第四講隨機(jī)變量及其分布

第四講隨機(jī)變量及其分布第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五回顧：離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)（一）概率函數(shù)與概率分布1.定義：取得這些值的概率分別為即：稱為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布律（列）。則：2.概率函數(shù)的性質(zhì)⑵規(guī)范性：若隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)值則第四講隨機(jī)變量及其分布第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五例3-3-1取得白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的概率分布。假定：袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從袋中任取1個(gè)球，直至（1）取出的黑球不再放回去；

（2）取出的黑球仍放回去。（1）設(shè)隨機(jī)變量X

是取球次數(shù)，解因此，所求概率分布列表為：若隨機(jī)變量X可能取可數(shù)無窮多個(gè)值，則第四講隨機(jī)變量及其分布第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五（2）設(shè)隨機(jī)變量Y是取球次數(shù)，因此，所求概率分布為：第四講隨機(jī)變量及其分布第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五例3-3-2在n=5的貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p,試求事件A出現(xiàn)次數(shù)的分布列,并求于是，x的分布列為：第四講隨機(jī)變量及其分布第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五注意：第四講隨機(jī)變量及其分布第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五記X為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則其概率函數(shù)為

其中例如在n次獨(dú)立重復(fù)的Bernoulli試驗(yàn)中,每次事件A發(fā)生的概率為p。在學(xué)習(xí)獨(dú)立試驗(yàn)序列時(shí)我們已知，此稱二項(xiàng)分布.它含有兩個(gè)參數(shù)n和p，記作B(n,p)。記概率函數(shù)為1.二項(xiàng)分布一、典型的離散隨機(jī)變量概率分布一第四講隨機(jī)變量及其分布第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五2.“0-1”分布(兩點(diǎn)分布)設(shè)隨機(jī)變量X只能取兩個(gè)數(shù)值0和1,而概率函數(shù)是于是，概率分布為通常稱這種分布為稱01分布(或兩點(diǎn)分布).3.幾何分布第四講隨機(jī)變量及其分布第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五其中概率函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X的取值范圍為：取得這些值的概率函數(shù)是：

4.超幾何分布其中n,M,N都是正整數(shù),n

x

NM.且

nN,MN,x

M,

x

n,第四講隨機(jī)變量及其分布第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五超幾何分布含有三個(gè)參數(shù)，通常記作其概率函數(shù)還可記為超幾何分布應(yīng)用很廣泛，例如檢查產(chǎn)品的次品問題

設(shè)一批產(chǎn)品共有N個(gè),其中有M個(gè)次品.從這批產(chǎn)品中任取n個(gè)產(chǎn)品，則取出的n個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)X服從超幾何分布從一批產(chǎn)品中任意取出n個(gè)產(chǎn)品，可以有兩種不同的方式：（1）一次任意取出n個(gè)產(chǎn)品；第四講隨機(jī)變量及其分布第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第四講隨機(jī)變量及其分布（2）每次任意取出一個(gè)產(chǎn)品，取出的產(chǎn)品不再放回，連續(xù)取n個(gè)產(chǎn)品.第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第四講隨機(jī)變量及其分布定理1地服從二項(xiàng)分布B(n,p),即則當(dāng)N時(shí),X近似

設(shè)隨機(jī)變量XH(n,M,N),用二項(xiàng)分布計(jì)算超幾何分布證第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第四講隨機(jī)變量及其分布第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五例4-3-11000件產(chǎn)品中有900件正品，隨機(jī)抽取20件檢查，試求（1）恰有18件正品的概率，（2）正品不超過18件的概率第四講隨機(jī)變量及其分布第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第四講隨機(jī)變量及其分布第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五例4-3-2第四講隨機(jī)變量及其分布第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五（二）典型的離散變量概率分布二：泊松(Poisson)分布1.定義設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是一切非負(fù)整數(shù)，而概率函數(shù)是其中常數(shù)>0,此稱泊松分布(Poisson).2.泊松分布的意義：

泊松分布是泊松經(jīng)過著名的泊松試驗(yàn)得出的成就?？捎盟枋鲈S多實(shí)際問題的分布.如：第四講隨機(jī)變量及其分布泊松分布含有一個(gè)參數(shù),通常記作P().如果X服從泊松分布

P(),則記為第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五

在大量試驗(yàn)中，小概率事件發(fā)生的次數(shù)可以近似地看作服從Poisson分布。如：一段時(shí)間內(nèi)電話用戶對(duì)電話站的呼叫次數(shù)鑄件上的疵點(diǎn)數(shù)候車的旅客數(shù)原子放射粒子數(shù)等

除了實(shí)際問題的應(yīng)用以外，泊松分布還可以近似計(jì)算許多其它分布，如二項(xiàng)分布3.泊松分布近似計(jì)算二項(xiàng)分布定理2服從泊松分布P(),即

其中=

np.

則當(dāng)n

時(shí),X近似

設(shè)隨機(jī)變量XB(n,p),第四講隨機(jī)變量及其分布第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五證(當(dāng)n充分大時(shí))第四講隨機(jī)變量及其分布第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五泊松分布的計(jì)算要用泊松分布表4.泊松分布表泊松分布表在教材后附錄表1第四講隨機(jī)變量及其分布第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五例4-3-3設(shè)一批產(chǎn)品共2000個(gè)，其中有40個(gè)次品。隨機(jī)抽取100個(gè)樣品，

設(shè)隨機(jī)變量X為次品數(shù)，求（1）不放回抽樣檢查時(shí)X的概率分布；（2）有放回抽樣檢查時(shí)X的分布解（1）若不放回抽樣，X~H(100,40,2000),即這批產(chǎn)品的次品率為第四講隨機(jī)變量及其分布第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五∴X近似地服從泊松分布（2）若放回抽樣，則相當(dāng)于n=100的獨(dú)立試驗(yàn)X~B(100,0.02),即∵抽取的樣品數(shù)n=100較大,第四講隨機(jī)變量及其分布第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五二、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布1.連續(xù)型隨機(jī)變量產(chǎn)生的背景如何描述連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率分布呢？背景1：若樣本空間為區(qū)域，則區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的概率為零

背景2：第四講隨機(jī)變量及其分布第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第四講隨機(jī)變量及其分布第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五2.概率的分布函數(shù)的定義：是隨機(jī)變量X=X(w)的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)或分布證：3.區(qū)間上的概率分布：第四講隨機(jī)變量及其分布第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五由于連續(xù)隨機(jī)變量中點(diǎn)的概率為零，所以：4.分布函數(shù)的性質(zhì)：(3)定義在區(qū)間[a,b]上的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)第四講隨機(jī)變量及其分布第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五5.離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義：利用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義可以定義離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義。請(qǐng)注意離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率分布或與概率函數(shù)是不同的概念。第四講隨機(jī)變量及其分布第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五其分布函數(shù)的圖形是右連續(xù)的階梯曲線（如下圖）第四講隨機(jī)變量及其分布第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第四講隨機(jī)變量及其分布1第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五例4-4-1解：利用函數(shù)的0，1、不減與無窮分段這三個(gè)性質(zhì)判斷第四講隨機(jī)變量及其分布第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五例4-4-2第四講隨機(jī)變量及其分布第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五已知求X的分布函數(shù)FX(x)。P-1230.20.50.3X例4-4-3第四講隨機(jī)變量及其分布第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五解-11230第四講隨機(jī)變量及其分布第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五例4-4-4第四講隨機(jī)變量及其分布第三十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第四講連續(xù)函數(shù)隨機(jī)變量及其概率分布例4-4-5（1997年數(shù)學(xué)一，7分）

從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是0.4.設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律和分布函數(shù)。第三十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第四講連續(xù)函數(shù)隨機(jī)變量及其概率分布第三十