線性分組編碼

線性分組編碼二進(jìn)制編碼01背景生成矩陣G舉例基本概念校驗(yàn)矩陣H伴隨式和錯(cuò)誤檢測目錄0305020406基本信息一個(gè)[n,k]線性分組碼，是把信息劃成k個(gè)碼元為一段（稱為信息組），通過編碼器變成長度為n個(gè)碼元的一組，作為[n,k]線性分組碼的一個(gè)碼字。若每位碼元的取值有q種（q為素?cái)?shù)冪，q進(jìn)制），則共有q的k次方個(gè)碼字。背景背景在通信中，由于信息碼元序列是一種隨機(jī)序列，接收端無法預(yù)知碼元的取值，也無法識(shí)別其中有無錯(cuò)碼。所以在發(fā)送端需要在信息碼元序列中增加一些差錯(cuò)控制碼元，它們稱為監(jiān)督碼元（校驗(yàn)元）。這些監(jiān)督碼元和信息碼元之間有確定的關(guān)系。在信息碼元序列中加監(jiān)督碼元就稱為差錯(cuò)控制編碼，差錯(cuò)控制編碼屬于信道編碼。信息碼元和監(jiān)督碼元之間有一種關(guān)系，關(guān)系不同，形成的碼類型也不同?？煞譃閮纱箢悾悍纸M碼和卷積碼。其中，分組碼是把信息碼元序列以每k個(gè)碼元分組，編碼器將每個(gè)信息組按照一定規(guī)律產(chǎn)生r個(gè)多余的碼元（稱為校驗(yàn)元），形成一個(gè)長為n=k+r的碼字?；靖拍罨靖拍町?dāng)分組碼的信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系為線性關(guān)系時(shí)（用線性方程組），這種分組碼就稱為線性分組碼。包括漢明碼和循環(huán)碼。對(duì)于長度為n的二進(jìn)制線性分組碼，它有種可能的碼字，從中可以選擇M=個(gè)碼字（k<n）組成一種編碼，其中碼字稱為許用碼字，其余碼字稱為禁用碼字。這樣，一個(gè)k比特信息可以映射到一個(gè)長度為n的碼組中，該碼字是從M個(gè)碼字構(gòu)成的碼字集合中選出來的，剩下的碼字即可以對(duì)這個(gè)分組碼進(jìn)行檢錯(cuò)或糾錯(cuò)。在線性分組碼中，兩個(gè)碼字對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼字距離，簡稱距離，又稱漢明距離。編碼中各個(gè)碼字間距離的最小值稱為最小碼距d，最小碼距是衡量碼組檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的依據(jù)，其關(guān)系如下：（1）為了檢測e個(gè)錯(cuò)碼，則要求最小碼距d>e+1;（2）為了糾正t個(gè)錯(cuò)碼，則要求最小碼距d>2t+1;（3）為了糾正t個(gè)錯(cuò)碼，同時(shí)檢測e個(gè)錯(cuò)碼，則要求最小碼距d>e+t+1,e>t。生成矩陣G生成矩陣G由于碼字空間C是n維數(shù)二元線性空間中的一個(gè)k維子空間，由線性代數(shù)理論可知，是由“1”或“0”元素組成的矩陣，它的k個(gè)行就是線性獨(dú)立矢量，，，。矩陣G稱為線性碼C的生成矩陣。公式（1.1）建立了信息空間到碼字空間的線性映射。經(jīng)過行變換和列變換的矩陣生成的線性空間與原來的矩陣生成的線性空間是等價(jià)的，也就是說生成矩陣經(jīng)過初等變換之后，所生成的碼與原來的碼是等價(jià)的。由此可以將生成矩陣經(jīng)過變換之后，形成系統(tǒng)生成矩陣（即產(chǎn)生的碼中，信息碼元在碼字的高位部分，而校驗(yàn)碼元在碼字的低位部分）。即校驗(yàn)矩陣H校驗(yàn)矩陣H這也表示由G的行矢量所擴(kuò)張成的k維子空間與H矩陣行矢量所擴(kuò)張成的r維子空間是正交的。G與H中只要有一個(gè)確定，另一個(gè)就是可以確定的。只要校驗(yàn)矩陣給訂=定，校驗(yàn)碼元和信息碼元之間的關(guān)系就完全確定了。舉例舉例下面是一個(gè)（7,3）線性分組碼，有信息組(m2m1m0),信息組在碼字的前部，即：生成矩陣為信息組和對(duì)應(yīng)的碼字由表3.1給出。則其校驗(yàn)矩陣為伴隨式和錯(cuò)誤檢測伴隨式和錯(cuò)誤檢測設(shè)(n,k)線性分組碼，生成矩陣為G，校驗(yàn)矩陣H，發(fā)送端送出的碼字為：C=(cn－1cn－2…c1c0)接收端收到的碼字為：R=(rn－1rn－2…r1r0)由于信道噪聲的干擾為：R=E+CE為傳輸過程中由于干擾而疊加在C上的錯(cuò)誤圖樣。E=(en－1en－2…