數(shù)學(xué)教案（新教材人教A版）第十章106離散型隨機(jī)變量及其分布列數(shù)字特征

離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征考試要求1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征．知識(shí)梳理1．離散型隨機(jī)變量一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．3．離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.4．離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(數(shù)學(xué)期望)稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望．它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，并稱eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度．5．均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．常用結(jié)論1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4．若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(×)(2)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，X25P則它服從兩點(diǎn)分布．(×)(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量的偏離程度越小．(√)教材改編題1．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示()A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次答案D解析因?yàn)榧住⒁覂扇讼孪笃?，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故{ξ＝3}表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．2．已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．1答案A解析E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).3．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)則X的方差D(X)＝________.答案eq\f(1,4)解析由eq\f(a,2)＋eq\f(a2,2)＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)．∴X的分布列為X01Peq\f(1,2)eq\f(1,2)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，則D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).題型一分布列的性質(zhì)例1(1)若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P則當(dāng)P(X<a)＝時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)答案C解析由隨機(jī)變量X的分布列知，P(X<1)＝，P(X<2)＝，故當(dāng)P(X<a)＝時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．(2)(2022·桂林模擬)若隨機(jī)變量X的分布列為X－101Paeq\f(1,3)c則P(|X|＝1)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)答案C解析由隨機(jī)變量X的分布列得P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).思維升華離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值．(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X－101Peq\f(1,3)2－3qq2則q的值為()A．1 B.eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C.eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6) D.eq\f(3,2)＋eq\f(\r(33),6)答案C解析由分布列的性質(zhì)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2－3q≤1，,0≤q2≤1，,\f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，))解得q＝eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6).(2)設(shè)隨機(jī)變量X滿足P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1,2,3)，則k＝________；P(X≥2)＝________.答案eq\f(8,7)eq\f(3,7)解析由已知得隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(k,2)eq\f(k,4)eq\f(k,8)∴eq\f(k,2)＋eq\f(k,4)＋eq\f(k,8)＝1，∴k＝eq\f(8,7).∴隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(4,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(2,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(3,7).題型二離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征例2(1)(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列為X－101Peq\f(1,3)m3m下列結(jié)論正確的有()A．m＝eq\f(1,6) B．E(X)＝eq\f(1,6)C．E(2X－1)＝eq\f(1,3) D．D(X)＝eq\f(29,36)答案ABD解析由分布列的性質(zhì)得，eq\f(1,3)＋4m＝1，解得m＝eq\f(1,6)，故A正確；E(X)＝－1×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，故B正確；E(2X－1)＝2E(X)－1＝－eq\f(2,3)，故C不正確；D(X)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,6)))2＋eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,6)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))2＝eq\f(29,36)，故D正確．(2)(多選)(2023·鄭州模擬)甲、乙、丙三人參加2022年冬奧會(huì)北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)的志愿服務(wù)活動(dòng)，若每人只能選擇一個(gè)賽區(qū)，且選擇其中任何一個(gè)賽區(qū)是等可能的．記X為三人選中的賽區(qū)個(gè)數(shù)，Y為三人沒(méi)有選中的賽區(qū)個(gè)數(shù)，則()A．E(X)＝E(Y) B．E(X)≠E(Y)C．D(X)＝D(Y) D．D(X)≠D(Y)答案BC解析由題意得，隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3，則P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),33)＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)A\o\al(2,3),33)＝eq\f(2,3)，P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(3,3),33)＝eq\f(2,9)，所以E(X)＝1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(2,3)＋3×eq\f(2,9)＝eq\f(19,9)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(19,9)))2×eq\f(1,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(19,9)))2×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(19,9)))2×eq\f(2,9)＝eq\f(26,81).隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0,1,2，則P(Y＝0)＝eq\f(A\o\al(3,3),33)＝eq\f(2,9)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(2,3)A\o\al(2,3),33)＝eq\f(2,3)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3),33)＝eq\f(1,9)，所以E(Y)＝0×eq\f(2,9)＋1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,9)＝eq\f(8,9)，D(Y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(8,9)))2×eq\f(2,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(8,9)))2×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(8,9)))2×eq\f(1,9)＝eq\f(26,81)，故E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)．思維升華求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每個(gè)值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022·懷化模擬)已知ξ的分布列如表所示．ξ012P？??？其中，盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此計(jì)算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤eq\f(1,2)，正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案C解析設(shè)“？”＝a，“！”＝b，則a，b∈[0,1]，2a＋b＝1.①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正確；②D(ξ)＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正確；③P(ξ＝0)＝a＝eq\f(1－b,2)≤eq\f(1,2)，因此③正確．(2)學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)新開(kāi)通一項(xiàng)“爭(zhēng)上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二局勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為eq\f(1,4)，設(shè)他參加一次答題活動(dòng)得分為ξ，則D(ξ)＝________.答案eq\f(15,16)解析由題意知，ξ的所有可能取值為5,4,3,2，P(ξ＝5)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(3,16)，P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16)，P(ξ＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(9,16)，則E(ξ)＝5×eq\f(1,16)＋4×eq\f(3,16)＋3×eq\f(3,16)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(11,4)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(11,4)))2×eq\f(1,16)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(11,4)))2×eq\f(3,16)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(11,4)))2×eq\f(3,16)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(11,4)))2×eq\f(9,16)＝eq\f(15,16).題型三均值與方差中的決策問(wèn)題例3(12分)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；[切入點(diǎn)：X的取值情況](2)為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.[關(guān)鍵點(diǎn)：均值大小比較]思維升華隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定．跟蹤訓(xùn)練3某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點(diǎn)投籃與三步上籃兩個(gè)項(xiàng)目．每個(gè)學(xué)生在每個(gè)項(xiàng)目投籃5次，以規(guī)范動(dòng)作投中3次為考核合格，定點(diǎn)投籃考核合格得4分，否則得0分；三步上籃考核合格得6分，否則得0分．現(xiàn)將該班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，一組先進(jìn)行三步上籃考核，若先考核的項(xiàng)目不合格，則無(wú)需進(jìn)行下一個(gè)項(xiàng)目，直接判定為考核不合格；若先考核的項(xiàng)目合格，則進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行考核，無(wú)論第二個(gè)項(xiàng)目考核是否合格都結(jié)束考核．已知小明定點(diǎn)投籃考核合格的概率為，三步上籃考核合格的概率為，且每個(gè)項(xiàng)目考核合格的概率與考核次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)項(xiàng)目的考核？并說(shuō)明理由．解(1)由已知可得，X的所有可能取值為0,4,10，則P(X＝0)＝1－＝，P(X＝4)＝×(1－)＝，P(X＝10)＝×＝，所以X的分布列為X0410P(2)小明應(yīng)選擇先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，理由如下：由(1)可知小明先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，累計(jì)得分的均值E(X)＝0×＋4×＋10×＝，若小明先進(jìn)行三步上籃考核，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0,6,10，P(Y＝0)＝1－＝，P(Y＝6)＝×(1－)＝，P(Y＝10)＝×＝，則Y的均值E(Y)＝0×＋6×＋10×＝，因?yàn)镋(X)>E(Y)，所以為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核．課時(shí)精練1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則X的均值E(X)等于()X012PaB．C．D．答案D解析依分布列的性質(zhì)可得＋a＋＝1，解得a＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.3.2．已知隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，則a等于()A．－3B．－2C.eq\f(5,3)D．3答案A解析E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝eq\f(5,3)a＋3＝－2，解得a＝－3.3．隨機(jī)變量X的取值范圍為{0,1,2}，若P(X＝0)＝eq\f(1,4)，E(X)＝1，則D(X)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)答案C解析設(shè)P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由題意得，E(X)＝0×eq\f(1,4)＋p＋2q＝1，且eq\f(1,4)＋p＋q＝1，解得p＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,4)，所以D(X)＝eq\f(1,4)×(0－1)2＋eq\f(1,2)×(1－1)2＋eq\f(1,4)×(2－1)2＝eq\f(1,2).4．某次國(guó)際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分，某參賽隊(duì)員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負(fù)的概率為c(a，b，c∈[0,1))，已知他比賽一局得分的均值為1，則ab的最大值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,6)答案B解析由題意得，比賽一局得分的均值為3×a＋1×b＋0×c＝1，故3a＋b＝1，又a，b，c∈[0,1)，故3a＋b≥2eq\r(3ab)，解得ab≤eq\f(1,12)，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝b，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．故ab的最大值為eq\f(1,12).5．(2023·長(zhǎng)沙模擬)某聽(tīng)眾打電話參加廣播臺(tái)猜商品名稱節(jié)目，能否猜對(duì)每件商品的名稱相互獨(dú)立，該聽(tīng)眾猜對(duì)三件商品D，E，F(xiàn)的名稱的概率及猜對(duì)時(shí)獲得的獎(jiǎng)金如表所示：商品DEF猜對(duì)的概率獲得的獎(jiǎng)金/元100200300規(guī)則如下：只有猜對(duì)當(dāng)前商品名稱才有資格猜下一件商品，你認(rèn)為哪個(gè)答題順序獲得的獎(jiǎng)金的均值最大()A．FDEB．FEDC．DEFD．EDF答案C解析按照FDE的順序獲得的獎(jiǎng)金的均值為300××＋400×××＋600×××＝138(元)；按照FED的順序獲得的獎(jiǎng)金的均值為300××＋500×××＋600×××＝132(元)；按照DEF的順序獲得的獎(jiǎng)金的均值為100××＋300×××＋600×××＝196(元)；按照EDF的順序獲得的獎(jiǎng)金的均值為200××＋300×××＋600×××＝176(元)，綜上所述，按照DEF的順序獲得的獎(jiǎng)金的均值最大．6．(多選)設(shè)0<m<1，隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0m1Peq\f(a,3)eq\f(1,3)eq\f(2a－1,3)當(dāng)m在(0,1)上增大時(shí)，則()A．E(ξ)減小B．E(ξ)增大C．D(ξ)先增后減，最大值為eq\f(1,6)D．D(ξ)先減后增，最小值為eq\f(1,6)答案BD解析由題意得，eq\f(a,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(2a－1,3)＝1，解得a＝1，E(ξ)＝0×eq\f(a,3)＋m×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2a－1,3)＝eq\f(m,3)＋eq\f(1,3)，所以當(dāng)m在(0,1)上增大時(shí)，E(ξ)增大，故A錯(cuò)誤，B正確；D(ξ)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m－1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－m,3)))2))＝eq\f(6m2－6m＋6,27)＝eq\f(6,27)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋eq\f(1,6)，所以當(dāng)m在(0,1)上增大時(shí)，D(ξ)先減小后增大，當(dāng)m＝eq\f(1,2)時(shí)，D(ξ)取得最小值eq\f(1,6)，故C錯(cuò)誤，D正確．7．已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示．ξ－202Pabeq\f(1,2)若隨機(jī)變量ξ的均值E(ξ)＝eq\f(1,2)，則D(2ξ＋1)＝________.答案11解析由表中數(shù)據(jù)得，E(ξ)＝－2a＋0×b＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,4)，又a＋b＋eq\f(1,2)＝1，所以b＝eq\f(1,4)，所以D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(1,2)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(11,4)，所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11.8．某專業(yè)資格考試包含甲、乙、丙3個(gè)科目，假設(shè)小張甲科目合格的概率為eq\f(3,4)，乙、丙科目合格的概率均為eq\f(2,3)，且3個(gè)科目是否合格相互獨(dú)立．設(shè)小張3科中合格的科目數(shù)為X，則P(X＝2)＝________，E(X)＝________.答案eq\f(4,9)eq\f(25,12)解析P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)；P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，所以E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(7,36)＋2×eq\f(4,9)＋3×eq\f(1,3)＝eq\f(25,12).9．若有甲、乙兩家單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元4200440046004800獲得相應(yīng)職位的概率P1乙單位不同職位月工資X2/元4000440048005200獲得相應(yīng)職位的概率P2根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解根據(jù)月工資的分布列，可得E(X1)＝4200×＋4400×＋4600×＋4800×＝4400(元)，D(X1)＝(4200－4400)2×＋(4400－4400)2×＋(4600－4400)2×＋(4800－4400)2×＝40000；E(X2)＝4000×＋4400×＋4800×＋5200×＝4400(元)，D(X2)＝(4000－4400)2×＋(4400－4400)2×＋(4800－4400)2×＋(5200－4400)2×＝160000.因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以兩家單位的月工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中，乙單位不同職位的工資相對(duì)分散．如果你認(rèn)為自己能力較強(qiáng)，通過(guò)一段時(shí)間的努力可以獲得高工資職位，可選擇乙單位；如果你認(rèn)為自己能力一般，則選擇甲單位可能得到更高的收入，可選擇甲單位．10．(2023·臨汾模擬)某游樂(lè)場(chǎng)設(shè)置了迷宮游戲，有三個(gè)造型相同的門可供選擇，參與者進(jìn)入三個(gè)門的結(jié)果分別是3分鐘走出去，6分鐘走出去，3分鐘返回出發(fā)點(diǎn)．游戲規(guī)定：不重復(fù)進(jìn)同一個(gè)門，若返回出發(fā)點(diǎn)立即重新選擇，直到走出迷宮游戲結(jié)束．(1)求一名游戲參與者走出迷宮所用時(shí)間的均值；(2)甲、乙2人相約玩這個(gè)游戲.2人商量了兩種方案．方案一：2人共同行動(dòng)；方案二：2人分頭行動(dòng)．分別計(jì)算兩種方案2人都走出迷宮所用時(shí)間和的均值．解(1)設(shè)一名游戲參與者走出迷宮所用時(shí)間為X(單位：分鐘)，則X的所有可能取值為3,6,9，P(X＝3)＝eq\f(1,3)，P(X＝6)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(X＝9)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，所以E(X)＝3×eq\f(1,3)＋6×eq\f(1,2)＋9×eq\f(1,6)＝eq\f(11,2)(分鐘)，即一名游戲參與者走出迷宮所用時(shí)間的均值為eq\f(11,2)分鐘．(2)由(1)知，按照方案一：2人共同行動(dòng)所用時(shí)間和的均值為eq\f(11,2)×2＝11(分鐘)．按照方案二：設(shè)兩人走出迷宮所用時(shí)間和為Y(單位：分鐘)，則Y的所有可能取值為9,12,15，P(Y＝9)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，P(Y＝12)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(1,3)，P(Y＝15)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(1,6)，所以E(Y)＝9×eq\f(1,2)＋12×eq\f(1,3)＋15×eq\f(1,6)＝11(分鐘)，即按照方案二，兩人所用時(shí)間和的均值為11分鐘．11．現(xiàn)有3道單選題，學(xué)生李明對(duì)其中的2道題有思路，1道題完全沒(méi)有思路，有思路的題答對(duì)的概率為eq\f(4,5)，沒(méi)有思路的題只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)答案的概率為eq\f(1,4)，若每題答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分，則李明這3道題得分的均值為()A.eq\f(93,10)B.eq\f(37,4)C.eq\f(39,4)D.eq\f(211,20)答案B解析記李明這3道題的得分為隨機(jī)變量X，則X的所有可能取值為0,5,10,15，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,100)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)×eq\f(3,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(14,25)，P(X＝15)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(4,25)，所以E(X)＝0×eq\f(3,100)＋5×eq\f(1,4)＋10×eq\f(14,25)＋15×eq\f(4,25)＝eq\f(37,4).12．冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國(guó)舉行的第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一．冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端(投擲線MN的左側(cè))有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形營(yíng)壘，以場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營(yíng)壘區(qū)圓心O的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的中心落在圓O中得3分，冰壺的中心落在圓環(huán)A中得2分，冰壺的中心落在圓環(huán)B中得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)；甲、乙得2分的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(1,2)；甲、乙得1分的概率分別為eq\f(1,5)，eq\f(1,6).甲、乙所得分?jǐn)?shù)相同的概率為_(kāi)_______；若甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X，則X的均值為_(kāi)_______．答案eq\f(29,90)eq\f(47,12)解析由題意知，甲得0分的概率為1－eq\f(1,3)－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，乙得0分的概率為1－eq\f(1,4)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,12)，則甲、乙所得分?jǐn)?shù)相同的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,15)×eq\f(1,12)＝eq\f(29,90).因?yàn)榧?、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X，則X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6，則P(X＝0)＝eq\f(1,15)×eq\f(1,12)＝eq\f(1,180)；P(X＝1)＝eq\f(1,15)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,12)＝eq\f(1,36)；P(X＝2)＝eq\f(1,15)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,12)＝eq\f(1,10)；P(X＝3)＝eq\f(1,15)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,12)＝eq\f(19,90)；P(X＝4)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(11,36)；P(X＝5)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,15)；P(X＝6)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)，則E(X)＝0×eq\f(1,180)＋1×eq\f(1,36)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(19,90)＋4×eq\f(11,36)＋5×eq\f(4,15)＋6×eq\f(1,12)＝eq\f(47,12).13．(多選)核酸檢測(cè)有兩種檢測(cè)方式：(1)逐份檢測(cè)；(2)混合檢測(cè)：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測(cè)一次就夠了，如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，就需要對(duì)這k份核酸再逐份檢測(cè)，此時(shí)，這k份核酸的檢測(cè)次數(shù)總共為(k＋1)次．假設(shè)在接受檢測(cè)的核酸樣本中，每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是陽(yáng)性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽(yáng)性的概率都為p(0<p<1)，若k＝10，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下面哪個(gè)p值能使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)