解排列組合問題的十七種常用策略

解排列組合問題的十七種常用策略第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習題第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（）練習題20第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五三.不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨獨獨第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

30練習題第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五四.定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：（空位法）設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理練習題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五五.重排問題求冪策略例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有

種分法.7把第二名實習生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計數(shù)原理共有種不同的排法第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習題第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五六.環(huán)排問題線排策略例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五練習題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈60第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五七.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是______346練習題第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五八.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有_____種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_____第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五練習題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有________種192第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五九.小集團問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有____種排法，再排小集團內部共有_______種排法，由分步計數(shù)原理共有_______種排法.31524小集團第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_______種第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五練習題10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一

有多少裝法？2.x+y+z+w=100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有____,只含有1個偶數(shù)的取法有_____,和為偶數(shù)的取法共有_________再淘汰和小于10的偶數(shù)共___________符合條件的取法共有___________9013015017023025027041045043+-9+第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?練習題第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五十二.平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復計數(shù)。第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？2.10名學生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法（1540）3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______

第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計數(shù)原理共有______________________種。++第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五本題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經(jīng)得到正確結果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習題2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這3人共有多少乘船方法.27第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五十四.構造模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有________種第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五練習題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五十五.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五十五.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有2種第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五練習題同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五十六.分解與合成策略例16.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×