程組的解得到格波色散關(guān)系l取任意整數(shù)第十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五5討論1）格波與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的差別與聯(lián)系

——

格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式

——

一個格波表示的是所有原子同時做頻率為的振動差別：格波的空間坐標是離散的。

聯(lián)系：在長波極限下，常用連續(xù)介質(zhì)彈性波代替較復(fù)雜的格波。（證明）第十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五例1證明在長波極限下，可用連續(xù)介質(zhì)彈性波代替較復(fù)雜的格波。第二十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五2）

關(guān)于格波角頻率格波的角頻率ω是波矢q的周期函數(shù)：格波的角頻率ω有極大值：，而在連續(xù)介質(zhì)的平面波中，角頻率是沒有上限的格波的角頻率ω與波矢q只能取間斷數(shù)值。——一維單原子晶格看作成低通濾波器第二十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五例2有一維單原子鏈，原子間距為a，分別畫出下列波矢條件下的原子瞬時位移圖形。解：波矢的取值——只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題——其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容第二十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五長波極限下短波極限下相鄰兩個原子振動位相差3）極限波長下的原子振動可認為是連續(xù)介質(zhì)第二十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五小結(jié)格波：

具有平面波的形式，稱為格波。色散關(guān)系：q的可取值是分離的：q：波矢k：表示彈性常數(shù)l取任意整數(shù)第二十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五（二）一維雙原子鏈的振動引言建立模型建立運動方程求解討論第二十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五1引言CsCl晶體第二十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五2建立模型1最近鄰假設(shè)：只考慮最近鄰異類原子之間的相互作用力；2簡諧近似：相互作用力為簡諧力；3波恩－卡曼周期性邊界條件：兩種原子m和M_(M>m)，系統(tǒng)有N個原胞第二十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五波恩－卡曼周期性邊界條件第二十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五3建立運動方程——兩種原子振動的振幅A和B一般來說是不相等

第2n+1個M原子的方程

第2n個m原子的方程方程解的形式第二十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五4求解——A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零

第2n+1個M原子

第2n個m原子方程的解格波第三十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五——一維復(fù)式晶格中存在兩種獨立的格波——光學波——聲學波第三十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五——與q之間存在著兩種不同的色散關(guān)系——一維復(fù)式格子存在兩種獨立的格波第三十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五5分析討論振動狀態(tài)的傳遞

波矢q的取值

色散關(guān)系

兩種格波的振幅

長波極限下的兩種格波第三十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五1)振動狀態(tài)的傳遞輕原子(質(zhì)量為m)之間相互傳遞振動狀態(tài)，相鄰輕原子之間的最小空間位相差為2qa。同樣，相鄰重原子(質(zhì)量為M)之間相互傳遞振動狀態(tài)，其最小空間位相差也是2qa。第三十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五2)q的取值波矢q的值——第一布里淵區(qū)采用周期性邊界條件布里淵區(qū)大小第一布里淵區(qū)允許的q值的數(shù)目——對應(yīng)一個q有兩支格波：一支聲學波和一支光學波——總的格波數(shù)目為2N

：原子的數(shù)目:2N第三十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五3)色散關(guān)系的特點

周期性頻率間隙——一維雙原子晶格叫做帶通濾波器——不存在格波第三十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五4)兩種格波的振幅——光學波——聲學波第三十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五長聲學波中相鄰原子的振動——原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致——代表原胞質(zhì)心的振動5)長波極限下的兩種格波長聲學波第三十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五長光學波中相鄰原子的振動——長光學波同種原子振動位相一致，相鄰原子振動相反——原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞中原子之間相對運動長光學波第三十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五6小結(jié)一維雙原子鏈的振動有以下主要特點1)相鄰?fù)愒又g傳遞振動狀態(tài)；2)波矢q取分離值，取值個數(shù)為原胞個數(shù)N；3)對應(yīng)1個確定的波矢，有2支格波，共有2N支格波；4)格波布里淵區(qū)邊界出現(xiàn)頻隙；5)光學波與聲學波，各有相應(yīng)的頻率范圍，激發(fā)頻率不同，描述的原子振動狀態(tài)不同。第四十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五聲學波光學波第四十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五聲學波光學波相鄰異類原子一般朝同一方向振動相鄰異類原子一般朝相反方向振動在長波極限：相鄰原子同向振動，而且振幅相同，它們的振動(波動)行為好象是同一類原子。反映的是晶格的整體振動。在長波極限：,mA+MB=0，晶胞質(zhì)心不動。晶體并非整體呈剛體，其中的輕原子與重原子分別構(gòu)成剛性結(jié)構(gòu)，而且兩類原子永遠反向振動。第四十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五與一維單原子鏈主要結(jié)論的比較共同特點：色散關(guān)系中，角頻率都為波矢的周期函數(shù)，都有極值。波矢都只能取分離的值，取值數(shù)目都為晶體原胞的個數(shù)。不同之處：第四十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五一維單原子鏈一維雙原子鏈色散關(guān)系種類12（1支聲學波和1支光學波）波矢的區(qū)間波矢的周期波矢的最小間隔格波總數(shù)N2N第四十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五（三）三維晶格格波的色散關(guān)系簡單晶格復(fù)雜晶格單個原子獨立平均自由度3個。振動波的3個傳播方向上有一支縱波和兩支橫波，每一支波有自己獨立的振動頻率。對具有特殊對稱性的晶體，兩支橫波簡并為單一橫波支，三支頻譜可能簡并為兩支。原子個數(shù)12是否有光學波分支無有。色散關(guān)系種類3（2）種總共6其中3(2)支聲學波，3支光學波，第四十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五§2三維晶格的振動一動力矩陣方法簡介二晶格振動的一般結(jié)論三晶格振動的頻譜第四十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五三維復(fù)式格子各原子偏離格點的位移晶體的原胞數(shù)目原子的質(zhì)量第l個原胞的位置原胞中各原子的位置——一個原胞中有n個原子第四十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五第k個原子運動方程——原子在三個方向上的位移分量——一個原胞中有3n個類似的方程方程右邊是原子位移的線性齊次函數(shù)，其方程的解將方程解代回3n個運動方程第四十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五——3n個線性齊次方程——系數(shù)行列式為零條件，得到3n個長波極限3個——趨于一致——三個頻率對應(yīng)的格波描述不同原胞之間的相對運動——3支聲學波第四十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五——3n－3支長波極限的格波描述一個原胞中各原子間的相對運動——3n－3支光學波結(jié)論：晶體中一個原胞中有n個原子組成，有3支聲學波和3n－3支光學波波矢——波矢空間的3個基矢三維晶格中的波矢——倒格子基矢——3個系數(shù)第五十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五采用波恩－卡曼邊界條件第五十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五波矢波矢空間一個點占據(jù)的體積——倒格子原胞體積狀態(tài)密度第五十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五波矢的取值_h1h2h3——原子振動波函數(shù)波矢改變一個倒格矢——不同原胞之間位相聯(lián)系——原子振動狀態(tài)一樣第五十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五q的取值限制在一個倒格子原胞中——第一布里淵區(qū)——個取值第五十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五對應(yīng)于一個波矢q3支聲學波和3n－3支光學波總的格波數(shù)目——晶體中原子的坐標數(shù)目

(晶體中的自由度數(shù)目)第五十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五二晶格振動的一般結(jié)論1格波色散關(guān)系的周期性2格波色散關(guān)系的對稱性3振動模式數(shù)目的一般結(jié)論第五十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五每個q對應(yīng)著3n個格波，n為原胞內(nèi)的原子個數(shù)，其中3支為聲學波，3(n-1)支為光學波；

q的獨立取值數(shù)為N，N為晶體的原胞個數(shù)。格波總數(shù)=3nN。原胞內(nèi)自由度數(shù)原胞數(shù)=晶體自由度總數(shù)第五十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五1引入振動模式密度的意義：晶體中同時可以存在不同頻率的簡諧振動——

不同頻率的振動模對應(yīng)不同的能量給定晶體，總的振動模數(shù)目是一定的按振動頻率分布——用晶格振動模式密度來描述——從振動模式密度，研究晶格熱容、晶體電學、光學性質(zhì)三晶格振動的頻譜

（模式密度、狀態(tài)密度）第五十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五則在頻率之間的振動模數(shù)目為：2模式密度的概念：晶格振動模式密度

——單位頻率間隔內(nèi)的振動模式的數(shù)目：

第五十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五在q空間，晶格振動模是均勻分布的，狀態(tài)密度兩個等頻率面和之間的振動模式數(shù)目頻率是q的連續(xù)函數(shù)根據(jù)做出一個等頻率面3求解模式密度的方法：第六十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五振動模式密度函數(shù)之間振動模式數(shù)目第六十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五如果色散關(guān)系三維情況振動模式密度二維情況振動模式密度一維情況振動模式密度在的一些點奇點——范霍夫奇點，是晶體中一些高對稱點（布里淵區(qū)邊界）——

這些臨界點與晶體的對稱性密切相聯(lián)第六十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五幾種簡單情況下振動模式密度的表示

一維無限長單原子鏈——色散關(guān)系——最大頻率振動模式密度一維情況下第六十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五考慮到一個頻率可以有兩個值振動模式密度第六十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五也可以直接由q空間的狀態(tài)密度來計算狀態(tài)密度振動模式密度第六十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五§3晶格振動的量子化聲子一晶格振動的量子化（聲子概念的引出）1總能量哈密頓算符的確定2格波運動能量的量子化及聲子概念的引出

.

第六十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五1總能量哈密頓算符的確定三維簡單晶格：N個原子之間具有強烈相互作用，在低溫下都處于各自的平衡位置附近作三維的微振動，整個晶體共有3N個自由度：引入3N個坐標：

(μ1,μ2,μ3),(μ4,μ5,μ6),…,(μ3N-2,μ3N-1,μ3N)，第六十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五簡諧近似和簡正坐標

簡諧近似——只考慮最近鄰原子之間的相互作用研究對象——由N個質(zhì)量為m的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量原子的位置第n個原子的平衡位置3個方向上的分量原子位移宗量第六十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五N個原子的位移矢量N個原子體系的勢能函數(shù)在平衡位置按泰勒級數(shù)展開取平衡位置——不計高階項系統(tǒng)的勢能函數(shù)第六十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的動能函數(shù)第七十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五引入簡正坐標——原子的坐標和簡正坐標通過正交變換聯(lián)系起來假設(shè)存在線性變換系統(tǒng)的哈密頓量拉格朗日函數(shù)正則動量第七十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的哈密頓量正則方程——3N個獨立無關(guān)的方程簡正坐標方程解簡正振動——晶體中所有原子參與振動，振動頻率相同

振動?！喺鴺舜硭性庸餐瑓⑴c的一個振動正則動量第七十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五只考察某一個振動模系統(tǒng)能量本征值計算正則動量算符系統(tǒng)薛定諤方程第七十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五任意一個簡正坐標——諧振子方程能量本征值本征態(tài)函數(shù)—厄密多項式第七十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù)N個原子組成的晶體系統(tǒng)薛定諤方程第七十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五以一維單原子鏈為例：坐標Qi

稱為簡正坐標

說明以q標志的振動模的簡正坐標滿足諧振子的經(jīng)典方程式

第七十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五由于簡正坐標是各原子位移量的某種線性組合，因而一個簡正振動反映了全體原子都參與的一種模式的集體運動；而各個簡正振動又都反映在同一原子的運動上(ui也是各Qi的某種線性組合)。所以，只要能知道體系的簡正坐標，晶格振動情況就清楚了。第七十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五因為簡正坐標是將全部原子的坐標作線性組合所得到的一種集體坐標，3N個簡正坐標中的任意一個都與全部原子的坐標有關(guān)。于是就得到用這3N個簡正坐標的變化所表示的相互獨立的3N個簡諧振動，這3N個簡諧振動中的每一個，都稱為簡正振動，其3N個特征角頻率ωi稱為簡正角頻率。3N個簡正振動中的任意一個都不表示某個原子的振動，而都是所有原子共同參與的振動，稱為一個簡正模。由于晶格的周期性，晶格的簡正振動具有波的形式，因而稱為格波。第七十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五2格波運動能量的量子化及聲子概念的引出一維單原子鏈：而晶格振動的總能量是個格波能量的迭加格波運動的變化是跳躍式的，即格波的激發(fā)是量子化的。格波的元激發(fā)可看作是一種“粒子”，能量為。當格波處于能級時，我們說有個這種“粒子”。這種粒子化了的格波元激發(fā)(格波量子)稱為聲子。第七十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五具有某一角頻率ωi并處于量子數(shù)為ni的激發(fā)態(tài)的簡正模，相當于ni個能量為hω

i的聲子；不同簡正模，具有不同的角頻率，從而具有不同的能量和動量，對應(yīng)于不同量子態(tài)的聲子，而處于該量子態(tài)的聲子數(shù)，則決定于該量子態(tài)所對應(yīng)的能級；如果簡正模由某一能級降至低一個能級，量子數(shù)減小1，相當于系統(tǒng)中減少了或消失了一個聲子，相反，如果簡正模由某一能級升至高一個能級，量子數(shù)增加1，相當于系統(tǒng)中增加了或產(chǎn)生了一個聲子。第八十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五對于三維晶格，情況相同晶格振動也有零點能波矢為的格波的零點能為第八十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五二聲子固體中的格波波場就可以看成理想聲子氣體系統(tǒng)。由于聲子的自旋為零，屬于玻色子，所以理想聲子氣體系統(tǒng)遵從玻色統(tǒng)計。1聲子的統(tǒng)計性質(zhì)：聲子數(shù)不守恒2聲子的準動量3引入聲子概念的目的和意義第八十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五T=0K

時，沒有熱激發(fā)的各格波都處于基態(tài)

時，將會使格波激發(fā)到較高能級，各格波的熱力學平均能量設(shè)第j種的聲子平均數(shù)目為，1聲子數(shù)不守恒服從波色－愛因斯坦統(tǒng)計第八十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五2聲子的準動量以聲子與其它粒子（中子）之間的相互作用說明（非彈性散射）第八十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五3引入聲子概念的目的和意義3nN個相互耦合的原子振動問題首先經(jīng)線性變換化為3nN個振動模(格波)的獨立諧振子問題，然后又經(jīng)量子變化而為3nN種聲子的玻色子“理想氣體”問題。這種物理圖象對很多問題的處理是很方便的，例如對晶格振動熱學性質(zhì)的研究。聲子的概念不僅僅是描述方式問題，它深刻反映了晶體中原子的集體運動(振動模)的量子化性質(zhì)。

第八十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五關(guān)于聲子概念的總結(jié)聲子是為描述晶體中改變激發(fā)狀態(tài)而引入的假想粒子，它是一種準粒子。模式的聲子具有能量、準動量。晶體中3nN種振動模式的3nN種聲子構(gòu)成“聲子理想氣體”。聲子數(shù)不守恒，服從玻色統(tǒng)計。聲子不能脫離晶體而存在。在簡諧近似下，格波間相互獨立，聲子間無互作用。當考慮非簡諧作用時，格波之間不再相互獨立，如果仍采用聲子圖象，則聲子之間有相互作用(實為格波間的相互散射)，“聲子氣體”不再能看作理想氣體。第八十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五§4

熱學性能一簡諧近似

晶體的熱容二非簡諧近似晶體的熱膨脹晶體的熱傳導第八十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五一簡諧近似1晶體熱容實驗事實：由實驗得知所有原子晶體如(C、Ag、Ca……)在溫度較高時，其Cv→3R（約25J·mol-1·K），當溫度趨于絕對零度Cv→0

，低溫時Cv

與T3

近似地成正比?！獪囟炔皇翘偷那闆r，忽略電子對比熱的貢獻——電子對比熱的貢獻——晶格振動對比熱的貢獻第八十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五2晶格熱容的經(jīng)典理論

一個簡諧振動平均能量N個原子，總的平均能量摩爾固體熱容——杜隆－珀替定律——實驗表明在低溫時，熱容量隨溫度迅速趨于零!——能量均分定律第八十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五一個振動模的平均能量——與晶格振動頻率和溫度有關(guān)系

一個振動模對熱容貢獻3晶格熱容的量子理論

1)一個頻率為j的振動模對熱容的貢獻頻率為j的振動模由一系列量子能級為組成第九十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五高溫極限——與杜隆－珀替定律相符

一個振動模對熱容貢獻——忽略不計第九十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五低溫極限——與實驗結(jié)果相符

一個振動模對熱容貢獻第九十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五若晶體中有3N個振動模，總的能量晶體總的熱容第九十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五2）愛因斯坦模型

N個原子構(gòu)成的晶體，所有的原子以相同的頻率0振動

一個振動模式的平均能量晶體熱容總能量第九十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五愛因斯坦溫度——選取合適的E值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計算的結(jié)果和實驗結(jié)果相當好地符合——大多數(shù)固體——愛因斯坦熱容函數(shù)第九十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五金剛石理論計算和實驗結(jié)果比較

第九十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五溫度較高時

——與杜隆—珀替定律相符晶體熱容第九十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五溫度非常低時——按溫度的指數(shù)形式降低實驗測得結(jié)果——愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別晶體熱容第九十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五3）德拜模型

1912年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，將布喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)——有1個縱波和2個獨立的橫波——不同q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動?！煌恼駝幽?，能量不同色散關(guān)系第九十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五三維晶格，態(tài)密度——V:晶體體積——受邊界條件限制波矢q分立取值，允許的取值在q空間形成了均勻分布的點子體積元態(tài)的數(shù)目——q是近連續(xù)變化的振動數(shù)目第一百頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五頻率在之間振動模式的數(shù)目

各向同性的介質(zhì)——頻率也近似于連續(xù)取值——振動頻率分布函數(shù)，或者振動模的態(tài)密度函數(shù)

一個振動模的熱容

晶體總的熱容

——振動頻率分布函數(shù)和m的計算第一百零一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五頻率在之間，縱波數(shù)目頻率在之間，格波數(shù)目頻率在之間，橫波數(shù)目波矢的數(shù)值在之間的振動方式的數(shù)目第一百零二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五頻率分布函數(shù)格波總的數(shù)目頻率在間，格波數(shù)目晶體總的熱容

第一百零三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五德拜溫度晶體總的熱容

令德拜熱容函數(shù)第一百零四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五在高溫極限下晶體總的熱容

——與杜?。晏娑梢恢碌掳轃崛莺瘮?shù)第一百零五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五低溫極限——T3成正比——德拜定律——溫度愈低時，德拜模型近似計算結(jié)果愈好——溫度很低時，主要的只有長波格波的激發(fā)晶體熱容

晶體熱容

第一百零六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五第一百零七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五二非簡諧近似1簡諧近似的困難簡諧近似在解釋晶體熱膨脹問題中的困難第一百零八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期五簡諧近似在解釋晶體熱傳導問題中的困難若不考慮電子對熱傳導的貢獻，晶體中的熱傳導主要依靠聲子，在絕緣晶體中就是如此。然而在簡諧近似下，聲子是相互獨立的，彼此之間沒有相互作用，因而可以毫無阻礙地在晶體中運動，此時晶體的熱導率