2008年全國大學生數(shù)學建模競賽D題解題思路簡介

NBA賽程的分析與評價

2008年全國大學生數(shù)學建模競賽DNBA賽程的分析與評價2008年D題:

NBA是全世界籃球迷們最鐘愛的賽事之一，姚易加盟以后更是

讓中國球迷寵愛有加。NBA共有30支球隊，西部聯(lián)盟、東部聯(lián)盟各

15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3個區(qū)，東

部分東南、中部和大西洋3個區(qū)，每區(qū)5支球隊。對于2008~2009

新賽季，常規(guī)賽階段從2008年10月29日（北京時間）直到2009年

4月16日，在這5個多月中共有1230場賽事，每支球隊要進行82

場比賽，附件1是30支球隊2008~2009賽季常規(guī)賽的賽程表，附件

2是分部、分區(qū)和排名情況（排名是2007~2008賽季常規(guī)賽的結果），

見/nba/。

對于NBA這樣龐大的賽事，編制一個完整的、對各球隊盡可能

公平的賽程是一件非常復雜的事情，賽程的安排對球隊實力的發(fā)揮和

戰(zhàn)績有一定的影響，從報刊上經?？吹角騿T、教練和媒體對賽程的抱

怨或評論。這個題目主要是要求用數(shù)學建模方法對已有的賽程進行定

量的分析與評價：

1）為了分析賽程對某一支球隊的利弊，你認為有哪些要考慮的

因素，根據(jù)這些因素將賽程轉換為便于進行數(shù)學處理的數(shù)字格式，并

給出評價賽程利弊的數(shù)量指標。

2）按照1）的結果計算、分析賽程對姚明加盟的火箭隊的利弊，

并找出賽程對30支球隊最有利和最不利的球隊。

3）分析賽程可以發(fā)現(xiàn)，每支球隊與同區(qū)的每一球隊賽4場（主

1

(15分)。(40分)：這是問題關鍵

客各2場），與不同部的每一球隊賽2(15分)。(40分)：這是問題關鍵

區(qū)的每一球隊有賽4場和賽3場（2主1客或2客1主）兩種情況，

每支球隊的主客場數(shù)量相同且同部3個區(qū)的球隊間保持均衡。試根據(jù)

賽程找出與同部不同區(qū)球隊比賽中，選取賽3場的球隊的方法。這種

方法如何實現(xiàn)，對該方法給予評價，也可以給出你認為合適的方法。

一.先談談評分標準的劃分和理由

1.摘要、格式及整體

2.第一問

(1)因素的列舉(15分)；要說出理由，即為什么這些因素對比賽

的勝負起作用，有多大的作用？

(2)因素的量化(10分)：要用數(shù)學表達式表示各因素的量值。

(3)因素綜合評價(15)分。

3.第二問(10分)。

4.第三問(35分)：

(1)均衡性(15分)；

(2)具體均衡方案(20分)。

二.打分范圍

(一)一等獎80分以上；

(二)二等獎60分—80分;

(三)淘汰的60分以下。

三.閱卷中出現(xiàn)較大的一些問題

2

1.題意理解不清：

(1)過分強調賽程安排對一個球隊在比賽中勝負的作用。決定球

隊比賽勝負的主要因素是球隊球員的水平、團體合作配合的好壞、教

練的指揮等，賽程安排只是起輔助作用。

(2)有極少數(shù)隊答非所問

(3)有少數(shù)隊對題意理解不全面,看成是對賽程安排好壞的評

估。

(4)把2008年的這道題和2002年的D題-賽程的安排等同起來。

2.所用數(shù)學方法不當：

數(shù)學建模競賽題雖然可以用多種數(shù)學方法求解，但不是任何問題

都可以用任何數(shù)學方法去求解。在本題中有以下兩種情況似乎不妥：

(1)用線性或非線性回歸法，或是概率統(tǒng)計法。本題似乎與

概率統(tǒng)計、回歸法沒有多大關系。錯誤認識的原因可能是凡

是出現(xiàn)大量數(shù)據(jù)的都可用數(shù)理統(tǒng)計方法，但本題中并沒出現(xiàn)

大量數(shù)據(jù)，只有30支球體2460場比賽的賽程表。不能算作

是某事件發(fā)生的調查數(shù)據(jù)表。其次對于NBA這樣的球賽一

支球隊過去的成績對現(xiàn)在的卜勝負沒有因果關系，何況他們

還經常變換球員。因此用回歸法似乎不恰當。

(2)本題有相當多的隊都用層次分析法，這是可以的，但

也有用不妥的地方。

有的隊建立了以下的層次模型：

3

對手強弱次數(shù)奇

才連續(xù)對手強弱次數(shù)奇

才連續(xù)兩場次數(shù)火

箭路途遠近勇……士

連續(xù)在外場次

魔

術

大家看看，這個模型有沒有問題？我們知道，層次分析法的關鍵是構

造成對比較矩陣。而比較的因素不能太多，一般不能多于9個。而這

個模型最底層有30個球隊，這樣成對比較陣無法建立。

四.比較合理的解法

1.提取合理的因素，說出充分的理由，因素也不要過多，

個人認為最好不超過5個，各因素之間應是相互獨立的；有些因素雖

然對賽程的安排的有重要影響，例如主、客場比賽的場次數(shù)，但本賽

程主、客場次數(shù)相等，所以沒有作用，不能做為一個因素。

2.將賽程轉換為便于進行數(shù)學處理的數(shù)字格式；將各因素量

化，并給出權值。權值可直接判斷給出，也可用層次分析法(大多數(shù)

隊用層次分析法)，有一個隊采用問卷調查的方法，有一定的創(chuàng)意。

3.給出綜合指標，確定綜合指標的計算公式；綜合指標是各因

4

要利弊指數(shù)0-1要利弊指數(shù)0-1規(guī)劃

定賽程對各球隊的利弊。

4.第3問的解答：

(1)只從賽程本身很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以應該是隨機的。有一份

答卷查閱了幾年的NBA賽程發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，這有可能。

(2)給出你認為合適的方法：有很多：有強隊和弱隊合理配答

的；有的認為NBA比賽有很強的商業(yè)性，因此必須考慮可觀賞性。

即要好看才能吸引觀眾，實力相近的隊進行比賽，緊張、刺激才好看；

實力相差太大的隊進行比賽，一邊倒，沒有玄念，不好看。所以應安

排實力相近的球隊進行比賽。

附錄

以下是兩篇優(yōu)秀論文，供大家參看。

附錄1NBA賽程的分析與評價

摘

本文首先綜合考慮了NBA上個賽季的賽程、賽績和本賽季的賽程確定出賽程對球隊利弊的三個主要影響因素，并對其進行了定量分析。其次利用偏大型柯西分部隸屬函數(shù)確定主要影響因素的權值，給出了一個利弊的評價指標——利弊指數(shù)，并計算了各球隊的利弊指數(shù)值。從得到的結果看本次賽程對火箭隊而言是比較有利的，其中最有利的球隊是凱爾特人隊，最不利的是快船隊。對于問題三，基于公平性和觀賞性考慮，同部不同區(qū)球隊實力盡可能懸殊的隊盡可能少賽（賽3場）。由此建立0-1規(guī)劃模型，并利用LINDO軟件求解出了賽3場球隊的最優(yōu)選取方案。關鍵詞：隸屬函數(shù)

一.問題的重述

5

NBA賽程的安排對球隊實力的發(fā)揮和戰(zhàn)績存在著客觀的影響，但編制一個完整的、對各球隊盡可能公平的賽程是一件非常復雜的事情。為了更直觀的體現(xiàn)出這些客觀因素的存在，利用數(shù)學建模方法對2008～2009年的賽季安排表進行定量的分析與評價：1）確定出賽程對某一支球隊的利弊的主要影響因素，根據(jù)所確定的因素將賽程轉換為便于進行數(shù)學處理的數(shù)字格式，同時給出評價賽程利弊的數(shù)量指標。2）按照1）的結果計算、分析賽程對火箭隊的利弊，并找出賽程對30支球隊最有利和最不利的球隊。3）對2008～2009年的賽季安排表進行分析可以發(fā)現(xiàn)，每支球隊與同區(qū)的每一支球隊賽4場（主客各2場），與不同部的每一球隊賽2場（主客各1場），與同部不同區(qū)的每一球隊有賽4場和賽3場（2主1客或2客1主）兩種情況，每支球隊的主客場數(shù)量相同且同部3個區(qū)的球隊間保持均衡。試根據(jù)賽程找出與同部不同區(qū)球隊比賽中，選取賽3場的球隊的方法。這種方法如何實現(xiàn)，對該方法給予評價，也可以給出認為合適的方法。二.問題分析

問題1首先應綜合分析上一賽季的賽績和本次賽季的賽程確定賽程對球隊利弊的主要影響因素，其次要確定影響因素權值；根據(jù)本次賽場各球隊的影響指標，對東西聯(lián)盟的30支球隊進行排序。問題2根據(jù)上一問所得的結果，重點分析賽程對火箭隊的利弊及賽程對那個隊是最有利的，對那個隊是最不利的。問題3要對本季賽程進行分析，選取與同部不同區(qū)球隊比賽中，賽3場的球隊的方法，同時也可以給出認為合適的方法。通過對賽程安排的統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)賽3場的4個球隊是平均分部在同部不同區(qū)的,根據(jù)對對手實力的分析發(fā)現(xiàn)差異較大,所以可以說是隨機安排賽3場的球隊雙方。這在考慮每年球隊實力有所變化的前提下也是合理的。而以一般規(guī)律賽3場對對手雙方是最不公平的，若安排實力相當?shù)那蜿牬?場，則必對某一方不利，若安排實力相差較大的球隊賽3場就可以把此不利因素降到最底，畢竟影響勝負的關鍵還是實力。因此，我們采用0-1規(guī)劃法給出一種選取方法，重新安排賽3場的球隊。最后對所得的結果進行評價。

三.模型假設

1）假設2008-2009賽季各隊的實力不發(fā)生改變；2）假設兩球隊在比賽時，客隊趕往賽場的這一過程對實力不產生影響；3）假設不考慮連續(xù)兩場在客場比賽和連續(xù)兩場同強隊比賽對賽績所產生的影響；4）假設東西部之間整體實力相等；5）假設賽程是在一些公平的約束下產生的，不存在人為偏袒因素。四.符號說明

A表示第j個球隊連續(xù)兩天內都有比賽的次數(shù)。j

B表示第j個球隊連續(xù)在客場比賽三場或三場以上的次數(shù)。j

6

表示第i個影響因素權重。ij

ij

表示東南區(qū)的每個球隊對大西洋區(qū)和中部區(qū)每個球隊賽3場的實力差之和。表示第i個影響因素權重。ij

ij

表示東南區(qū)的每個球隊對大西洋區(qū)和中部區(qū)每個球隊賽3場的實力差之和。j

iS表示賽程對球隊利弊的數(shù)量指標——利弊指數(shù)S表示某球隊第i個影響因素值。iS表示第i個球隊第j個影響因素值ij

a表示東南區(qū)第i個球隊的勝率。ib表示大西洋區(qū)第i個球隊的勝率。j

c表示中部區(qū)第i個球隊的勝率。j

x表示選取東南區(qū)球隊i和大西洋區(qū)球隊j比賽的場次。ij

y表示選取東南區(qū)球隊i和中部區(qū)球隊j比賽的場次。ij

k

m

z

五.模型的建立與求解

5.1.1確定主要影響因素

通過對NBA以往比賽的賽程和賽績進行分析[1]，認為NBA賽程對30支球隊的影響是客觀存在的事實，通過對以往賽程和賽績的分析確定主要的客觀影響因素包括三個方面，即連續(xù)客場的次數(shù)、背靠背的次數(shù)及連續(xù)同強隊比賽的次數(shù)。1、連續(xù)客場的次數(shù)客場指的是球隊在其他球隊場地上比賽考慮到天時地利及人和的關系，連續(xù)3場或3場以上在客場比賽必定對球隊的利弊存在影響。2、背靠背的次數(shù)背靠背指的是連續(xù)兩天都參加比賽，考慮到球員們的體質、體力的關系，背靠背的多少必定影響到球隊最終的賽績。3、連續(xù)同強隊比賽的次數(shù)連續(xù)同強隊比賽指的是連續(xù)3場或3場以上同強隊比賽，考慮到隊員們心理、體力等因素的關系，對手強弱對球隊的實力發(fā)揮和今后的賽事存在客觀的影響。5.1.2球隊實力的確定

7

凱爾特人

背靠背的次數(shù)連續(xù)客場的次數(shù)

魔術奇才凱爾特人

背靠背的次數(shù)連續(xù)客場的次數(shù)

魔術奇才老鷹山貓熱火凱爾特人猛龍76人籃網(wǎng)尼克斯活塞騎士步行者公牛雄鹿黃峰馬刺火箭小?；倚芘帕斜?，為了使球隊的強弱指標便于量化，將排列名次進行簡化（前15只球隊分為強隊，后15個球隊分為弱隊），來做為連續(xù)同強隊比賽的次數(shù)的衡量尺度。表1球隊強弱排列表名次12345678球隊活塞湖人馬刺黃蜂火箭太陽爵士名次9101112131415球隊魔術小牛掘金勇士騎士奇才開拓者名次1617181920212223球隊猛龍76人國王老鷹步行者藍網(wǎng)公牛山貓名次24252627282930球隊雄鹿尼克斯快船灰熊森林狼超音速熱火

5.1.3賽程格式轉換及球隊各影響因素值確定為了把附錄1（2008—2009）賽程轉換為便于進行數(shù)學處理的數(shù)字格式，首先把賽期進行數(shù)字替換再將球隊進行編號（具體的編號按照表2），我們就可以將賽程進行數(shù)字轉換，再利用EXCEL對影響因素值進行統(tǒng)計得到表2（各球隊各影響因素值的統(tǒng)計表）；表2各球隊各影響因素值的統(tǒng)計表影響因素連續(xù)同強隊比賽的次編號數(shù)隊名116442184232267421555194361633715648214592036101955111653121643132046141546152156161779171657181545191576201648

8

背靠背的次數(shù)連續(xù)客場的次數(shù)

爵士掘金開拓者森林狼超音速湖人太陽勇士國王快船

j背靠背的次數(shù)連續(xù)客場的次數(shù)

爵士掘金開拓者森林狼超音速湖人太陽勇士國王快船

jjmaxAminA22141j301j30jjmaxBminB23121j301j30jjmaxCminC93jj背靠背的次數(shù)規(guī)范化連續(xù)客場的次數(shù)規(guī)連續(xù)同強隊比賽的次數(shù)規(guī)A1j30

jjB1j30

jjC1j30(j1,2,..,30)素連續(xù)同強隊比賽的次編號數(shù)隊名2121562218442316742422510251756261955271968281477292265302166為了便于表2中每一列數(shù)據(jù)做統(tǒng)一的比較，首先用極差規(guī)范化方法分別對相應的影響因素值作相應的規(guī)范化處理，背靠背的次數(shù)規(guī)范化后：AminAA'(j1,2,..,30)j

（1）其中A表示第j個球隊連續(xù)兩天內都有比賽的次數(shù)。j連續(xù)客場的次數(shù)規(guī)范化后：BminBB'j

（2）其中B表示第j個球隊連續(xù)在客場比賽三場或三場以上的次數(shù)。j連續(xù)同強隊比賽的次數(shù)規(guī)范化后：CminCC'(j1,2,..,30)j1j301j30（3）其中Cj表示第j個球隊連續(xù)同三個或三個以上的強隊比賽的次數(shù)。

（1）（2）（3）式經計算后可以得到規(guī)范化后各球隊各影響因素的值,見表3;表3各球隊各影響因素規(guī)范化后值表影響因素后的值范化后的值范后的值編號球隊1魔術0.250.250.172奇才0.50.250

9

背靠背的次數(shù)規(guī)范化連續(xù)客場的次數(shù)規(guī)連續(xù)同強隊比賽的次數(shù)規(guī)

0.37背靠背的次數(shù)規(guī)范化連續(xù)客場的次數(shù)規(guī)連續(xù)同強隊比賽的次數(shù)規(guī)

0.37511[1a(xb)2]1,1x3clnxd,3x5（4）后的值范化后的值范后的值編號球隊3老鷹10.750.674山貓0.8750.50.335熱火0.6250.2506凱爾特人0.25007猛龍0.1250.750.17876人0.8750.250.339籃網(wǎng)0.7500.510尼克斯0.6250.50.3311活塞0.250.5012騎士0.250.25012騎士0.250.25013步行者0.750.250.514公牛0.1250.250.515雄鹿0.8750.50.516黃峰17馬刺0.250.50.6718火箭0.1250.250.3319小牛0.12510.520灰熊0.250.250.83321爵士0.8750.50.522掘金0.50.250.1723開拓者0.2510.1724森林狼10.5125超音速0.3750.50.526湖人0.6250.45450.3327太陽0.6250.45450.8328勇士00.27270.6729國王10.36360.3330快船0.8750.36360.5

5.1.4確定影響因素的權重首先對所確定的主要影響因素進行量化處理,從而給出影響因素的量化值,不妨設強度集為{很強,較強,強,稍強,不強},對應的數(shù)值為5,4,3,2,1。根據(jù)實際情況取偏大型柯西分布隸屬函數(shù)[2]

f(x)

其中a,b,c,d為待定系數(shù)，實際上強度為“很強”時則隸屬度為1，即f(5)=1；

10

影響因素的權值表背靠背有比賽1很強10.373i(i1,2,..,30;j1,2,3)32賽程對每支球隊利弊指標組合權向量表球隊凱爾特人騎士[11.1086(x連續(xù)3場及以上客場2強0.80.293S0.09250.1650.8942)2]1,1x3影響因素的權值表背靠背有比賽1很強10.373i(i1,2,..,30;j1,2,3)32賽程對每支球隊利弊指標組合權向量表球隊凱爾特人騎士[11.1086(x連續(xù)3場及以上客場2強0.80.293S0.09250.1650.8942)2]1,1x3x0.3699,連續(xù)3場及以上強隊3比較強0.91260.34（6）31名次16173x5TT球隊馬刺湖人S0.46530.4753

為隸屬度為0.01，即f(1)0.01；于是可以確定出a1.1086，b0.8942，

c0.3915，d0.3699。將其代入（6）式可得隸屬函數(shù)；

f(x)0.3915ln（5）經計算f(2)0.5245,f(4)0.9126,則強度集{很強,強,較強,稍強,不強}的

量化值為（1，0.9126，0.8，0.5245，0.01）。利用此量化值對影響因素進行賦權處理結果見表4；表4

影響因素賦予值隸屬值

歸一后權值

5.1.5建立利弊數(shù)量指標綜合考慮以上影響因素，可以建立賽程對球隊利弊的數(shù)量指標——利弊指數(shù)，記為S；

ssiii1其中s為某球隊第i個影響因素值，為第i個影響因素權重。i利用表3，建立各球隊各影響因素值矩陣：Sij303其中Sij為第i個球隊第j個影響因素值。取表4歸一后的權向量：12則賽程對每支球隊利弊指數(shù)為：SSij1(7)則S的值越大表示賽程對球隊越不利，反之則越有利。利用Matlab軟件計算，將計算的結果進行從小到大排列，結果見表5；表5名次12

11

魔術火箭活塞奇才公牛熱火勇士掘金猛龍開拓者籃網(wǎng)灰熊超音速選隊方法的設計0.22280.23090.23750.25750.28880.30380.3069魔術火箭活塞奇才公牛熱火勇士掘金猛龍開拓者籃網(wǎng)灰熊超音速選隊方法的設計0.22280.23090.23750.25750.28880.30380.30690.31530.32160.44030.44750.44820.4537bjbj181920212223242526272829305555尼克斯小牛76人步行者山貓國王快船雄鹿爵士太陽黃峰老鷹森林狼(i,j1,2,..,5)(i,j1,2,..,5)0.48850.50620.50840.520.58090.58760.59920.63880.63880.64530.76880.81530.855456789101112131415

5.2問題二賽程的編制是很難確保對每支球隊都是公平的，因為在編制的過程只能考慮主要的影響因素，所以對于球隊而言利弊是不可能完全一樣，即球隊與球隊之間在利弊方面存在一個量化差值，表1.4.1（賽程對球隊利弊主影響因素的組合權向量表）正是為了反映出這一量化差值，分析表中的數(shù)據(jù)可得：1)每支球隊的S值都存在差異（量化差值），但從總體上看S值波動不會很大，表明2008～2009年的賽程安排對于球隊而言是比較公平的。2)火箭隊的S值名列第四，表明2008～2009年的賽程安排對火箭隊比較有利的。其中最有利的是凱爾特人隊，最不利的是森林狼隊。5.3問題三模型的建立與求解5.3.1賽3場球隊選取的分析綜合分析2007～2008年的賽程安排和2008～2009年的賽程安排，得出以下結論；1)根據(jù)資料得知，賽3場和賽4場的球隊選取是隨機的，所以對陣雙方實力有懸殊的，也有接近的，無固定規(guī)律可尋。2)同部每支球隊與另外兩個區(qū)（不包括自己所在的區(qū)）的4隊之間進行3場比賽，而且每個區(qū)正好各2隊。5.3.2筆者認為在一般情況下實力懸殊的比賽精彩程度底于實力相當?shù)谋荣?。所以考慮到比賽的觀賞性和賽程的公平性，認為從總體上來說實力懸殊很大的球隊之間盡可能少打賽3場，而實力相當?shù)谋荣惐M可能多打賽4場?，F(xiàn)以東部的東南區(qū)對大西洋區(qū)和中部區(qū)比賽3場的隊伍選取為例進行設計。根據(jù)結論1，計算出東南區(qū)的球隊對大西洋區(qū)和中部區(qū)的實力差的絕對值矩陣為：kija55mija55

12

5i1j1ijijijij

5i1j1ijijijij

x2i15y2x2,5y2,5x2,5y2,xy(0,1)5x2

ij

j1

x,yij

i1y2

ij5

j1ijj中部區(qū)第i個球隊的勝率。引入0-1變量x和y，x若選取東南區(qū)球隊i和大西洋區(qū)球隊j比賽3場，ijijij記x=1，若選取東南區(qū)球隊i和大西洋區(qū)球隊j比賽4場則記x=0，y若選取東ijijij南區(qū)球隊i和中部區(qū)球隊j比賽3場，記y=1，若選取東南區(qū)球隊i和中部區(qū)球ij隊j比賽4場則記y=0。根據(jù)結論2，x和y應該滿足以下的約束條件:ijijijijijijijij,ijj1j1i1i1

當選取東南區(qū)球隊i和大西洋區(qū)球隊j比賽3場或選取東南區(qū)球隊i和中部

區(qū)球隊j

比賽3場則兩個球隊間的差值為kx和my于是該問題的目標函數(shù)為：ijijijij

Maxz55(kxmy)1ijijijij綜上，這個問題的0-1規(guī)劃模型可寫作：Maxz55(kxmy)i1j1

s.t（8）

ij根據(jù)題目所給的附錄2（2007-2008年NBA的賽績）計算出東南區(qū)每個球員對大西洋區(qū)每個球員的實力差矩陣kij

的實力差矩陣mij

13

ij0.1460.0360.0370.098

0.085ijij0.1460.0360.0370.098

0.085ij0.1950.0850.0120.0490.25655

0.2070.1340.0730.1340.134

0.0250.0980.159

0.2320.0240.0490.110.317

0.219

0.1220.0490.0120.1090.0360.0250.2320.354

0.2440.1710.110.097

k

0.0860.1960.2690.330.537

m

0.317利用lindo軟件對0-1規(guī)劃模型進行求解，求解程序及具體結果見附錄1，表6為整理后的數(shù)據(jù)；表6魔術奇才老鷹山貓熱火凱爾特人44334猛龍4443376人44343藍網(wǎng)33444尼克斯33444活塞44433騎士44433步行者43344公牛33444雄鹿34344同樣利用此模型對其它兩個區(qū)的選擇進行計算，得到結果見附錄2。因為西部的選擇原則和東部一樣，所以不進行具體的排列。5.3.3對所設計的選隊方法進行評價利用lindo軟件求解的結果顯示實力差最大值為z=4.758利用Z對賽程進行評價，首先根據(jù)題目所給的附錄1（2008-2009賽程安排）統(tǒng)計出東南區(qū)球隊和中部區(qū)球隊比賽3場和東南區(qū)球隊和中部區(qū)球隊比賽3場的安排表，見表3.2表7魔術奇才老鷹山貓熱火凱爾特人43434猛龍4344376人34344籃網(wǎng)34434尼克斯44343活塞34344騎士34434步行者43443

14

zNBA賽程的安排表[OL].

公牛44334zNBA賽程的安排表[OL].雄鹿43443根據(jù)結果容易計算出東南區(qū)的每個球隊對大西洋區(qū)和中部區(qū)每個球隊賽3場的實力差之和=3.156。2

zz=4.758-3.156=1.602>02顯然2008-2009賽程計算出來的值小于利用0-1規(guī)劃計算所得的值，所以在考慮到觀賞性和公平性的角度下，利用0-1規(guī)劃計算所得的結果顯得更為合理。

六.模型的評價

優(yōu)點：賽程對球隊的利弊影響的穩(wěn)定性是不確定的，具有模糊性。本文討論了賽程對球隊的利弊影響的主要因素并進行了定量分析，使用隸屬函數(shù)對影響因素進行賦權處理，能夠較好的反映賽程對球隊的利弊影響的實際情況，是一種實際可行的方法，值得推廣應用。缺點：在討論確定賽程對球隊的利弊影響的主要因素時有一定的局限性和一定的主觀性。

七．參考文獻

[1]/nbaindex.html.[2]韓中庚，數(shù)學建模方法及其應用，北京：高等教育出版社，2025.[3]姜啟源，數(shù)學模型［Ｍ］，北京：高等教育出版社，2003.[4]謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LIODO/LINGO軟件，北京：清華大學出版社，2005.[5]拉克唐瓦爾德，數(shù)值方法和MATLAB實現(xiàn)與應用，北京：機械工業(yè)出版社，2004．

附錄2NBA賽程的分析與評價

摘要

NBA是全世界籃球迷們最鐘愛的賽事之一，而一個完整、對各球隊盡可能公平的賽程是一件非常重要的事情。在本題中，我們通過建立數(shù)學模型對2008-2009新賽季常規(guī)賽的賽程安排進行了定量的分析與評價。

15

x2

2j1S：綜合評價模型,并在Matlab中實現(xiàn)（見附錄2）；(b)在x2

2j1S：綜合評價模型,并在Matlab中實現(xiàn)（見附錄2）；(b)在Matlab中編程計算出h2k2層次分析法ijm1NP方差ihik矩陣變換11（1）：比賽時間間隔的均勻度：由于比賽時間是一定的，每一支球隊所要打比賽的總場數(shù)也是一定的。比賽分配越均勻，球員才有足夠的時間來休息調整，而如果連續(xù)的打比賽或連續(xù)休息都不是好的選擇。（2）計算“背靠背”的個數(shù)：連續(xù)兩天打比賽是對球員極大的挑戰(zhàn)，球員體能將有極大的消耗。（3）連續(xù)地遭遇強手：這樣也會嚴重消耗球員的體能，使球隊處于疲勞狀態(tài)，影響下面的比賽。（4）連續(xù)的客場比賽。而對以上四個因素的衡量，我們分別用（a）方差衡量時間間隔的均勻度：

m1xi各球隊“背靠背”總數(shù)來衡量此因素（見附錄3）；（c）用連續(xù)函數(shù)來衡量連

續(xù)遭遇強隊的指標：11（見附錄4）；（d）同樣用連續(xù)函數(shù)表示ih1

連續(xù)的客場之旅：11（見附錄5）。最后我們用層次分析法，通過ik1分析、計算及一致性檢驗給出四個因素的一個合理性數(shù)量指標，分別為：0.2907710.3056940.2003670.203168，并且將這些因素轉化為數(shù)學公式：YzA10zB10zCzDi1i2i3i4i在問題二中，我們根據(jù)第一問的計算結果對30個隊進行利弊的總排序，順序見表（8），從而找出賽程對魔術隊最有利，對森林狼隊最不利，并可以分析出此次賽程的安排對姚明所在的火箭隊也不利。對于問題三，我們通過對04—05，05—06…，08—09五年中，各球隊的賽程安排進行分析，發(fā)現(xiàn)了NBA聯(lián)盟對同部異區(qū)打三場或是四場比賽的安排是采取以五年為一個周期的特定模式來循環(huán)進行的,我們通過“鐘盤”模型加以實現(xiàn)；同時我們另外給出了一種編排方法，得到的結果比NBA的實際編排結果均衡性更好、也易于實現(xiàn)。

關鍵詞

16

h2Nih1h2Nih1N

NBA是全世界籃球迷們最鐘愛的賽事之一，姚易加盟以后更是讓中國球迷寵愛有加。NBA共有30支球隊，西部聯(lián)盟、東部聯(lián)盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3個區(qū)，東部分東南、中部和大西洋3個區(qū)，每區(qū)5支球隊。對于2008-2009新賽季，常規(guī)賽階段從2008年10月29日（北京時間）直到2009年4月16日，在這5個多月中共有1225場賽事，每支球隊要進行82場比賽。對于NBA這樣龐大的賽事，編制一個完整的、對各球隊盡可能公平的賽程是一件非常復雜的事情，賽程的安排對球隊實力的發(fā)揮和戰(zhàn)績有一定的影響，本題要求我們用數(shù)學建模方法對已有的賽程進行定量的分析與評價：（1）為了分析賽程對某一支球隊的利弊，要考慮那些因素，并且根據(jù)這些因素將賽程轉換為便于進行數(shù)學處理的數(shù)字格式，并給出評價賽程利弊的數(shù)量指標。（2）按照1的結果計算、分析賽程對姚明加盟的火箭隊的利弊，并找出賽程對30支球隊最有利和最不利的球隊。（3）分析賽程可以發(fā)現(xiàn)，每支球隊與同區(qū)的每一球隊賽4場（主客各2場），與不同部的每一球隊賽2場（主客各1場），與同部不同區(qū)的每一球隊有賽4場和賽3場（2主1客或2客1主）兩種情況，每支球隊的主客場數(shù)量相同且同部3個區(qū)的球隊間保持均衡。試根據(jù)賽程找出與同部不同區(qū)球隊比賽中，選取賽3場的球隊的方法。這種方法如何實現(xiàn)，對該方法給予評價，也可以給出你認為合適的方法。2.問題的分析

我們經常會聽到或看到球員、教練和媒體對NBA賽程的抱怨或評論，說明賽程的安排對球隊實力的發(fā)揮和戰(zhàn)績有一定的影響，因此NBA賽程的安排中存在一定的不公平性與不合理性。問題一要求我們找出賽程安排對球隊利弊的影響因素，并將賽程轉換為便于數(shù)學處理的數(shù)字格式，最后給出評價賽程利弊的數(shù)量指標。（1）每一支球隊的比賽時間和總場數(shù)是一定的，因此比賽的時間間隔應該越均勻越好，我們將此考慮為一個因素，用方差對其進行定量描述，此過程在MATLAB中實現(xiàn)。（2）“背靠背”是指連續(xù)進行兩場的比賽，這種對陣模式對球員的體能有很大的要求尤其是客場的“背靠背”，我們以每一支球隊“背靠背”的總數(shù)作為衡量此因素的指標，通過數(shù)據(jù)處理，我們在Matlab中實現(xiàn)了此因素的數(shù)量化（見附錄3）。（3）如果一支球隊連續(xù)地遭遇強手，體能勢必會有很大的消耗，進而影響下面的比賽，所以這也是一個不容忽視的因素，而要描述這一特性，我們構造出

一個連續(xù)函數(shù)11，當取值越大時（即連續(xù)對陣強手的強度越iikh1大時），的值越接近1，以此作為這一因素的數(shù)據(jù)衡量，此過程在Matlab中實i

17

表示球隊編碼表示兩場比賽之間的時間間隔表示每只球隊的比賽總場數(shù)即82k2Pik1表示球隊編碼表示兩場比賽之間的時間間隔表示每只球隊的比賽總場數(shù)即82k2Pik1P（4）連續(xù)的客場比賽，對球員的體能將是另一個嚴峻考驗，我們同樣用一

個函數(shù)來描述這一因素，11，原理同（3），當P取值越大時，iikiikk1（即連續(xù)客場作戰(zhàn)次數(shù)越多時），的值越接近1，我們通過Matlab程序得到了i這一因素的數(shù)據(jù)衡量（見附錄4）。最后我們用層次分析法給每一個因素一個權重作為評價賽場利弊的數(shù)量指標，并將其轉化為數(shù)學公式。對于問題二，我們根據(jù)第一問的計算結果直接對30個隊的賽程安排情況進行一個利弊排序，從而找出30支球隊中賽程安排最有利和最不利的隊伍，并且具體分析了對姚明所在火箭隊的影響。問題三共分為3小問：（1）是要根據(jù)找出同部不同區(qū)比賽選取賽三場球隊的方法，我們從NBA官網(wǎng)下載到從04年到09年這五年NBA各球隊的賽程安排，并篩選出08—09賽季與同部不同區(qū)要打三場比賽的球隊，并以此往前推，我們發(fā)現(xiàn)NBA聯(lián)盟對采用一定規(guī)律且以五年為周期循環(huán)的方法安排，并給出實現(xiàn)方法；（2）是要評價該方法；（3）是要給出一種我們認為更合理的方法。3.模型的假設

（1）賽程自設定之日起將不再改變。（2）而對于時差、氣候、路程、主客場造成的心理影響及節(jié)假日有無比賽安排等因素我們不予考慮。（3）由于交通日益發(fā)達，旅途舒適度上升，所以賽程安排中的旅途問題我們不予考慮。（4）對球隊強弱的衡量，我們以30支球隊的綜合實力排行榜為據(jù)（從NBA中國官方網(wǎng)站獲?。?。（5）在連續(xù)遭遇強隊這一因素中，我們以實力排行榜前10名作為強隊。（6）“背靠背”是指連續(xù)兩場對陣，不分主客場的區(qū)別。（7）連續(xù)的客場之旅是指連續(xù)兩場或以上的比賽是客場作戰(zhàn)。（8）我們說的時間間隔是指兩場比賽的時間之差，即后一場比賽的時間減去前一場比賽的時間。（9）題目中缺失的數(shù)據(jù)對我們的分析不造成影響，我們以NBA中國官方網(wǎng)站數(shù)據(jù)為標準。

4.符號的說明

i:

j:

m:

18

表示比賽持續(xù)的總天數(shù)即170天表示i球隊兩場比賽之間的時間間隔2表示i球隊在比賽中遭遇“背靠背”的次數(shù)表示i球隊在一次連續(xù)遭遇強手的比賽中，所遇到的強手的個數(shù)表示表示在82場比賽中i球隊連續(xù)遭遇強手的次數(shù)表示i球隊遭遇強手的連續(xù)性表示i球隊在一次連續(xù)的客場之旅中，轉換場地的次數(shù)表示在82場比賽中i球隊連續(xù)遭遇客場之旅的次數(shù)表示i球隊遭遇客場之旅的連續(xù)性表示比賽時間間隔在總因素中所占的權重表示比賽持續(xù)的總天數(shù)即170天表示i球隊兩場比賽之間的時間間隔2表示i球隊在比賽中遭遇“背靠背”的次數(shù)表示i球隊在一次連續(xù)遭遇強手的比賽中，所遇到的強手的個數(shù)表示表示在82場比賽中i球隊連續(xù)遭遇強手的次數(shù)表示i球隊遭遇強手的連續(xù)性表示i球隊在一次連續(xù)的客場之旅中，轉換場地的次數(shù)表示在82場比賽中i球隊連續(xù)遭遇客場之旅的次數(shù)表示i球隊遭遇客場之旅的連續(xù)性表示比賽時間間隔在總因素中所占的權重表示“背靠背”作戰(zhàn)的次數(shù)在總因素中所占的權重表示連續(xù)遭遇強手的連續(xù)性在總因素中所占的權重表示連續(xù)客場之旅的連續(xù)性在總因素中所占的權重表示i球隊時間間隔均勻度歸一化后的數(shù)值表示i球隊“背靠背”作戰(zhàn)次數(shù)歸一化后的數(shù)值表示i球隊連續(xù)遭遇強手的連續(xù)性歸一化后的數(shù)值表示i球隊連續(xù)客場之旅的連續(xù)性歸一化后的數(shù)值表示賽程安排對i球隊的總影響，是評價利弊的總指標表示i球隊所有比賽時間間隔的方差

xij:

:iS:i

N:ih

h:i:i

P:ik

k:i:i

z:1

z:2

z:3

z:4

A:i

Bi

C:i

D:i

Y:i

5.模型的建立與求解

5.1對問題一的模型建立與求解在分析賽場對某一支球隊的利弊時，我們考慮道四個因素。即比賽時間間隔的均勻度、“背靠背”、連續(xù)地遭遇強手和連續(xù)的客場之旅。根據(jù)這些因素將賽程

19

T后一次比賽的時間tm1x2

2j1球隊名稱活塞開拓者魔術勇士雷霆火箭小牛熱火公牛凱爾特人T后一次比賽的時間tm1x2

2j1球隊名稱活塞開拓者魔術勇士雷霆火箭小牛熱火公牛凱爾特人爵士步行者尼克斯湖人馬刺奇才騎士太陽雄鹿山貓黃蜂猛龍灰熊前一次比賽的時間,方差值0.69150.69640.74090.76060.76060.79520.79520.80010.810.81940.82480.82980.82980.83470.83960.83960.8940.90880.91860.91860.92850.93350.9335ijm1無量綱化后的值0.0261948690.0263804870.0280662010.0288124610.0288124610.0301231520.0301231520.030308770.0306837940.0310398780.0312444360.0314338420.0314338420.031619460.0318050780.0318050780.0338658170.0344264590.0347976950.0347976950.0351727190.0353621260.035362126因素一：比賽時間間隔的均勻度每一支球隊都有82場比賽，而兩場比賽之間的時間間隔我們用后一次比賽的時間減去前一次比賽的時間。我們匯總了30支球隊每兩場比賽之間的時間間隔，見附錄（1）。計算公式如下：xTij而平均時間間隔為x

計算結果為2.1。用方差來描述每只球隊賽程時間間隔的均勻度：

m1xi30支球隊的方差計算結果如下表（1）所示：表1按方差排名1234567891011121314151617181920212223

20

0.93840.9730.99271.07171.07171.08651.1606“背靠背“次數(shù)151616160.93840.9730.99271.07171.07171.08651.1606“背靠背“次數(shù)1516161616160.0355477440.0368584340.0376046940.0405973110.0405973110.0411579530.043964952無量綱化后數(shù)值0.0260869570.0278260870.0278260870.0278260870.0278260870.02782608725老鷹26籃網(wǎng)2776人28快船29掘金30國王

用matlab作圖如下：

因素二：“背靠背”作戰(zhàn)次數(shù)連續(xù)兩天打比賽，我們稱為“背靠背”。由附錄（1）我們可以知道：比賽時間間隔為1就是一次“背靠背”。通過數(shù)1的個數(shù)，我們得到每支球隊打“背靠背”的次數(shù)Si，并將其無量綱化。結果用下表（2）來表示：

表2按“背靠背”利弊球隊名稱排序1勇士2凱爾特人3開拓者4活塞5魔術6小牛

21

171718181818181717181818181819192020202021212121212122222223230.0295652170.0295652170.0313043480.0313043480.0313043480.0313043480.0313043480.0330434780.0330434780.0347826090.0347826090.0347826090.0347826090.0365217390.0365217390.0365217390.0365217390.0365217390.0365217390.038260870.038260870.038260870.040.048超音速9馬刺10太陽11奇才12熱火13尼克斯14湖人15騎士16黃蜂1776人18火箭19爵士20快船21掘金22老鷹23山貓24灰熊25步行者26森林狼27公牛28國王29雄鹿30籃網(wǎng)

用matlab作圖如下：

22

5總對次數(shù)26223224252423242310h連續(xù)

69138788735總對次數(shù)26223224252423242310h連續(xù)

691387887315最多次1對陣強隊分布情況1，1，1，1，1，11，1，1，3，2，12，2，2，1，1，31，1，1，2，31，1，1，1，31，2，1，2，1，11，1，1，2，1，1，1，1，2，1，1，1，1，1，1，1，251Nih1數(shù)量指標33.6254.1253.1253.1253.53.7543.25302

22

21

20

19

18

17

16

150

因素三：連續(xù)遭遇強手我們知道連續(xù)遭遇強手的次數(shù)越多，在每次連續(xù)遭遇強手中遇到的強手個數(shù)越多，對球員體能的消耗就越大，那么對這支球隊就越不利，于是我們得出如下函數(shù)對此因素進行量化。

ih1編程求解得到每支球隊遭遇強隊的情況，及無量綱化后的數(shù)值，并對其進行了一個排名如下表（3）所示：表3球隊陣數(shù)30凱爾特人29湖人28黃蜂27馬刺26開拓者25活塞2476人23火箭22騎士

23

282625262827282928292628282625262827282928292628292730292530262830136961178119691313981099712105132433232252224342433，1，3，1，51.51，1，1，1，1，132，3，1，1，1，13.1252，1，1，2，131，2，1，4，1，14.43751，1，1，1，33.3751，2，1，1，33.1252，1，2，1，1，1，1，23.51，1，2，1，3，13.6251，2，1，22.51，1，1，2，1，1，1，14.253，1，3，1，53.71882，2，2，1，1，1，2，1，5.5

2，2，1，1，1，1，1，41，1，1，1，1，2，13.751，1，2，4，1，13.68751，3，1，3，13.251，4，2，1，13.18751，1，1，2，234，2，1，2，33.81251，1，1，1，3，1，1，14.37520小牛19爵士18太陽17奇才16猛龍15勇士14熱13雄鹿12快船11掘金10老鷹9森林狼1，8山貓7灰熊6公牛5國王4步行者3超音速2網(wǎng)1尼克斯

24

510k151201Pik125302

用matlab510k151201Pik125302

5.5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.50

因素四：連續(xù)的客場之旅我們知道連續(xù)遭遇客場的次數(shù)越多，在比賽過程中轉換的地點越多，對球員的體能消耗以及比賽過程中球員的發(fā)揮都有很大影響，我們用以下函數(shù)來描述這一因素的影響：

ik1在Matlab中編程求解得到每支球隊客場作戰(zhàn)的總次數(shù)，客場作戰(zhàn)的時間分布，最大客場連續(xù)次數(shù)，以及無量綱化后的數(shù)值（程序見附錄），并對其進行了一個排名，如下表（4）所示：

25

每次連續(xù)客場分布數(shù)量指標

每次連續(xù)客場分布