簡(jiǎn)單的二階微分方程

簡(jiǎn)單的二階微分方程第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五一、可降階的二階微分方程解第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五方程的特點(diǎn)：方程右端不顯含未知函數(shù)y.方程的解法：,則將它們代入方程得令第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五解代入原方程得原方程通解為[例3]第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五[例4]設(shè)有一均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂，試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線．分析

第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五解

將此兩式相除，得取原點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離為定值于是有建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)曲線方程為由題意得

第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五，兩端積分，得將初始條件代入①式，解得代入①式，得再將將代入上式，并積分得將初始條件代入②式，解得將代入②式，解得曲線方程為第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五小結(jié)1.可降階的高階微分方程2.不顯含y的二階微分方程3.不顯含x的二階微分方程第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五思考題求微分方程的通解.第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五思考題解答第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五思考題解答第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五練習(xí)題第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五解受力分析二、二階線性微分方程第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五物體自由振動(dòng)的微分方程強(qiáng)迫振動(dòng)的方程對(duì)于象這樣的微分方程，我們給出如下定義:第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五程稱為二階線性微分方程.稱為二階線性齊次微分方程.稱為二階線性非齊次微分方程.1．二階線性微分方程的定義形如這樣的微分方程/第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2．二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)問題:第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五例如線性無關(guān);線性相關(guān).第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五特別地:例如第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五3．二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五三、二階常系數(shù)線性微分方程形如這樣的微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程．形如這樣的微分方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．例如是二階常系數(shù)齊次線性微分方程；是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．／第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五1．二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法將其代入上方程,得∴特征方程特征根第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五（2）有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五（3）有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五的特征方程是的通解第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五解的特征方程為解得故所求微分方程的通解為[例1]第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五

[例2]求微分方程的特解.解的特征方程為解得所求微分方程的通解為將分別代入上兩式，解得所求微分方程的特解為第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五解特征方程為解得故所求通解為[例3]第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五練習(xí)題

第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)的齊次方程通解結(jié)構(gòu)兩種類型難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.2．二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五設(shè)非齊方程特解為代入原方程第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五綜上討論設(shè)是非齊次方程的解，第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為[例1]第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程[例2]對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征根原方程通解為第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五解特征方程[例3]對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征根原方程通解為第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五小結(jié)(待定系數(shù)法)第四十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五思考題寫出微分方程的待定特解的形式.設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為特征根思考題解答第四十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五練習(xí)題第四十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五通過本課題學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該達(dá)到：1．會(huì)求可降階的二階微分方程、二階常