八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題16.2 二次根式的乘除【九大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

PAGE14專題16.2二次根式的乘除【九大題型】【人教版】【題型1求字母的取值范圍】 1【題型2二次根式乘除的運(yùn)算】 2【題型3二次根式的符號(hào)化簡(jiǎn)】 3【題型4最簡(jiǎn)二次根式的判斷】 5【題型5化為最簡(jiǎn)二次根式】 6【題型6已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)】 7【題型7分母有理化】 8【題型8比較二次根式的大小】 10【題型9分母有理化的應(yīng)用】 11【知識(shí)點(diǎn)1二次根式的乘除法則】①二次根式的乘法法則：a?②積的算術(shù)平方根：a?b=③二次根式的除法法則：ab④商的算術(shù)平方根：ab【題型1求字母的取值范圍】【例1】（2022春?趙縣校級(jí)月考）若要使等式xx-8=xx-8成立，則x的取值范圍是x＞8【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)而得出關(guān)于x的不等式組求出答案．【解答】解：∵等式xx-8∴x≥0x-8則x的取值范圍是：x＞8．故答案為：x＞8．【變式1-1】（2022秋?犍為縣校級(jí)月考）已知(x-3)?(-x-2)=3-x?x+2，使等式成立的x的取值范圍是﹣2≤x【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出關(guān)于x的不等式組，進(jìn)而求出答案．【解答】解：∵(x-3)?(-x-2)=∴3-x≥0x+2≥0解得：﹣2≤x≤3．故答案為：﹣2≤x≤3．【變式1-2】（2022秋?南崗區(qū)期末）能使等式x-2x=x-2A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進(jìn)行解答即可．【解答】解：由題意得：x-2≥0x解得：x≥2，故選：D．【變式1-3】（2022?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)x滿足2x2-x3=x?2-x，則x的取值范圍是0【分析】依據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于0和a2=a（a≥【解答】解：∵原式=(2-x)x2=∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案為：0≤x≤2．【題型2二次根式乘除的運(yùn)算】【例2】（2022?長(zhǎng)寧區(qū)期中）計(jì)算：（1）5827?827?3（2）2112÷【分析】（1）利用二次根式的乘法法則計(jì)算即可．（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8（2）原式＝2×1【變式2-1】（2022?長(zhǎng)寧區(qū)期中）計(jì)算：223m÷1【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案．【解答】解：原式＝2×62＝128m＝82m．【變式2-2】（2022?青浦區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：35xy3÷(-【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=35xy3?（=-94x=-94xy?（-5=15【變式2-3】（2022?浦東新區(qū)校級(jí)月考）化簡(jiǎn)：2bab3(-【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性質(zhì)可得a＜0，b＜0，∴原式=2b?（﹣b）ab?（32aab＝﹣3a2b÷3ab＝﹣3a2b×（-b＝a2b2×＝abab．【題型3二次根式的符號(hào)化簡(jiǎn)】【例3】（2022?安達(dá)市校級(jí)月考）已知xy＞0，將式子x-yx2A．y B．-y C．-y D．【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0求出y＜0，再根據(jù)同號(hào)得正判斷出x＜0，【解答】解：∵-yx∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴x-y故選：D．【變式3-1】（2022?自貢期中）把二次根式a-A．-1a B．1a C．-1【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)先判斷a的符號(hào)，然后再進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：由題意可知-1a∴a＜0，∴a-1a3故選：D．【變式3-2】（2022?張家港市校級(jí)期末）將（2﹣x）1x-2A．x-2 B．2-x C．﹣22-x D．-【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出x﹣2的符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn)二次根式得出即可．【解答】解：由題意可得：x﹣2＞0，則原式=-(x-2故選：D．【變式3-3】（2022春?龍口市期中）把（a﹣b）-1a-b根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)結(jié)果為-【分析】先根據(jù)二次根式成立的條件得到-1a-b＞0，則a﹣b＜0，所以原式變形為﹣（b﹣a）-1a-b，然后利用二次根式的性質(zhì)得到-【解答】解：∵-1a-b∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a）-1a-b=-故答案為-b-a【知識(shí)點(diǎn)2最簡(jiǎn)二次根式】我們把滿足①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．【題型4最簡(jiǎn)二次根式的判斷】【例4】（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）在25、aba、18x、x2-1、0.6中，最簡(jiǎn)二次根式是ab【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【解答】解：aba、x故答案為：aba、x【變式4-1】（2022春?曲靖期末）下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A．48 B．14 C．a(chǎn)b D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，被開(kāi)方數(shù)中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故AB、14是最簡(jiǎn)二次根式，故B符合題意；C、ab=abD、4a+4=2a+1，故D故選：B．【變式4-2】（2022秋?玉田縣期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最簡(jiǎn)二次根式的是【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，可得答案．【解答】解：②2n+1③2b4故答案為：②③．【變式4-3】（2022春?建昌縣期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+【分析】結(jié)合選項(xiàng)根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念求解即可．【解答】解：二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2故答案為：3【題型5化為最簡(jiǎn)二次根式】【例5】（2022春?安陽(yáng)期末）下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)與另外三個(gè)不同的是（）A．2 B．58 C．28 D．1【分析】先把B、C、D化成最簡(jiǎn)二次根式，再找被開(kāi)方數(shù)不同的項(xiàng)．【解答】解：∵2是最簡(jiǎn)二次根式，58=102，28=27，∴化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的是A、B、D．故選：C．【變式5-1】（2022春?番禺區(qū)期末）把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式（1）3（2）32（3）4【分析】（1）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案；（3）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：（1）3100（2）32=42（3）4x【變式5-2】（2022秋?合浦縣月考）把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：（1）275（2）-abc【分析】本題需先將二次根式分母有理化，分子的被開(kāi)方數(shù)中，能開(kāi)方的也要移到根號(hào)外．【解答】解：（1）原式=27（2）當(dāng)b，c同為正數(shù)時(shí)，原式=-abc當(dāng)b，c同為負(fù)數(shù)時(shí)，原式=-abc2×（-當(dāng)c＝0時(shí)，原式＝0．【變式5-3】（2022秋?安岳縣期末）x2-1xy-y化成最簡(jiǎn)二次根式是±【分析】對(duì)被開(kāi)方數(shù)的分母進(jìn)行因式分解，然后約分；最后將二次根式的被開(kāi)方數(shù)的分母有理化，化簡(jiǎn)求解．【解答】解：原式=(x-1)(x+1)①當(dāng)y＞0時(shí)，上式=②當(dāng)y＜0時(shí)，上式=-y(x+1)故答案是：±y(x+1)y【題型6已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)】【例6】（2022春?浉河區(qū)校級(jí)期末）若二次根式5a+3是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的正整數(shù)a為2．【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【解答】解：若二次根式5a+3是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的正整數(shù)a為2，故答案為：2．【變式6-1】（2022春?武江區(qū)校級(jí)期末）若a是最簡(jiǎn)二次根式，則a的值可能是（）A．﹣4 B．32 C．2 D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件判斷A選項(xiàng)；根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式判斷B，C，D選項(xiàng)．【解答】解：A選項(xiàng)，二次根式的被開(kāi)方數(shù)不能是負(fù)數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，32C選項(xiàng)，2是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，8=22故選：C．【變式6-2】（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)期末）若2m+n-2和33m-2n+2都是最簡(jiǎn)二次根式，則m＝1，n＝2【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式定義列出方程組，求出方程組的解即可得到m與n的值．【解答】解：∵若2m+n-2和3∴m+n-2=13m-2n+2=1解得：m＝1，n＝2，故答案為：1；2．【變式6-3】（2022春?寧都縣期中）已知：最簡(jiǎn)二次根式4a+b與a-b23的被開(kāi)方數(shù)相同，則a+b＝8【分析】已知兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同，因此它們是同類二次根式，即：它們的根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)相同，列出方程組求解即可．【解答】解：由題意，得：a-b=24a+b=23解得：a=5∴a+b＝8．【知識(shí)點(diǎn)3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式；②兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．【題型7分母有理化】【例7】（2022秋?曲陽(yáng)縣期末）把3a12abA．4b B．2b C．12b 【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；∴3a12ab故選：D．【變式7-1】（2022?沂源縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）分母有理化：（1）132=26；（2）112=36；（【分析】根據(jù)分母有理化的一般步驟計(jì)算即可．【解答】解：（1）13（2）112（3）102故答案為：26；36；【變式7-2】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期末）下列各式互為有理化因式的是（）A．a(chǎn)+b和a-b B．-a和aC．5-2和-5+2 【分析】根據(jù)有理化因式定義：如果兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)非零代數(shù)式互為有理化因式，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)代數(shù)式特征作出判斷即可．【解答】解：A.a+b?a-b=(a+b)(a-b)，因此a+b和a-b不是有理化因式，故選項(xiàng)B．-a?a=-a，所以-a和aC．（5-2）（-5+2）＝﹣（5-2）2D．（xa+yb）?（xa+yb）＝（xa+yb）2，因此xa+yb和xa+故選：B．【變式7-3】（2022?寶山區(qū)校級(jí)月考）分母有理化：2【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式==(=10=(=3=10【題型8比較二次根式的大小】【例8】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)a=22-3，b=1a，則A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＞﹣b【分析】本題考查二次根式，先求出b的值，再與a比較得出結(jié)果．【解答】解：∵a＝22-∴b=1a=12所以a＞b．故選：B．【變式8-1】（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）已知a=15-2，b＝2+5，則A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式【分析】求出a與b的值即可求出答案．【解答】解：∵a=15-2=5+2∴a＝b，故選：A．【變式8-2】（2022春?長(zhǎng)興縣期中）二次根式25，25，A．25＜25＜25 B．25【分析】本題可先將各式分母有理化，然后再比較它們的大?。窘獯稹拷猓簩⑷齻€(gè)二次根式化成同分母分?jǐn)?shù)比較：∵25=105，∴25故選：C．【變式8-3】（2022秋?雨城區(qū)校級(jí)期中）利用作商法比較大小比較a+1a+2【分析】根據(jù)作商比較法，看最后的比值與1的大小關(guān)系，從而可以解答本題．【解答】解：a+1a∴a+1【題型9分母有理化的應(yīng)用】【例9】（2022春?大連月考）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無(wú)敵．這是武俠小說(shuō)中的常見(jiàn)描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”．如：（2+3）（2-3）＝1，（5+2）（5-2）＝解決問(wèn)題：（1）4+7的有理化因式可以是4-7，232分母有理化得（2）計(jì)算：①11+②已知：x=3-13+1，y=3+13【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各項(xiàng)分母有理化，合并即可得到結(jié)果；②將x與y分母有理化后代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4-7，23故答案為：4-7；（2）①原式=2-1+3-2+?+②∵x=3-13+1=2-3∴x2+y2＝7﹣43+7+43=【變式9-1】（2022?潮南區(qū)模擬）“分母有理化”是根式運(yùn)算的一種化簡(jiǎn)方法，如：2+32-3=(2+3)(2+3)(2+3)(2-3)=7+43；除此之外，還可以用先平方再開(kāi)方的方法化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如要化簡(jiǎn)4+7-4-7，可以先設(shè)x=4+7-4-7，再兩邊平方得x2＝（4+A．3﹣22 B．3+22 C．42 D．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性質(zhì)、完全平方公式分別化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：設(shè)x=8+4兩邊平方得x2=(8+43-∵8+43∴x＞0，∴x＝22，原式=6-=(6-=9-623＝3﹣22+2＝3．故選：D．【變式9-2】（2022?普定縣模擬）閱讀以下材料：將分母中的根號(hào)化去，