風(fēng)險(xiǎn)理論第四講

風(fēng)險(xiǎn)理論第四講第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六問(wèn)題的提出個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型的缺點(diǎn)假定單位時(shí)間內(nèi)保單組合理賠的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，我們記為N，

表示按次序到來(lái)的的理賠，設(shè)S表示單位時(shí)間內(nèi)的總理賠額，N表示單位時(shí)間內(nèi)的理賠次數(shù)，集體風(fēng)險(xiǎn)模型可以描述為第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六假定（1）

是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量（2）N與Xi獨(dú)立第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六我們按如下步驟討論理賠次數(shù)S的分布S的近似分布S的分布數(shù)值計(jì)算方法第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六理賠次數(shù)的分布主要內(nèi)容1、母函數(shù)與矩母函數(shù)2、一張保單的理賠次數(shù)分布3、理賠次數(shù)的混合分布4、理賠次數(shù)的復(fù)合分布5、免賠額對(duì)理賠次數(shù)分布的影響第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六N的母函數(shù)與矩母函數(shù)

設(shè)N是一個(gè)離散隨機(jī)變量，取值于

0,1,2,…記其母函數(shù)為矩母函數(shù)為母函數(shù)與矩母函數(shù)的關(guān)系第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六母(矩母)函數(shù)性質(zhì)1、若N的母(矩母)函數(shù)存在，那么母(矩母)函數(shù)與分布函數(shù)是相互唯一決定的。2、由母(矩母)函數(shù)可以導(dǎo)出矩的計(jì)算：

第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六請(qǐng)問(wèn)3、設(shè)N＝N1+…+Nn,Ni相互獨(dú)立，則第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六二、一張保單的理賠次數(shù)分布

1、泊松分布(Poisson)對(duì)于保險(xiǎn)公司而言，客戶因發(fā)生損失而提出理賠的人數(shù)類似于等待服務(wù)現(xiàn)象，因此對(duì)大多數(shù)險(xiǎn)種來(lái)說(shuō)，個(gè)別保單的理賠次數(shù)可用泊松分布來(lái)表示，即在單位時(shí)間內(nèi)個(gè)別保單發(fā)生理賠次數(shù)N的分布列為：在單位時(shí)間內(nèi)理賠次數(shù)N的分布列為

第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六泊松分布的性質(zhì)：（1）均值和方差（2）母函數(shù)（3）矩母函數(shù)

（4）可加性第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理1：設(shè),是相互獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量，參數(shù)分別為，則服從泊松分布，參數(shù)為。證明：故N服從泊松分布，參數(shù)為。第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六（5）可分解性假設(shè)損失事故可以分為m個(gè)不同類型C1,…,CmEi表示第i類事故發(fā)生。pi表示第i類事故發(fā)生的概率，Ni表示第i類事故發(fā)生的次數(shù)，N表示所有事故發(fā)生的次數(shù)。

定理2：若N服從參數(shù)為l的泊松分布，則N1,N2,…,Nn都是相互獨(dú)立的，且服從泊松分布，參數(shù)分別是lpi，。

第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六證明：給定N=n，Ni|n服從二項(xiàng)分布B(1,pi)，N1,…,Nn服從多項(xiàng)分布

因此其中n＝n1+n2+…+nn第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六因此，的聯(lián)合分布等于Ni分布的乘積，Ni是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1：設(shè)N表示損失事故發(fā)生的次數(shù)，X表示損失額，服從泊松分布，l=10，X～U[0,20]。問(wèn)損失額超過(guò)5的事故發(fā)生次數(shù)的概率分布。

解：令E表示事件“損失額超過(guò)5”所以損失額超過(guò)5的次數(shù)服從參數(shù)為10×0.75=7.5的泊松分布。

第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例2：假設(shè)某險(xiǎn)種的個(gè)體保單損失X的分布為

又假設(shè)個(gè)體保單在一年內(nèi)發(fā)生的損失事件的次數(shù)N服從泊松分布，l＝200。Ni表示損失額為i的損失事件的次數(shù)。

（1）

求的分布。

（2）假設(shè)免賠額為1，求個(gè)體保單在一年內(nèi)發(fā)生的理賠事件次數(shù)的分布。第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六解：由于，且N服從泊松分布，由定理知，Ni相互獨(dú)立且服從泊松分布。參數(shù)li等于計(jì)算得到

（2）留作課堂練習(xí)第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、其他常見(jiàn)的理賠次數(shù)分布

（1）負(fù)二項(xiàng)分布其中：第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六負(fù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)（1）當(dāng)r＝1，負(fù)二項(xiàng)分布退化為幾何分布（2）母函數(shù)第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六將化簡(jiǎn)得到（3）均值和方差第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）二項(xiàng)分布性質(zhì)（1）母函數(shù)與矩母函數(shù)第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）均值與方差請(qǐng)問(wèn)：如何從觀察數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單區(qū)別負(fù)二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布和泊松分布第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例3：設(shè)有100個(gè)40歲的投保人投保生命險(xiǎn)，q表示一個(gè)投保人明年死亡的概率，問(wèn)明年死亡人數(shù)的分布是什么？第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六3、(a,b,0)分布族

上述3種分布都可以用(a,b,0)分布來(lái)表示

定義：設(shè)隨機(jī)變量N的分布列滿足則稱分布族為(a,b,0)分布族

注：泊松分布，二項(xiàng)分布，負(fù)二項(xiàng)分布是（a,b,0)分布族

第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六泊松分布：

負(fù)二項(xiàng)分布第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六因此，當(dāng)r＝1時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布是幾何分布，二項(xiàng)分布第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例4：設(shè)N是一隨機(jī)變量，令，如果問(wèn)N的分布是什么？

解：由知，N服從二項(xiàng)式分布

第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六練習(xí)：設(shè)X的分布屬于(a,b,0)class，已知

求第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六三、理賠次數(shù)的混合分布背景：從保單中隨意抽取一份保單，求該保單的理賠次數(shù)分布。同質(zhì)性：指所有的保單相互獨(dú)立，且都有相同的風(fēng)險(xiǎn)水平，即各保單的損失額的分布相同，損失次數(shù)的分布也相同。非同質(zhì)性：保單組合中的每個(gè)保單風(fēng)險(xiǎn)水平各不相同。表示其風(fēng)險(xiǎn)水平。第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)模型設(shè)Q是一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)Q＝q時(shí)，令為Q的累積分布，u(q)為q的密度函數(shù)，則N的分布列為

或者N的分布稱為混合分布。

第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5：某司機(jī)總體被平均分成兩個(gè)類型。每個(gè)司機(jī)發(fā)生車禍的次數(shù)都服從泊松分布。第一種類型的司機(jī)的平均發(fā)生車禍的次數(shù)服從（0.2，1.8）的均勻分布。第二種類型的司機(jī)的平均發(fā)生車禍的次數(shù)服從（0.5，2.0）的均勻分布。從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取一個(gè)司機(jī)，求他不發(fā)生車禍的概率。第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六解第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六混合分布性質(zhì)

1.母函數(shù)或者其中PN(z|q)表示在Q＝q條件下，N的母函數(shù)。2．均值和方差

第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六常見(jiàn)的幾種混合泊松分布1、離散型混合對(duì)于規(guī)模較小的保單組合，假設(shè)保單組合由n種不同的風(fēng)險(xiǎn)水平構(gòu)成，泊松參數(shù)取值于,，設(shè)，。當(dāng)L＝lk時(shí)，保單的損失次數(shù)服從參數(shù)為lk的泊松分布。則從保單組合中任意抽取一份保單的分布為第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例6：假設(shè)投保車險(xiǎn)的駕駛員可以分為兩類，他們出事的次數(shù)服從泊松分布，其中好的一類的泊松參數(shù)為0.11，壞的一類的泊松參數(shù)為0.70，好的駕駛員和壞的駕駛員的比例為0.94和0.06，則任意一個(gè)駕駛員出事的次數(shù)分布時(shí)多少？解第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、連續(xù)型的混合對(duì)于規(guī)模較大的保單組合，可以假設(shè)其中的泊松參數(shù)服從連續(xù)分布。以u(píng)(l)表示的密度函數(shù)，通常稱為結(jié)構(gòu)函數(shù)。則從保單組合中隨機(jī)抽取一份保單的損失次數(shù)分布為性質(zhì)：

(1)母函數(shù)的表達(dá)式第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）結(jié)構(gòu)函數(shù)的唯一性，設(shè)P1和P2是兩個(gè)混合泊松分布的母函數(shù)，分別表示為若P1(z)=P2(z)，則u(q)=v(q)。第三十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例7：設(shè)Q的母函數(shù)為求N的分布。解：利用母函數(shù)公式第三十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理3：設(shè)保單組合中每張保單的理賠次數(shù)N服從泊松分布，但參數(shù)l是一個(gè)隨機(jī)變量，隨每張保單變化而變化。若l服從伽瑪分布，，則N服從負(fù)二項(xiàng)分布，參數(shù)為，。第三十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六證明：第四十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8：在某