2021年廣西壯族自治區(qū)崇左市昌平中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021年廣西壯族自治區(qū)崇左市昌平中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義在R上的函數(shù)f（x）使不等式恒成立，其中f'（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，則（）A． B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）C． D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）參考答案：B【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)值的大小即可．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=∴g′（x）=，∵恒成立，∴2f′（2x）＞ln2f（2x）恒成立，∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上為增函數(shù)，∴g（1）＞g（0）＞g（﹣1），∴＞＞，∴f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2），故選：B2.若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.否定結(jié)論“至多有一個(gè)解”的說法中，正確的是（）A．有一個(gè)解 B．有兩個(gè)解 C．至少有三個(gè)解 D．至少有兩個(gè)解參考答案：D【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)命題的否定的書寫格式書寫即可【解答】解：∵至多有一個(gè)解”是一個(gè)存在性命題，否定是：至少有兩個(gè)解，故選：D．4.函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】利用函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞減區(qū)間，求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式【解答】解：∵數(shù)f（x）=（x﹣3）ex∴f′（x）=（x﹣2）ex，根據(jù)單調(diào)性與不等式的關(guān)系可得：（x﹣2）ex＜0，即x＜2所以函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，2）故選：A5.設(shè)雙曲線（a，b＞0）兩焦點(diǎn)為F1、、F2，點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F2作∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為M，則M點(diǎn)軌跡是（

）

A.橢圓的一部分

B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分

D.圓的一部分參考答案：D6.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為(

)A．5 B．4 C．3 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】寫出數(shù)列的第一、三、五、七、九項(xiàng)的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），寫出數(shù)列的第二、四、六、八、十項(xiàng)的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首項(xiàng)和公差表示，兩式相減，得到結(jié)果．【解答】解：，故選C．【點(diǎn)評】等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和和偶數(shù)項(xiàng)和的問題也可以這樣解，讓每一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)減去前一奇數(shù)項(xiàng)，有幾對得到幾個(gè)公差，讓偶數(shù)項(xiàng)和減去奇數(shù)項(xiàng)和的差除以公差的系數(shù)．7.投擲兩粒骰子,得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m、n,則復(fù)數(shù)(m+ni)(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為()A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，則cosB=（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的邊角關(guān)系確定∠B的范圍，進(jìn)而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根據(jù)正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B為銳角，∴，故選D．【點(diǎn)評】正弦定理可把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，進(jìn)一步可以利用三角函數(shù)的變換，注意利用三角形的邊角關(guān)系確定所求角的范圍．9.以下三個(gè)命題中：①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分分層抽樣；②兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.8．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3參考答案：C10.設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且分別是的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集是（

）A.(－6,0)∪(6,+∞) B.(－6,0)∪(0,6)C.(－∞,－6)∪(0,6) D.(－∞,－6)∪(6,+∞)參考答案：C【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，脫離即可求得相關(guān)解集.【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)，則為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，所以在R上為增函數(shù)，且，轉(zhuǎn)化為,當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)，則，則，故解集是，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用抽象函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解不等式，意在考查學(xué)生的分析能力和轉(zhuǎn)化能力，難度中等.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線的極坐標(biāo)方程為＝，則直線的直角坐標(biāo)方程為

。參考答案：12.若直線與曲線相切,則=

．參考答案：13.直線x－2y－3＝0與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，則△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為________．參考答案：14.用反證法證明命題“a，b∈R，a+b=0，那么a，b中至少有一個(gè)不小于0”，反設(shè)的內(nèi)容是．參考答案：假設(shè)a，b都小于0【考點(diǎn)】R9：反證法與放縮法．【分析】根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而要證明題的否定為：“假設(shè)a，b都小于0”，從而得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而命題：“a，b∈R，a+b=0，那么a，b中至少有一個(gè)不小于0”的否定為“假設(shè)a，b都小于0”，故答案為：假設(shè)a，b都小于015.在某比賽中，選手需從5個(gè)試題中選答3題，若有1題是必答題，則有____種選題方法.參考答案：6【分析】從5個(gè)試題中選答3題，有1題是必答題，等價(jià)于從4個(gè)非必答題中選答2題，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檫x手需從5個(gè)試題中選答3題，若有1題是必答題，所以只需該選手從4個(gè)非必答題中選答2題，即有種選題方法.故答案為6【點(diǎn)睛】本題主要考查組合問題，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.16.已知向量則的坐標(biāo)是

.

參考答案：（-7，-1）略17.已知A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，λ），若，則λ的值為．參考答案：﹣14【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【分析】利用?即可求出．【解答】解：∵，=（﹣1，6，λ﹣3），．∴=﹣2×（﹣1）﹣6×6﹣2（λ﹣3）=0，解得λ=﹣14．故答案為﹣14．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中.⑴若,求及;⑵若,求證:,并給出等號成立的充要條件.參考答案：解:⑴………①,當(dāng)時(shí)代入①,得,解得;

由①得,兩式相減得(),故,故為公比為2的等比數(shù)列,

故(對也滿足);⑵當(dāng)或時(shí),顯然,等號成立.設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:即證:

當(dāng)時(shí),上面不等式的等號成立.當(dāng)時(shí),與,()同為負(fù);當(dāng)時(shí),

與,()同為正;因此當(dāng)且時(shí),總有()()>0,即,().上面不等式對從1到求和得,;由此得;綜上,當(dāng)且時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立.略19..“每天鍛煉一小時(shí)，健康工作五十年，幸福生活一輩子.”一科研單位為了解員工愛好運(yùn)動是否與性別有關(guān)，從單位隨機(jī)抽取30名員工進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：

男性女性合計(jì)愛好10

不愛好

8

合計(jì)

30

已知在這30人中隨機(jī)抽取1人抽到愛好運(yùn)動的員工的概率是.（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整（在答題卷上直接填寫結(jié)果，不需要寫求解過程），并據(jù)此資料分析能否有把握認(rèn)為愛好運(yùn)動與性別有關(guān)？（2）若從這30人中的女性員工中隨機(jī)抽取2人參加一活動，記愛好運(yùn)動的人數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：（1）沒有把握認(rèn)為愛好運(yùn)動與性別有關(guān)；（2）.【分析】（1）由題可算出愛好運(yùn)動的人，即可完成列表，再利用公式求得即可得出結(jié)果；（2）典型的超幾何分布，利用公式求得概率，列出分布列，求得期望.【詳解】（1）

男性女性合計(jì)愛好10616不愛好6814合計(jì)161430

由已知數(shù)據(jù)可求得：，所以沒有把握認(rèn)為愛好運(yùn)動與性別有關(guān)．（2）的取值可能為0，1，2，，，.所以的分布列為：012

的數(shù)學(xué)期望為.20.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1上一點(diǎn)，且CF=2C1F．（1）求證：C1E∥平面ADF；（2）若BC=2，求證：B1F⊥平面ADF．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）（證法一）連接CE與AD交于點(diǎn)H，連接FH，可得H是△ABC的重心，可得C1E∥FH，即可證明C1E∥平面ADF．（證法二）取BD中點(diǎn)H，連接EH，C1H．利用中位線定理可得：EH∥AD．可得：EH∥平面ADF，C1H∥DF，同理C1H∥平面ADF．即可證明平面C1EH∥平面ADF，即可證明．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)、直三棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得△B1C1F≌△FCD，可得B1F⊥FD，進(jìn)而證明B1F⊥平面ADF．【解答】證明：（1）（證法一）連接CE與AD交于點(diǎn)H，連接FH．因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，E是AB中點(diǎn)，所以H是△ABC的重心，所以CH=2EH，又因?yàn)镃F=2C1F，所以C1E∥FH，因?yàn)镕H?平面ADF，C1E?平面ADF，所以C1E∥平面ADF．（證法二）取BD中點(diǎn)H，連接EH，C1H．因?yàn)镠是BD的中點(diǎn)，E是AB中點(diǎn)，所以EH∥AD，因?yàn)锳D?平面ADF，EH?平面ADF，所以EH∥平面ADF，又因?yàn)镃F=2C1F，CD=2DH，所以C1H∥DF，同理C1H∥平面ADF，∵EH∩C1H=H，所以平面C1EH∥平面ADF，又C1E?平面C1EH，所以C1E∥平面ADF．（2）因?yàn)锳B=AC且D是BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AD又AD⊥BC，BB∩BC=B，∴AD⊥平面B1BCC1，∴AD⊥B1F，∵CC1=3，CF=2C1F，∴CF=2，C1F=1，在△B1C1F與△FCD中，∴B1C1=FC=2，C1F=CD=1，∠B1C1F=∠FCD，∴△B1C1F≌△FCD，∴∠C1B1F=∠CFD，∴∠C1FB1+∠CFD=90°，∴B1F⊥FD，∵FD∩AD=D，∴B1F⊥平面ADF．21.在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F(xiàn)分別是PB，PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱錐P﹣EAD的體積；（Ⅲ）求證：平面EAD⊥平面FAC．參考答案：【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）連接BD，與AC交于點(diǎn)O，連接OF，推導(dǎo)出OF∥PB，由此能證明PB∥平面FAC．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA為棱錐P﹣ABD的高．由S△PAE=S△ABE，知，由此能求出結(jié)果．（Ⅲ）推導(dǎo)出AD⊥PB，AE⊥PB，從而PB⊥平面EAD，進(jìn)而OF⊥平面EAD，由此能證明平面EAD⊥平面FAC．【解答】證明：（Ⅰ）連接BD，與AC交于點(diǎn)O，連接OF，在△PBD中，O，F(xiàn)分別是BD，PD的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥PB，又因?yàn)镺F?平面FAC，PB?平面FAC，所以PB∥平面FAC．解：（Ⅱ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA為棱錐P﹣ABD的高．因?yàn)镻A=AB=2，底面ABCD是正方形，所以=，因?yàn)镋為PB中點(diǎn)，所以S△PAE=S△ABE，所以．證明：（Ⅲ）因?yàn)锳D⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以AD⊥PB，在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，又AE∩AD=A，AE?平面EAD，AD?平面EAD，所以PB⊥平面EAD，又OF∥PB，所以O(shè)F⊥平面EAD，又OF?平面FAC，所以平面EAD⊥平面FAC．22.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)M、N分別為線段A1B、AC1的中點(diǎn)．（1）求證：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在邊BC上，AD⊥DC1，求證：MN⊥AD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面平行的判定．【分析】（1）由題意，利用三角形中位線定理可證MN∥BC，即可判定MN∥平面BB1C1C．（2）利用線面垂直的性質(zhì)可證CC1⊥AD，結(jié)合已知可證AD⊥平面BB1C1C，從而證明AD⊥BC，結(jié)合（1）知，MN∥BC，即可證明MN⊥AD．【解答】（本題滿分為14分）證明：（1）如圖，連接A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C為平行四邊