2022年上海育林中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年上海育林中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果對于任意實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】充要條件．【專題】閱讀型．【分析】先根據(jù)[x]的定義可知，[x]=[y]?|x﹣y|＜1，而取x=1.9，y=2.1，此時(shí)滿足|x﹣y|=0.2＜1，但[x]≠[y]，根據(jù)若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件進(jìn)行判定即可．【解答】解：[x]=[y]?﹣1＜x﹣y＜1即|x﹣y|＜1而取x=1.9，y=2.1，此時(shí)|x﹣y|=0.2＜1，而[x]=1，[y]=2，[x]≠[y]∴“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的充分而不必要條件故選A【點(diǎn)評】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．2.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，面積為S，且，則A等于A.

B. C.

D.參考答案：C3.一次實(shí)驗(yàn)：向如圖所示的正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，經(jīng)查數(shù)，落在正方形中的豆子的總數(shù)為N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在該正方形的內(nèi)切圓內(nèi)，以此估計(jì)圓周率π為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式，即可以進(jìn)行估計(jì)，得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)圓的半徑為1．則正方形的邊長為2，根據(jù)幾何概型的概率公式可以得到，即，故選：D．4.已知函數(shù)的值域?yàn)镽,則k的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.如果函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，那么正確的選項(xiàng)是（

）A．是區(qū)間上的減函數(shù)，且B．是區(qū)間上的增函數(shù)，且C．是區(qū)間上的減函數(shù)，且D．是區(qū)間上的增函數(shù)，且

參考答案：略6.下列說法錯(cuò)誤的是A.命題“若，則”的逆否命題是“若，則”B.若，則“”是“”的充要條件C.已知命題和，若為假命題，則命題與中必一真一假D.若命題，，則，參考答案：C7.已知集合，，則為A.

B.

C.

D.參考答案：A8.命題“，不等式成立”的否定為（

）A．，不等式成立B．，不等式成立C．，不等式成立D．，不等式成立參考答案：B試題分析：全稱命題的否定是特稱命題，故選B.考點(diǎn)：全稱命題與特稱命題.9.經(jīng)過點(diǎn)（2，1），且漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：A【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)雙曲線的方程為mx2﹣ny2=1（mn＞0），將（2，1）代入雙曲線的方程，求得漸近線方程，再由直線和圓相切的條件：d=r，解方程可得m，n，進(jìn)而得到雙曲線的方程．【解答】解：設(shè)雙曲線的方程為mx2﹣ny2=1（mn＞0），將（2，1）代入方程可得，4m﹣n=1，①由雙曲線的漸近線方程y=±x，圓x2+（y﹣2）2=1的圓心為（0，2），半徑為1，漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1相切，可得：=1，即為=3，②由①②可得m=，n=，即有雙曲線的方程為﹣=1．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，以及直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．10.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則等于（

）

A．B．1

C．

D．-1參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平行于直線且與曲線相切的直線方程是_______.參考答案：和

12.已知參考答案：略13.已知圓C過點(diǎn)，且圓心在軸的負(fù)半軸上，直線被該圓所截得的弦長為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.］參考答案：略14.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=57，則判斷框內(nèi)應(yīng)為．參考答案：k＞4【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸入S的值，條件框內(nèi)的語句是決定是否結(jié)束循環(huán)，模擬執(zhí)行程序即可得到答案．【解答】解：程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：K

S

是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前1

1/第一圈2

4

是第二圈3

11

是第三圈4

26

是第四圈5

57

否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k＞4故答案為：k＞4．【點(diǎn)評】算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點(diǎn)考試的概率更大．此種題型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤．15.直線與拋物線所圍圖形的面積等于_____________參考答案：16.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為

．參考答案：3

17.在三棱錐A-BCD中，，當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，三棱錐A-BCD外接球的體積與三棱錐A-BCD的體積之比為__________.參考答案：【分析】根據(jù)題意，當(dāng)面BCD面ABD時(shí)，三棱錐的體積最大.此時(shí)取BD的中點(diǎn)O，由，得，同理根據(jù)，且，由直角三角形中線定理可得，從而得到外接圓半徑R=2，再分別利用體積公式求解.【詳解】如圖所示：當(dāng)面BCD面ABD時(shí)，三棱錐的體積最大.取BD的中點(diǎn)O，因?yàn)?，所以，，，，外接圓半徑R=2，V球，，三棱錐外接球的體積與三棱錐的體積之比為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的體積問題，還考查了邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，問：在什么范圍取值時(shí)對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個(gè)，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（1）由知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

（2）由,∴，.

故，∴,∵函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，∴有兩個(gè)不等實(shí)根且至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)

又∵函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，∴

由，∵在上單調(diào)遞減，所以；∴，由，解得；綜上得：所以當(dāng)在內(nèi)取值時(shí)，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值。

（3）令，則.時(shí)，由得，從而,所以，在上不存在使得；

時(shí)，,，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增。

故只要，解得綜上所述，的取值范圍是略19.如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，P在單位圓上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）若四邊形OAQP是平行四邊形，（i）當(dāng)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)O的軌跡方程；（ii）設(shè)∠POA=θ（0≤θ≤2π），點(diǎn)Q（m，n），且f（θ）=m+n．求關(guān)于θ的函數(shù)f（θ）的解析式，并求其單調(diào)增區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】（1）由三角函數(shù)定義得tanα=﹣2，再弦化切代入計(jì)算，即可求求的值；（2）（i）設(shè)PA中點(diǎn)為H，P（x1，y1），Q（x，y），則，，由此可求點(diǎn)O的軌跡方程；（ii）確定，即可求其單調(diào)增區(qū)間．【解答】解：（1）由三角函數(shù)定義得tanα=﹣2，所以原式=．（2）∵四邊形OAQP是平行四邊形，∴PA與OQ互相平分，（i）設(shè)PA中點(diǎn)為H，P（x1，y1），Q（x，y），則，，又，所以，代入上式得點(diǎn)Q的軌跡方程為（x﹣1）2+y2=1．（ii）依題意得，又由（i）知，∴，∴∵，∴或，∴f（θ）的增區(qū)間為和．20.（本小題滿分14分）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，.經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求線段的長；（Ⅲ）記與的面積分別為和，求的最大值.參考答案：解：（I）因?yàn)闉闄E圓的焦點(diǎn),所以又

所以所以橢圓方程為

………………3分（Ⅱ）因?yàn)橹本€的傾斜角為,所以直線的斜率為1,所以直線方程為,和橢圓方程聯(lián)立得到,消掉,得到

………………5分所以

所以

………………7分（Ⅲ）當(dāng)直線無斜率時(shí),直線方程為,此時(shí),

面積相等，

………………8分

當(dāng)直線斜率存在（顯然）時(shí),設(shè)直線方程為,設(shè)和橢圓方程聯(lián)立得到,消掉得顯然，方程有根，且

………………10分此時(shí)

………………12分因?yàn)?上式，（時(shí)等號成立）所以的最大值為

………………14分21.已知二次函數(shù)與的圖象有唯一的公共點(diǎn).（1）求的值；（2）設(shè)，若在上是單調(diào)函數(shù)，求的范圍，并指出是單調(diào)遞增函數(shù)還是單調(diào)遞減函數(shù).參考答案：（1）由已知得，化簡得，且，即有唯一解，所以，得，所以.（2），則，若在上為單調(diào)函數(shù)，則在上恒有或成立，因?yàn)榈膱D象是開口向下的拋物線，所以，解得，即時(shí)，在上為減函數(shù).22.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=．（1）寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；（2）若點(diǎn)P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求P到直線l的距離的最小值，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：本題（1）可以先消參數(shù)，求出直線l的普通方程，再利用公式將曲線C的極坐標(biāo)方程化成平面直角坐標(biāo)方程，（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出P到直線l的距離的最小值，再根