2021-2022學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)市美術(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)市美術(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}滿足an+an﹣1=n（﹣1），Sn是其前n項(xiàng)和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，則+的最小值為（）A．3﹣2 B．3 C．2 D．3參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】由已知遞推式得到：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，累加可求S2017﹣a1，結(jié)合S2017=﹣1007﹣b，求得a1+b=1，代入+，展開后利用基本不等式求最值．【解答】解：由已知得：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，把以上各式相加得：S2017﹣a1=﹣1008，即：a1﹣1008=﹣1007﹣b，∴a1+b=1，∴+=+=3++2≥3+2，故選：D．2.已知且,則存在,使得的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.雙曲線x2－y2=4的兩條漸近線和直線x=2圍成一個(gè)三角形區(qū)域（含邊界），則該區(qū)域可表示為（

）

A

B

C

D

參考答案：答案：B4.若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為

（

）A．

B． C．

D．參考答案：D略5.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線－＝１（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足∠F1-PF2=60°，=a，則該雙曲線的漸近線方程為A.x±y=0

B.x±y=0

C.x±y=0

D.x±y=0參考答案：D略6.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿對角線BD將△ABD折起，使A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影落在BC邊上，若二面角C—AB—D的平面角大小為θ，則sinθ的值等于（

）

A．

B．高考資源網(wǎng)

C．

D．參考答案：A略7.已知函數(shù)（f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜圖象相鄰對稱軸的距離為，一個(gè)對稱軸中心為（﹣，0），為了得到g（x）=cosx的圖象，則只要將f（x）的圖象(

) A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由周期求得ω，根據(jù)圖象的對稱中心求得φ的值，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)（f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜圖象相鄰對稱軸的距離為，所以函數(shù)f（x）的周期為π，所以ω=2，又一個(gè)對稱軸中心為（﹣，0），所以sin[2×φ]=0，|φ|＜，所以φ=，所以f（x）=sin（2x+）=cos（﹣+2x+）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，所以只需要將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，即可得到g（x）=cosx的圖象．故選：D．點(diǎn)評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．8.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=1。若二面角C—AB—C1的大小為60°，則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為（

）

A．

B．

C．

D．1參考答案：A略9.在平面直角坐標(biāo)平面上，，且與在直線上的射影長度相等，直線的傾斜角為銳角，則的斜率為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知平面，若直線，則∥是的

（

）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若成等差數(shù)列，且，則的值為

．參考答案：12.若的展開式中第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則---

參考答案：

1513.函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)開______________________;參考答案：14.對于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.給定函數(shù)，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問題：

（1）函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為

______

；

（2）計(jì)算=

__________

.參考答案：對稱中心……3分；

2012………2分

略15.連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦的長度分別等于、，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，則兩弦中點(diǎn)之間距離的最大值為

．參考答案：516.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第_______象限．參考答案：三【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】復(fù)數(shù)＝，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.在第三象限.故答案為：三【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.17.已知的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則該三角形的形狀為

參考答案：鈍角三角形三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB=BC，AD是BC邊上的高，AE是⊙O的直徑．（1）求證：AC?BC=AD?AE；（2）過點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長線于點(diǎn)F，若AF=4，CF=6，求AC的長．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】選作題；推理和證明．【分析】（Ⅰ）首先連接BE，由圓周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，可得∠ADC=∠ABE=90°，則可證得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得AC?AB=AD?AE；（Ⅱ）證明△AFC∽△CFB，即可求AC的長．【解答】（Ⅰ）證明：連接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC?AB=AD?AE，又AB=BC…故AC?BC=AD?AE…（Ⅱ）解：∵FC是⊙O的切線，∴FC2=FA?FB…又AF=4，CF=6，從而解得BF=9，AB=BF﹣AF=5…∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB…∴…∴…【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理與相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19.（本題滿分12分）已知橢圓的對稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左右焦點(diǎn)分別為和，且，點(diǎn)在該橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．參考答案：（1）橢圓C的方程為

……………．．（4分）（2）①當(dāng)直線⊥x軸時(shí)，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面積為3，不符合題意．

…………（6分）②當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得：，顯然＞0成立，設(shè)A，B，則，，可得|AB|=……………．．（10分）又圓的半徑r=，∴AB的面積=|AB|r==，化簡得：17+-18=0，得k=±1，∴r=，圓的方程為……………．．（12分）20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），面積的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線與橢圓C相交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，問y軸上是否存在點(diǎn)M，使得是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）；（2）見解析【分析】（1）由面積最大值可得，又，以及，解得，即可得到橢圓的方程，（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出的值，可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）面積的最大值為，則：又，，解得：，橢圓C的方程為：（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為由，消去可得：，解得：∴，，

依題意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化簡可得：則：，解得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意故軸上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R（1）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求函數(shù)h（x）的定義域，求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而討論判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而化存在性問題為最值問題，從而解得．【解答】解：（1）函數(shù)h（x）=x﹣alnx+的定義域?yàn)椋?，+∞），h′（x）=1﹣﹣=，①當(dāng)1+a≤0，即a≤﹣1時(shí)，h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；②當(dāng)1+a＞0，即a＞﹣1時(shí)，x∈（0，1+a）時(shí)，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）時(shí)，h′（x）＞0；故h（x）在（0，1+a）上是減函數(shù)，在（1+a，+∞）上是增函數(shù)；（2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]，①當(dāng)a≤﹣1時(shí)，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；②當(dāng)﹣1＜a≤0時(shí)，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；③當(dāng)0＜a≤e﹣1時(shí)，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，無解；④當(dāng)e﹣1＜a時(shí)，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（e）=e﹣a+＜0，解得，a＞；綜上所述，a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問題的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于難題．22.（13分）已知橢圓E：（a＞b＞0）與雙曲線G：x共焦點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓E與雙曲線G的一個(gè)交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△PF1F2的周長為4．（1）求橢圓E的方程；（2）已知?jiǎng)又本€l與橢圓E恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B，且，求△OAB面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】：（I）由雙曲線G：知F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），可得在橢圓E：中有c=2，又△PF1F2的周長為4+4，可得|PF1|+|PF2|=4=2a，b2=a2﹣c2，解出即可．（II）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，其方程可設(shè)為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，則△＞0，可得（8k2﹣m2+4）＞0，要使，需使x1x2+y1y2=0，可得3m2﹣8k2﹣8=0，而原點(diǎn)到直線l的距離d=，又|AB|==，對k分類討論即可得出取值范圍，利用S△OAB=，即可得出．解：（I）由雙曲線G：知F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），∴在橢圓E：中有c=2，又△PF1F2的周長為4+4，∵|PF1|+|PF2|=4=2a，a=2，b2=a2﹣c2=4，∴橢圓E的方程為，（II）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，其方程可設(shè)為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），解方程組，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，則△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即（8k2﹣m2+4）＞0，∴x1+x2=﹣，，要使，需使x1x2+y1y2=0，即+=0，∴3m2﹣8k2﹣8=0，8k2﹣m2+4＞0