2023年新高考數學考前提分練習一集合與常用邏輯用語（解析版）

專題—*合號常用史楫用語

一、考情分析

I.集合是高考數學必考問題，新高考對集合問題的考查，主要以考查概念和計算為主，考查兩個集合的交集、

并集、補集運算；從考查形式上看,主要以小題形式出現，常聯系不等式的解集、函數的定義域、方程的解集、

平面上的點集，試題難度較低，新高考集合試題的難度與老高考文科集合試題難度接近,一般出現在前兩道題

位置上.

2.高考對常用邏輯用語的考查熱點是充分條件與必要條件、全稱量詞命題與存在量詞命題，并且以充分條件

與必要條件的判斷，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定為主.

二、三年新高考真題屐示

1.(2020新高考山東卷)設集合4={田1上3},B={x[2<x<4},則AUB=()

A.{X|2<A<3}B.{X|2<I<3}

C.{x|l<r<4}D.{x|l<r<4}

【答案】C

【解析】AUB=[1,3]U(2,4)=口,4),故選c.

2.(2021新高考全國卷I)設集合4={*|-2<》<4},8={2,3,4,5),則42=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【解析】?A={x|—2<x<4}.B={2,3,4,5},;.A|S={x|-2<x<4}{2,3,4,5}={2,3}.

故選B.

3.(2021新高考全國卷II)設集合。={1,2,3,4,5,6},4={1,3,6},3={2,3,4},則4&B)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【答案】B

【解析】由題設可得63={1,5,6},故Ac(15)={l,6},故選B.

4.(2022新高考全國卷I)若集合M={x|?<4},N={x|3xN1},則MN=

A.{x[0?x<2}B.<x-<x<2

3

C.|x|3<x<16}D.《x—<x<16>

3

【答案】D

【解析】因為M=34<4}={x|0Wx<16},N={x|xzg},故MN=<xgWx<16>,故選D.

5.（2022新高考全國卷H）已知集合人={-1,1,2,4},3=卜卜一1區(qū)1},則AiB=

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】因為A={-l,l,2,4},B={x|k-l|41}={x|0Wx42},A3={1,2},故選B.

三、知識、方法、技能

1.確定性、互異性、無序性，特別是互異性，在判斷集合中元素的個數以及在含參的集合運算中，常因忽視互

異性，疏于檢驗而出錯.

2.用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件,明確集合類型，是數集、點集還

是其他類型的集合.你能區(qū)分下面幾個集合嗎？

①卜卜=一+2x}；②{丁}=/+2犬卜③{（工,），）|丁=/+2x}；@|x2+2x=01；

⑤{x|%2+2x=o}.

3.集合中的元素具有無序性和互異性.如集合{a,2}隱含條件。。2,集合{%|（%a）=0}不能直接化

成{l,a}.②

4.注意奇數集與正奇數集的表示

①奇數集：{x|x=2〃+eZ}==2n-\,neZ}=|x|x=4n±\,neZ}；

②正奇數集：{x|x=2〃-eN*}={x[x=2〃+eN}.

5.點集問題

二元方程組解的集合可看作點集，如解的集合為{（2,1）},下面的集合運算也是點集運算，你能解決

[2x-3y=l

嗎？

已知A={a|a=（l,2）+/l（3,4）},B=?=（2,3）+/l（4,5）},則AB=

【答案】{（-2,-2）}.

6.空集是一個特殊且重要的集合,它不含有元素，是任何一個集合的子集，是任何一個非空集合的真子集.要掌

握有空集參與的集合間的關系或運算，特別是根據兩個集合的包含關系來討論參數的值或范圍時，不要忽視

空集的特殊性.如遇到48=0時,你是否注意到“極端”情況：A=0或3=0；同樣當4=8時,你是否

忘記A=0的情形？

7.對于含有〃個元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為2",2"-1,

2"-1,2"-2.

8.AcUB=2CM以及An(CuB)=0是兩兩等價的.對這五個式子的等價轉換，常使較復

雜的集合運算變得簡單.

9.分析集合關系時，弄清集合由哪些元素組成，這就需要我們把抽象的問題具體化、形象化，也就是善于對集

合的三種語言(文字、符號、圖形)進行相互轉化，同時還要善于將多個參數表示的符號描述法{x|p(x)}的集

合化到最簡形式.此類問題通常借助數軸，利用數軸分析法，將各個集合在數軸上表示出來，以形定數,還要注

意驗證端點值，做到準確無誤，還應注意“空集”這一"陷阱”,尤其是集合中含有字母參數時.因此分類討論思想

是必須的.判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關系；二是用列舉

法表示各集合，從元素中尋找關系.

10.解集合的運算問題，一般考慮如下三步：

第一步：看元素構成,集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵,即辨清

是數集、點集還是圖形集等，如{x|y=/a)},{y|y=/(x)},{(x,y)|)，=/(x)}三者是不同的.；

第二步：對集合化簡，有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決;

第三步：應用數形結合進行交、并、補等運算，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和韋恩圖(Venn).

11.充要條件的幾種判斷方法

(1)定義法：直接判斷若。則如若q則p的真假.

(2)等價法：即利用與㈱8=㈱A；與㈱㈱B；AoB與㈱Bo㈱A的等價關系,對于條件或結

論是否定形式的命題，一般運用等價法.

(3)利用集合間的包含關系判斷：設A={x|p(x)},B={x|q(x)}：若AUB,則p是q的充分條件或q是p的必要條

件；若AB,則p是q的充分不必要條件，若則p是q的充要條件.

12.充要條件一定要分清誰是條件誰是結論，注意下面兩種敘述方式的區(qū)別：

①p是q的充分條件；

②p的充分條件是q.

13.充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上.解題時需注意：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系,然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式

(或不等式組)求解；

(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.

14.注意下面幾個命題的真假：

⑴“一定是''的否定是“一定不是“（真）

⑵若年3,則炬3；（真）

⑶若x+yr3,則/1或）#2；（真）

⑷若p為lgx<1，則1p為lgx>1；（假）

⑸若A={x[/l}U3歸2},8=（-8,1）口（1,2）口（2,+8）,則A=8.（假）

15.全稱量詞命題、存在量詞命題的否定是高考考查的重點，正確理解兩種命題的否定形式是解決此類問題的關

鍵.

全稱量詞命題尸：VxwM,p（x）,它的否定一iP：3xeM,—l/?（x）：

存在量詞命題P-.3x&M,P（x），它的否定NZXG

16.要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p（x）成立.要判定一個存在量詞

特命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x=xo,使Mxo）成立即可.

四、新高考地區(qū)最新模擬試題精選

一、單選題

1.（2023屆福建省南安市高三上學期測試）已知全集U,集合A和集合8都是U的非空子集,且滿足=8,

則下列集合中表示空集的是（）

A.@,A）c3B.Ar>BC.（腕）c（“8）D.An（Q.B）

【答案】D

【解析】由旅加圖表示集合A8如下：

IU

由圖可得僭A）B=BA,A8=A.（楸）c（㈤（際8）=0,故選D

2.（2023屆河北省石家莊市高三上學期期末）設集合4=3-5。<4},8={》|/+3》-18<0}廁48=（）

A.1x|-3<x<4|B.1x|-3<x<6|

C.{乂-5<x<3}D.{x|-6<x<4}

【答案】C

【解析】因為集合8={x|J+3x-18<0}={x|-6<x<3},又A={川-5<x<4},

由交集的定義可得：A8={x|-5＜x＜3},故選C.

3.（2023屆山東省濰坊市高三上學期12月學科核心素養(yǎng)測評）已知全集。=1＜,集合

尸=卜6必必一2》-340}和Q={Hx=2Z-l,ZeZ}的關系的韋恩（Venn）圖，如圖所示，則陰影部分所表示集

合的元素個數為（）

【答案】B

【解析】f-2x-3=（x-38+1）40,解得-14x43.所以P={0,l,2,3},所以PcQ={l,3},所以陰影部分表示

的集合為{0,2},共有2個元素.故選B

2、

4.（2023屆湖北省新高考聯考協(xié)作體高三上學期期末聯考）“一1＜加＜7”是“方程工+工=1表示焦點

機+17-tn

在y軸上的橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

2*）

【解析】7-帆＞m+1＞0,解得：-1＜機＜3,“方程上+工=1表示焦點在丫軸上橢圓”的充要條件為

"2+11-m

丫22

一1v機＜3,因為一1＜機＜3=-1vmv7,但一1＜相＜7幺一1v，〃＜3,故“一1＜〃2＜7"是“方程----F———=1表示焦點

tn+\1-m

在y軸上橢圓”的必要不充分條件.故選B

5.（2023屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三上學期元月質量檢測）若集合A={xeN*|x是4和10的公倍數）,

B={xeR|x24iooo},則AB=（）

A.0B.{-20,20}C.{20}D.{20,30}

【答案】C

【解析】由題意可知4=卜卜=20欠水€用},由（20后）2m1000河得公4|.由及《中得k=1.

因此A8={20}.故選C.

6.（2023屆湖南省株洲市二中教育集團高三上學期1月期末聯考）己知A8為兩個隨機事件，尸（A）,P（8）＞0,

則“A,8相互獨立”是“P（A|B）=P（川月）”的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

（解析］當A8相互獨立時,P（A|5）=爺胃=尸（湍』=p（A）

P（A\B）=與株=尸（；撩）=P（A），則P（A|B）=P（A\B），故充分;

當尸(A|B)=P(A,)時，因為P(A|B)=￡^,P（A網0畫）一。（西

"回一P（國一匚麗T

所以今=產盤，得'（A0-網A?P⑻=「⑻（4國,

r\D）1—rIoI

P（AB）=P（A8）P（B）+P（B）P（A^）=P（A）P（B）,故必要.故選A.

7.（2023屆廣東省深圳市羅湖區(qū)高三上學期期末）已知集合4={（兌），）卜—y=0},8={（x,），）k+y+l=0},則

AcB的子集個數為（）

A.0B.1C.2D.無窮多個

【答案】C

x-y=0

【解析］因為集合4={（工D）k_卜=0},3={（%丫）卜+卜+1=0},由，所以

x+y+l=0

Ar>B=，只有一個元素，所以AcB的子集個數為2.故選C

8.（2023屆廣東省深圳市南山區(qū)高三上學期期末）命題“存在無理數加，使得病是有理數，，的否定為（）

A.任意一個無理數用，病都不是有理數B.存在無理數加，使得方不是有理數

C.任意一個無理數加，療都是有理數D.不存在無理數用，使得病是有理數

【答案】A

【解析】根據特稱命題的否定是全稱命題得命題“存在無理數機，使得病是有理數''的否定為“任意一個無理

數機.病都不是有理數”，故選A.

9.(2023屆江蘇省無錫市江陰市高三上學期期末)給出下列四個命題，其中正確命題為()

A.是3">3"的充分不必要條件

B.￡>胃是coscccos4的必要不充分條件

C.a=0是函數/(xbV+orYxeR)為奇函數的充要條件

D.〃2)<〃3)是函數〃x)=&在[0,+8)上單調遞增的既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】對于A項,設函數e(x)=3;因為夕(6=3'在R上單調遞增,則0=3〃/?=3"

因為°(x)=3"在R上單調遞增，當a>6時/(a)>(p，即3">3d，所以充分性成"；

若3">3"即夕⑷>(P?，又因為8(x)=3、在R上單調遞增，所以a>b,必要性成立；

所以“a>〃”是"3">3%”的充要條件,A錯.對于B項，取a=-1,夕=F滿足cosa<cos尸，但是不滿足a>夕,則

?力>上,不是“8$夕<3￡”的必要條件出錯.對于C項,a=0時,〃x)=d的定義域為R關于原點對稱，又

因為〃t)=(—J=_丁=_/⑺,所以/(x)=d是定義在R奇函數，所以充分性成立；若Y+"2為奇

函數，則y(-x)=(-x)3+a(-x)2=-丁+ax2，并且一/(x)=-x3-ax2，又因為/(-x)=-/(￡)，則a=0,所以必要

性成立.故a=0是函數/(力=/+方2(犬€1<)為奇函數的充要條件，所以C正確.對于D項，因為函數

〃月=正在[0,+8)上單調遞增，所以〃2)<〃3),故必要性成立，所以D項不正確.故選C.

10.(2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學期期末)設集合A={x*-2x—340},3={x|y=log2(x-。)},若

A=8,則實數。的取值范圍()

A.[3,+oo)B.[―1,3]C.(―℃,—1)D.(―℃>,—1]

【答案】C

[解析]因為A={x|x2_2x_340}=|-l,3].B={Xy=log2(x_a)}=m+8),

由于A=得a<T，即實數a的取值范圍故選C.

二、多選題

11.(2023屆河北省高三上學期階段性檢測)已知直線久方和平面a、B、乙下列選項能得到成立的

充分條件是()

A.a!Ip,a!iaB.yllP，aVyC.ac/3=a,bLa,bu0D.a±/?,?//?

【答案】BD

【解析】對于A,若a///,a〃a,則a與夕可能平行也可能相交，故A錯誤；

對于B,若7〃/?,a，九則aVp.故B正確；

對于C,若cc/?=a力，a,〃u/7,則a與4不一定垂直，故C錯誤；

對于D,由〃〃a,可知在平面a內必存在直線I與a平行，又a，￡,則/_L￡，進而可得。，尸.故D正確.故選BD.

12.(2023屆福建省上杭縣高三上學期月考)下列說法正確的有()

A.VxeR-<1

x2+1

B.SxeR,—<x+1

x

C.若p：$n?N,〃2>2",則即："〃刨，n22"

D.若p：”">4,2">〃2,則力：$〃#4,2"n2

【答案】BC

【解析】當x=0時,一一=LA錯誤，當JC=-1時,+正確，命題T”GN,“2>2"”的否定是命題

r+1X

N,〃2w2〃”C正確，命題4,2">〃2，，的否定是命題“$〃>4,2"?〃2，，,D錯誤.故選BC.

13.(2023屆】湖北省部分優(yōu)質重點高中高三上學期聯考)已知函數/。)=>/-4/+如,設命題曲對任意

me(0,+oo)J(x)的定義域與值域都相同.下列判斷正確的是()

A.p是真命題

B.p的否定是“對任意加40,”),/(》)的定義域與值域都不相同"

C.〃是假命題

D.p的否定是“存在me(0,+8),使得f(x)的定義域與值域不相同”

【答案】AD

【解析】函數/(x)的定義域為kI-4x2+F20},又機e(0,+?),所以函數f(x)的定義域為{x104x4,設

222

H+.,當04x41時,04f(x)4.，此時，函數

/(x)=J-4/+…0,：，由上知，當me(0,”)時，函數/(X)的定義域與值域均為，所以p是真命題，且

P的否定是“存在”"(0,+8),使得了(X)的定義域與值域不相同故選AD.

三、填空題

14.(2023屆遼寧省名校聯盟高三上學期聯考)若“存在實數x,使不等式組<3一^“一％成立”為真命題，則實

2x<a

數。的取值范圍是.

【答案】(；，+8)

【解析】；,+8),2x<a=x€(-8,9.根據題意，；,+力卜卜8武卜0,所以]>；，所

以a>—.

2

15.(2023屆重慶市第十一中學高三上學期質量抽測)設a:言40,夕:/_(機+1卜+加40,若。是夕的充

分條件，求實數用的取值范圍是.

【答案】{加|〃叱-2}

X—19

【解析】a：——-<0,a:-2<x<1./?:x2-(/n+l)x+w<0,.-.(x-l)(x-/n)<0,

若a是夕的充分條件，則auy?,當相2/時,￡:14xW僅此時不滿足故舍去：

當m<1時J3:m<x<1,若滿足acZ?.!)ii]/n<-2.綜上m<-2.

五、延伸抗屐

存挖與修意向題

存在與任意問題實質是有解與恒成立問題，不少同學在解決這類問題時常因理解上的錯誤導致解題失誤，下面

通過對一個典型題組解法的探究來辨析這類易混淆問題.

已知/(x)=；x2+x,g(x)=ln(x+l)-a,

⑴存在x€[0,2],使得/(x)=g(x),求實數a的取值范圍；

⑵若方程"X)=g(X)在[0,2]上有解，求實數a的取值范圍；

⑶若存在xe[0,2],使得/(力>8(切,求實數°的取值范圍；

⑷若對任意xe[0,2],恒有〃x)>g(x)，求實數a的取值范圍：

⑸若對任意石，赴?0，2],恒有/(%)>g(工2),求實數a的取值范圍；

⑹若對任意玉,％2，毛€[0,2],恒有/(豆)+/(々)>8(七),求實數4的取值范圍；

⑺若對任意AG[0,2],存在X|e[0,2].使得〃玉)>g(M,求實數a的取值范圍；

⑻若對任意赴e[0,2],存在玉€[0,2].使得/(%)=85),求實數”的取值范圍；

⑼若存在玉,々e[0,2],使得/(王)>g(馬),求實數a的取值范圍；

⑩若存在％e[0,2],使得./1(%)=g(x2)，求實數a的取值范圍.

⑴【解析】由/(x)=g(x)可得;犬+x-In(x+1)=a,存在xG[0,2],使得/(x)=g(尤),即方程|x2+x

-ln(x+l)=a在[0,2]上有解.

設〃(x)=；/+x—ln(x+l),則方程;V+x—m(x+l)=。在[0,2]上有解的條件是a為〃(x)值域中的

元素，所以a的取值范圍就是網力的值域.

因為xw[0,2]時〃'(x)=x+1—白=個子>0,所以〃(行在[0,2]上是增函數，由此可求得h(x)的值域

是[0,4-ln3],所以實數a的取值范圍是[0,4-ln3J.

⑵【解析】方程/(x)=g(x)在[0,2]上有解等價于存在x?0,2],使得/(x)=g(x),故本題解法同⑴.

【點評】根據方程有解求參數取值范圍，常采用分離參數法，但若給出方程解的個數求參數范圍,一般不宜用分

離參數法.

⑶【解析】據題意:若存在xe[0,2],使得/(x)>g(x),即〃(x)>a有解，故人(冷加>a，由⑴知

h(x]=4一In3h,于是得a<4-In3.

【點評】在求不等式中的參數范圍過程中，當不等式中的參數(或關于參數的式子)能夠與其它變量完全分

離出來并且分離后不等式其中一邊的函數的最值或值域可求時，常用分離參數法.另外要注意方程有解與不

等式有解的區(qū)別，方程有解常通過分離參數法轉化為求函數值域問題，而不等式有解常通過分離參數法轉化

為求函數最值問題.

(4)【解析】對任意xe[0,2],恒有/(x)>g(x),即x?0,2]時〃(x)>a恒成立，即〃(XL>a,由⑴可知

//(XL=0,所以a<().

【點評】比較(3),⑷可知不等式恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，切不可混為一團.另外還要注意解決此類問題時

參數能否取到端點值.以下充要條件應細心思考，甄別差異：

①若"X)值域為[北川，則不等式“X)恒成立=a<m\不等式有解=