2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（新高考）40拋物線及其性質(zhì)（解析版）

專題40拋物線及其性質(zhì)

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)廠和一條定直線/(尸走/)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)尸叫拋物線的焦點(diǎn),

定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注：若在定義中有尸€/,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為/的垂線，垂足為點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0),其中一次項(xiàng)與對(duì)

稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向

/yI

圖形z中

00A

標(biāo)準(zhǔn)y2=2px(p>C20)x2=2py(p>Q

)y=-2px(p>X2=-2py(p>0)

方程

頂點(diǎn)0(0,0)

范圍x>0,yeRx<0,yeRy>0,xwRy<0,xwR

對(duì)稱軸X軸y軸

焦點(diǎn)嘴,。)F(-g，0)F(0,§尸(o,-9

離心率e=l

準(zhǔn)線方程T

22y=2

焦半徑A/

AF=x,+^-12AF=-y+"

A(X|,y)'21212

【方法技巧與總結(jié)】

2

1、點(diǎn)P(x0,%)與拋物線y=2px(p>0)的關(guān)系

(1)P在拋物線內(nèi)(含焦點(diǎn))<=>^<2px0.

(2)P在拋物線上=2px0.

(3)P在拋物線外oy；>2px0.

2、焦半徑

拋物線上的點(diǎn)P（%,%）與焦點(diǎn)F的距離稱為焦半徑，若yJ2px（p>0）,則焦半徑歸同=』+勺

忸尸I='?

IImin2

3、p（p>0）的幾何意義

p為焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離，即焦準(zhǔn)距，"越大，拋物線開(kāi)口越大.

4、焦點(diǎn)弦

若A3為拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)弦，A（%,y）,B（x2,y2）,則有以下結(jié)論：

（1）XtX-,-.

-4

⑵必必:5-

（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：MM=玉+占+p,一+-22占耳=p,當(dāng)王=々時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值2p,即

所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為2P.

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：|AB|=3-（a為直線/W與對(duì)稱軸的夾角）.

sin-a

2

（4）AAO3的面積公式：SM0B=-^—（a為直線45與對(duì)稱軸的夾角）.

2sina

5、拋物線的弦

若A8為拋物線y2=2px（p>0）的任意一條弦，A（xpy,）,B（x2,y2）,弦的中點(diǎn)為〃（/,%）（為工0）,則

2

（1）弦長(zhǎng)公式：\AB\=y/\+k-x21=^l+p-|Vj-y21（kAB=k^0）

⑵22

%

（3）直線48的方程為y-y（）='（x-x。）

%

（4）線段AB的垂直平分線方程為丁-%=-紅（%-工0）

P

6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（4法）

4

（1）一二加（4-0）焦點(diǎn)為（4,0）,準(zhǔn)線為x=—4

44

（2）/=A）,（AKO）焦點(diǎn)為（o,4）,準(zhǔn)線為y=-4

44

如y=4d,即焦點(diǎn)為（o,_L）,準(zhǔn)線方程為y=—J_

41616

7、參數(shù)方程

/=2px(p>0)的參數(shù)方程為卜=2"(參數(shù)feR)

[y=2pr

8、切線方程和切點(diǎn)弦方程

拋物線y2=2px(p>0)的切線方程為yoy=p(x+x0),(x。,%)為切點(diǎn)

切點(diǎn)弦方程為yoy=p(x+x0)，點(diǎn)(x。,%)在拋物線外

與中點(diǎn)弦平行的直線為%y=p(x+x°),此直線與拋物線相離，點(diǎn)(%,%)(含焦點(diǎn))是弦的中點(diǎn),

中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果.

9、拋物線的通徑

過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑.

對(duì)于拋物線丁=2px(p>0),由嗎，p),鳴，-p),可得|AB|=2p,故拋物線的通徑長(zhǎng)為2P.

10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：

°k

11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)

已知A(國(guó)”)、8(々,必)是過(guò)拋物線丁=2。乂(0>0)焦點(diǎn)尸的弦，例是/W的中點(diǎn)，/是拋物線的準(zhǔn)線,

MN,N為垂足.

(1)以"為直徑的圓必與準(zhǔn)線/相切，以AF(或BQ為直徑的圓與y軸相切;

(2)FNA.AB,FC1FD

2

(3)演馬=《；yly2=-p

(4)設(shè)即，/,。為垂足，則A、O、。三點(diǎn)在一條直線上

【題型歸納目錄】

題型一：拋物線的定義與方程

題型二：拋物線的軌跡方程

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問(wèn)題

題型五：焦半徑問(wèn)題

題型六：拋物線的性質(zhì)

【典例例題】

題型一：拋物線的定義與方程

例1.（2022?黑龍江?佳木斯一中三模（理））己知拋物線父=2川（p>0）的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過(guò)點(diǎn)尸且傾斜

角為30。的直線交拋物線于點(diǎn)M（“在第一象限），MN，/,垂足為N,直線NF交x軸于點(diǎn)。，若|MD|=26,

則拋物線的方程是（）

A.x2=yB.x2=2y

C.x2=4yD.x2-8y

【答案】C

【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)/作垂足為A.

由題得ZAFM=30°,所以ZNMF=60°.

因?yàn)樗?MN尸是等邊三角形.

因?yàn)椤Ｊ鞘?的中點(diǎn)，所以|。用=|ON|,

所以所以|FM|=*=4.

sin600

所以|MN|=4,QMF|=|EN|,/JAM|=|AN\,:\AN\=2.

所以|AE|=|EN\=\,:]AE|=|OF|=I,/.^=l,:.p=2.

所以拋物線的方程是-=4），.

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】

求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：

（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置:

（2）根據(jù)題目條件列出尸的方程

（3）解方程求出P,即得標(biāo)準(zhǔn)方程

例2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（T,2）的拋物線方程為.

【答案】/=-4x

【解析】依題意，設(shè)拋物線方程為y2=〃氏機(jī)R0,于是得22=機(jī)-（-1）,解得機(jī)=-4,

所以所求拋物線方程是丁=-4x.

故答案為：/=-4x.

例3.（2022.湖南.高三開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)尸在x軸上，直線y=-2與拋物線交于點(diǎn)A,且以尸|=|.

寫出拋物線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】尸=2）或丁=8犬或產(chǎn)=—2》或丁=一8》（寫出一個(gè)即可）

【解析】設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程為V=2px（px0）,A（八-2）,

由拋物線定義得g=|AFbw+

又V（一2）2=2pm,:,p=±1或〃=±4,

故所求拋物線方程為V=±2x或/=±8x.

故答案為：9=2工或丁=8%或丁=一2元或丁=一8工.（寫出?個(gè)即可）

例4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）點(diǎn)"（5,3）到拋物線），=狽2的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

（）

C.x2=---yD.f=12y或Y二-36），

36

【答案】D

【解析】將＞=雙2轉(zhuǎn)化為

a

當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，準(zhǔn)線方程y=-點(diǎn)M（5,3）到準(zhǔn)線的距離為3+工=6,解得。=乙，所以

4a4a12

拋物線方程為y=即f=i2y；

當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，準(zhǔn)線方程y=點(diǎn)”（5,3）到準(zhǔn)線的距離為3+；=6,解得“=或

4a4。36

a=^~（舍去），所以拋物線方程為y=-之-,即f=_36y.

1236

所以拋物線的方程為f=12y或x2=-36y

故選：D

例5.（2022?河南?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模（文））已知點(diǎn)尸是拋物線。：》2=2/（2＞0）的焦點(diǎn)，P（x°,l）是

C上的一點(diǎn)，|閉=4,則%（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】由拋物線的定義可知，|PF|=l+5=4,所以p=6.

故選：C.

例6.（2022?北京?高三開(kāi)學(xué)考試）拋物線W：V=4x的焦點(diǎn)為F.對(duì)于卬上一點(diǎn)p,若P到直線x=5的距離

是P到點(diǎn)尸距離的2倍，則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由題意得：F（l,0）,準(zhǔn)線方程為x=-l,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為。，a>0,

由拋物線的定義可知：|PF|=|a-（T）|=|a+l|

則卜-5|=2|a+l|,解得：”=1或-7（舍去），

從而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為I

故選：A

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）以x軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程

是（）

A.y2=8xB.y2=-8xC.丁=8x或/=-8xD./=8y或/=-8y

【答案】C

【解析】依題意設(shè)拋物線方程為/=±2PMp>0）.

因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,

所以2=4,所以2P=8,

所以拋物線方程為V=8x或V=-8x.

故選：C.

例8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線交拋物線于A,

8兩點(diǎn),A3的長(zhǎng)為8,求拋物線的方程.

【解析】由于拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，

設(shè)所求拋物線的方程為9=2奴（“工0）.

因?yàn)閨崗=國(guó)=8,

所以2a=±8.

故所求拋物線的方程為J2=±8X.

題型二：拋物線的軌跡方程

例9.（2022?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在平面上，到點(diǎn)4（1,0）的距離等于到直線x+2y=3的距離

的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.直線B.圓C.橢圓D.拋物線

【答案】D

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)AQ0）不在直線x+2y=3上，

則到點(diǎn)A（L0）的距離等于到直線x+2），=3的距離的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以AQ0）為焦點(diǎn)，

直線x+2y=3為準(zhǔn)線的拋物線；

故選：D

【方法技巧與總結(jié)】

常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)

標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷.焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）

圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等.當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特

征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷.注意：在求解軌跡方程的題中，要注意工和、的取值范圍.

例10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M（2,2）,直線/:x—y-l=0,若動(dòng)點(diǎn)尸到/的距離等于,則

點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.直線

【答案】C

【解析】由拋物線的定義（平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線）可知，點(diǎn)尸的軌跡

是拋物線.

故選：C

例11.（2022.全國(guó).高三專題練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)M（X,y）滿足5J（x-1）2+（y-2『=|3x-4y+12],則點(diǎn)M的軌跡是

（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【解析】由題意，動(dòng)點(diǎn)”（x,y）滿足5j（x-l）2+（y-2）?=|3x-4y+12|，

即7（x-l）2+（y-2）2=.一？+“|,

即動(dòng)點(diǎn)M（x,y）到定點(diǎn)（1,2）的距離等于動(dòng)點(diǎn)“（X,四到定直線3x-4），+12=0的距離，

又由點(diǎn)（1,2）不在直線3x-4y+12=0上，

根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以（L2）為焦點(diǎn)，以兔-4），+12=0的拋物線.

故選：D.

例12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，動(dòng)點(diǎn)P（x?）到直線x=l的距離比它到定點(diǎn)

（-2,0）的距離小1,則P的軌跡方程為（）

A.y2=2xB.y2=4x

C.y2=-4xD.y2=-8x

【答案】D

【解析】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)到直線x=2的距離與定點(diǎn)(-2,0)的距離相等，

由拋物線的定義知，P的軌跡是以(-2,0)為焦點(diǎn)，x=2為準(zhǔn)線的拋物線，

所以P=4,軌跡方程為V=-8x,

故選：D

例13.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))已知點(diǎn)A(-LO)、8(1,0),若過(guò)A、B兩點(diǎn)的動(dòng)拋物線的準(zhǔn)線始終與

圓產(chǎn)+尸=8相切，該拋物線焦點(diǎn)的軌跡是某圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線是()

A.橢圓B.圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】A

【解析】由題設(shè)知，拋物線焦點(diǎn)廠到定點(diǎn)4和8的距離之和等于A和8分別到準(zhǔn)線的距離和，等于

AB的中點(diǎn)。到準(zhǔn)線的距離的二倍，由拋物線準(zhǔn)線與圓相切知和為2r=40，

所以|FA|+|FB|=472>|AB|=2,

所以拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程C是以A和8為焦點(diǎn)的橢圓.

故選：A

例14.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知?jiǎng)訄AM與直線)=2相切，且與定圓C：x2+(y+3)2=1外切，則動(dòng)圓

圓心例的軌跡方程為()

A.x2=-12yB.x2=\2yC.y1=\2xD.y2=-\2x

【答案】A

【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y)，半徑為r,由題意可得M到C(0,-3)的距離與到直線)，=3的距離相等，

由拋物線的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0,-3)為焦點(diǎn)，以>=3為準(zhǔn)線的一條拋物線，

所以5=3,20=12,其方程為爐=-12〉.，

故選：A

例15.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))斜線段A3與平面a所成的角為15。，平面a內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足NPA5=15°,

則點(diǎn)P的軌跡是()

A.圓B.橢圓

C.拋物線D.雙曲線的一支

【答案】C

【解析】當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間中，滿足條件的AP繞AB旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐，用一個(gè)與圓錐高成15?角的平

面截圓錐，所得圖形為拋物線.

a

故選c.

例16.（多選題）（2022?江蘇南京?高三階段練習(xí)）已知直線/:x+l=O,點(diǎn)P（l,o）,圓心為M的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P,且與直線/相切，貝IJ（）

A.點(diǎn)M的軌跡為拋物線

B.圓M面積最小值為4萬(wàn)

C.當(dāng)圓”被y軸截得的弦長(zhǎng)為2不時(shí)，圓M的半徑為3

D.存在點(diǎn)使得”9=2叵，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)

MP3

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,由題意知：點(diǎn)M到點(diǎn)P與到定直線/的距離相等，且點(diǎn)尸不在直線,上，符合拋物線定義，

點(diǎn)M的軌跡為拋物線，A正確；

對(duì)于B,由A知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，則當(dāng)M為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M到直線/距離最小，即此時(shí)圓”的

半徑最小，即心,=1,?..圓M面積的最小值為乃，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由A得:點(diǎn)M的軌跡方程為丁=4x,設(shè)M（x,y）,則圓M的半徑r=x+l,點(diǎn)M到J軸的距離d=x,

:.2"-虐=2幾+1）?-/=2石,解得：x=2,

???圓A7的半徑r=x+l=3,C正確；

對(duì)于D,假設(shè)存在點(diǎn)使得”9=冬叵，

MP3

y4

22

rv、記+卜4

設(shè)M7,y，貝1“訴J=廠—y----=§,整理可得：V—16y2+64=0,

解得：丁=8,...y=±2點(diǎn)，.?."（2,2夜）或（2,-2應(yīng)），D正確.

故選：ACD.

例17.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）與點(diǎn)尸（0,-3）和直線y-3=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是.

【答案】x2=-12y

【解析】由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)尸(o,-3)和直線y-3=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，且

*0,-3)為焦點(diǎn)，直線y=3為準(zhǔn)線，

設(shè)拋物線的方程為V=-2py(p>0),

可知=3,解得p=6,

所以該拋物線方程是》=-12y,

故答案為：x2=-l2y

例18.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)滿足J(x-2『+y2=卜+21則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方

程為.

【答案】丁=取

【解析】設(shè)尸(2,0)，直線/:x=-2,則動(dòng)點(diǎn)■到點(diǎn)F的距離為&-2丫+4,動(dòng)點(diǎn)M到直線/y=-2,的距離

為|x+2|,又因?yàn)槿?2)，/=卜+2|,

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以尸(2,0)為焦點(diǎn)，x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為V=8x.

故答案為：/=8x

例19.(2022?湖北?荊州中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)尸(1,0)與定直線x=0的距離的差為1.則

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.

【答案】y2=4x(x>0),y=0(x<0)(注：/=2|x|+2x也算對(duì))

【解析】由題意，若X20時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于IMFRx+ll,

則yj(x-l)2+y2=(X+1)2，化簡(jiǎn)得>2=4x(x>0),

若xvO,y=。也滿足題意.

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為丁=4x(xN0),y=0(x<0).

或者根據(jù)題意有1吹1-1幻=1，則"(x-iy+y2Txi=1，化簡(jiǎn)整理得：y2=2|x|+2x.

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2=2\x\+2x.

故答案為：/=4x(x>0),y=0(x<0)(注：V=2|x|+2x也算對(duì))

例20.(多選題)(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知定圓A的半徑為1,圓心A到定直線/的距離為“，動(dòng)圓C

與圓A和直線/都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離分

別為Pi，Pz，則()

A.d>1B.Pi+p=2dC.PtP-,=d2D.—+——>—

P\P2d

【答案】ABD

【解析】動(dòng)圓C與圓A和直線/都相切，

當(dāng)圓C與圓4相外切時(shí)，取到4的距離為d+1,且平行于/的直線4，

則圓心C到A的距離等于圓心C到4的距離，

由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以4為準(zhǔn)線的拋物線；

當(dāng)圓C與圓A相內(nèi)切時(shí)，取到4的距離為41,且平行于/的直線4，

則圓心C到A的距離等于圓心C到4的距離，

由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以4為準(zhǔn)線的拋物線；

所以A=d+1,2=d-l,當(dāng)4<1時(shí)，拋物線不完整，

,111I2d2d2

所以d>i,p、+Pz=2d,p、p=d--i,-+-=7TT+7TT=^T7>F=71

故選：ABD

例21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)Af（x,y）到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)（2,0）的距離小2,求動(dòng)點(diǎn)〃（x,y）

的軌跡方程.

【解析】???動(dòng)點(diǎn)例到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)（2,0）的距離小2,

二動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)（2,0）的距離與它到定直線x=-2的距離相等.

二動(dòng)點(diǎn)M到軌跡是以（2,0）為焦點(diǎn)，x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，旦0=4.

拋物線的方程為V=8x,

乂軸上點(diǎn)（0,0）左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到（2,0）點(diǎn)的距離小2,

.?.M點(diǎn)的軌跡方程為y=O（x<O）②.

綜上，得動(dòng)點(diǎn)”的軌跡方程為丫=0（尢<0）或〉2=8尤.

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題

例22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知P（，",〃）為拋物線C：/=16x上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)C的焦點(diǎn)F作P：

（x-m）2+（），-4=1的切線，切點(diǎn)為A,則線段雨長(zhǎng)度的最小值為（）

A.3B.V15C."D.3@

【答案】B

【解析】由已知1（4,0）,

由切線長(zhǎng)公式得|FA\=而*1,|閉?向=|叫=4,

所以|向1nM="2一1=布?

故選：B.

【方法技巧與總結(jié)】

拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長(zhǎng)度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

從而把兩條線段長(zhǎng)度之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題或點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，即在解題中掌握“拋物線

的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點(diǎn)到定直線(并非準(zhǔn)線)距離的最值問(wèn)題用參數(shù)法或切線法求解。

例23.(2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)(文))拋物線y?=4x上任意一點(diǎn)尸到點(diǎn)用(5,0)的距離最小值為

【答案】4

［解析］設(shè)P(m,n)，則卜J(m-5)2+),

因?yàn)?=4m,

2

所以|PM|=J(M-5)2+〃2=yjm-10/7?+25+4m

=J(m-3y+16*4,當(dāng)機(jī)=3時(shí)取得最小值4,

故答案為：4

例24.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知"為拋物線V=4x上的動(dòng)點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，P(3,l),則+|MF|

的最小值為.

【答案】4

設(shè)點(diǎn)何在準(zhǔn)線上的射影為。，

由拋物線的定義知|M尸|=

要求何外+|"日的最小值，即求|岫+|岫的最小值，

當(dāng)。，M,尸三點(diǎn)共線時(shí)，|網(wǎng)最小,

最小值為3-(-1)=4.

故答案為：4

例25.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))若拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)(5#到焦點(diǎn)的距離為6,P、。分別為

拋物線與圓(x-6)z+/=1上的動(dòng)點(diǎn)，則\PQ\的最小值為.

【答案】2石-1【解析】由題設(shè)及拋物線定義知：5+^=6,可得p=2,故C：V=4x,

而(x-6)?+y2=i的圓心為46,0),半徑為1,

所以|PQ|最小,則共線且|園=1針1-1,故只需|AP|最小,

令P(x,y),則|4p="(x—6)2+y2=4%_4了+20，且x20,

當(dāng)x=4時(shí)，|心|“,『2石，故|尸@的最小值為2石-1.

故答案為：2加-I

例26.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知P為拋物線丁=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為圓片+(y-4)?=1上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是.

【答案】V17-1【解析】由題可知，拋物線/=4x的準(zhǔn)線方程為x=-l,焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1,0),

圓X2+(>-4)2=1的圓心坐標(biāo)為￡(0,4),半徑為R=1,

設(shè)點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為PP，則=故"+PQ=PF+PQ,

所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q，P位于線段E尸上時(shí)，點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離與點(diǎn)尸到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小，

此時(shí)PP'+PQ=EF-R=Ji7-l.

例27.(2022?寧夏?吳忠中學(xué)三模(文))已知拋物線C:y2=2px(p>O)上一點(diǎn)P(Xo，%)到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)

2(0,4)的距離之和的最小值為2,則實(shí)數(shù)p的值為,

【答案】6

【解析】因?yàn)閽佄锞€I:的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于到準(zhǔn)線的距離減去日，而由拋物線的定義知P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

等于到焦點(diǎn)的距離，所以只需尸點(diǎn)到。與到焦點(diǎn)下的距離之和最小，如圖所示:

當(dāng)P,Q,尸共線時(shí),P5,%）到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)。（0,4）的距離之和最小,

因?yàn)辄c(diǎn)尸（不，%）到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)QQ4）的距離之和的最小值為2,

所以|0可=2+勺即舊＞+4?=2+g解得p=6.

故答案為：6

例28.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知尸為拋物線丁=2》的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)以-1,0）.

則部最大值為一'

【答案】國(guó)

2

【解析】由題意知：尸6，0）；

因?yàn)镮A8|=J（x（）+1）2+y：=Jx；+4%+1,IAF|=X。+g,

所以21ABi=2"x：+4xo+l=業(yè)+4&+1

21AM+12%+2XQ+1

（2|AB|y二片+4%+［二］?2—二］?1

所以（2|AF|+Ux；+2x°+lx：+2x°+l&+_L+i，

22x0

（21ABi—

所以12|力用+1J-1,2,當(dāng)且僅當(dāng)與=1時(shí)等號(hào)成立，

2/-------1-1

N22x0

所以舅票的最大值為包，

2|AF|+12

故答案為：忌.

2

例29.（2022?遼寧朝陽(yáng)?高三階段練習(xí)）已知F為拋物線y2=i6x的焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（-2,0）,

則愕萼的最小值為_(kāi)_____.

\PF\-3

【答案】22

【解析】設(shè)尸（玉），%），則*0,因?yàn)?4,0）,A（-2,0）,

X2

所以|PA|=7（O+2）+JO=也；+20%+4,\PF\=x0+4,

“』尸4「+19x：+20x+23.,

貝——=」-----——n,令f=/+則飛="1,

陽(yáng)-3修+1

..,IPA|2+19（r-l）2+20（r-l）+234口

所以《二——=~-----~1——=r+-+18>2.r--+18=22,

|PF|-3ttVt

當(dāng)，=3時(shí)，因?yàn)閒21,所以當(dāng)f=2時(shí)，I'+l2取得最小值,此時(shí)最小值為22,

t|PF卜3

故答案為：22

例30.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知拋物線y?=16x的焦點(diǎn)為凡尸點(diǎn)在拋物線上，。點(diǎn)在圓

C:（x-6）2+（y-2）2=4±,則|PQ|+|PF|的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)尸向準(zhǔn)線作垂線，垂足為A,則仍尸|=|“|,

當(dāng)CP垂直于拋物線的準(zhǔn)線時(shí)，|CP|+|PA|最小，

此時(shí)線段CP與圓C的交點(diǎn)為。，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為了=-1,C（6,2）,

半徑為2,所以|PQ|+|尸尸|的最小值為|AQ|=必|-2=10-2=8.

故選：C

例31.（2022?廣西桂林?高三開(kāi)學(xué)考試（理））己知，點(diǎn)尸是拋物線C：V=4x上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸向），軸作垂

線，垂足記為點(diǎn)M點(diǎn)A/（3,4）,則|PM|+|PN|的最小值是（）

A.2>/5—1B.y/s-1C.5/5+1D.2>/5+1

【答案】A

【解析】由拋物線C：V=4x知，焦點(diǎn)尸（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-l

過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，如圖，

由拋物線定義知1PM+1尸Mt+WM■產(chǎn)用+1尸河?T，

當(dāng)F,P、M三點(diǎn)共線時(shí),1?“I+1尸N|最小為|破|_[="（3-1尸+（4-0）2-1=2石-1,

故選：A

例32.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A（4,-2）,尸為拋物線/=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)用在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)

|MA|+|MF]取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

A.（0,0）B.（L-2甸C.（2,-2）D.

【答案】D

【解析】如圖所示，過(guò)“點(diǎn)作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為E,由拋物線定義，知耳

當(dāng)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，|"E|+|M4］的值在變化，顯然M移動(dòng)到AT時(shí)，三點(diǎn)共線，|ME|+|M4|最小,

此時(shí)AAT//3,把y=-2代入/=8x,得x=；,

所以當(dāng)|MA|+|MF］取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5-2）.

故選：D.

例33.（2022?上海市向明中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)拋物線C：x2=8y的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,尸（與,幾）為C上

一動(dòng)點(diǎn)，42,1）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)4=4時(shí)，|尸尸|的值為6

B.當(dāng)毛=2時(shí)，拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為x-2y-2=0

C.I尸A|+|PF|的最小值為3

D.IPAITPFI的最大值為新

【答案】B

【解析】當(dāng)％=4時(shí)，％=2,故歸月=%+4=2+4=6,故A正確；

當(dāng)/=2時(shí)，％=:，由犬=8y,y=?可得y'=3，所以>'|*=2=:，

所以拋物線C在點(diǎn)尸處的切線方程為y-g=g（x-2）,整理得：x-2y-l=0,故B錯(cuò)誤；

如圖，過(guò)點(diǎn)尸作依上準(zhǔn)線于點(diǎn)8,則由拋物線定義可知：歸尸|=|尸耳,

則|網(wǎng)+|PF|=|網(wǎng)+|冏,當(dāng)4、P、B三點(diǎn)共線時(shí),和最小，最小值為1+2=3,故C正確;

由題意得：尸（0,2）,連接AF并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)P,

此點(diǎn)即為IPAI-1PFI取最大值的點(diǎn)，此時(shí)|PA|-|PF|=|/1F|=百斤=石，

其他位置的點(diǎn)P，由一角形兩邊之差小于第三邊得：|尸4|-|「‘尸|<|人同=有，

故|PA|-|PF|的最大值為逐，故D正確.

故選：B.

例34.（2022?云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知點(diǎn)P為拋物線丁=Mx上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到4：x=l

的距離為4,到直線x+y-4=0的距離為由，則4+4的最小值是（）

A.-B.—C.2D.V2

22

【答案】B

【解析】直線，2：x=l為拋物線y2=-4x的準(zhǔn)線，點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)尸到焦點(diǎn)廠的距離，過(guò)焦點(diǎn)尸作直

線x+y-4=0的垂線，

如下圖所示，此時(shí)4+出最小，為點(diǎn)尸到直線x+y-4=0的距離.

“TO）,則4+4=目黑=乎.

V2L

故選：B.

例35.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知過(guò)拋物線C:>2=敘的焦點(diǎn)F且傾斜角為60的直線交C于A,B兩點(diǎn)

（A在8的右邊），戶為C上一點(diǎn)，5A8=808,則|尸尸|+|尸。的最小值為（）

A.3B.—C.—D.5

33

【答案】A

【解析】由題意，拋物線C:/=4x,可得焦點(diǎn)尸（1,0）,

乂因?yàn)橹本€的傾斜角為60,可得斜率％=tan60=6,

故直線AB的方程為y=石（工-1）,

聯(lián)立方程組卜（xT）,整理得3萬(wàn)2一10》+3=0，

y~=4x

設(shè)與,力），解得玉=

4（y）,8（%3,x2

因?yàn)?AB=8。2,所以5（芍-&）=8（尤2-》°）

可得x°=2,

過(guò)點(diǎn)尸作PH垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)a,根據(jù)拋物線的定義，得|"|+|同=忸"|+|圖，

當(dāng)Q,P,H三點(diǎn)共線且與X軸平行時(shí)，歸耳+|P。有最小值，最小值|QH|=2+1=3,

所以歸刊+|PQ|的最小值為3.

故選:A.

例36.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知定點(diǎn)”(3,-3),點(diǎn)p為拋物線C:/=4y上一動(dòng)點(diǎn),P到x軸的距離

為d,則d+|PM|的最小值為()

A.4B.5C.V13-1D.屈

【答案】A

【解析】設(shè)焦點(diǎn)為尸(0，1)，戶到準(zhǔn)線的距離為"'，則"="'-1,

所以"+歸”|=|戶必+/-1=|尸加|+|尸產(chǎn)|_1當(dāng)加"_]=,32+(-3-1)2-1=5-1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

故選：A.

例37.(多選題)(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知A(a,0),M(3,-2),點(diǎn)P在拋物線V=4x上，則()

A.當(dāng)。=1時(shí)，|PA|最小值為1

B.當(dāng)。=3時(shí)，|R4|的最小值為3

C.當(dāng)a=l時(shí)，|川+|尸河|的最小值為4

D.當(dāng)°=3時(shí)，|P41TpM|的最大值為2

【答案】ACD

【解析】當(dāng)。=1時(shí)，A(L0)為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)P5,%),天20,

則照=&+121,故附|的最小值為1,A正確;

設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為/：x=-l,過(guò)點(diǎn)P作PNU于點(diǎn)、N,

此時(shí)|網(wǎng)+|PM=|PN|+|PM|,

故當(dāng)N,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM取得最小值，

此時(shí)(|R4|+|PM)m,“=3+1=4,c正確；

當(dāng)a=3時(shí)，A（3,0）,

連接AM,并延長(zhǎng)AM交拋物線于點(diǎn)P，

此時(shí)I例-|尸根=|巴4|-儼網(wǎng)=|油|為|斜-歸時(shí)的最大值，

當(dāng)尸在其他位置時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，可知均小于|AM|,

因?yàn)?4Ml=招可+⑴-。），=2,故D正確；

22

此時(shí)I%|=展。-3『+y=y|（xn-3）+4x（）=yj（xo-l）+8

當(dāng)/=1時(shí)，|PA|mjn=2A/2,B錯(cuò)誤.

故選：ACD

例38.（多選題）（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知尸是拋物線V=4x的焦點(diǎn)，P是拋物線丁=4x上一動(dòng)點(diǎn),

。是C:（x-4『+（y_l）2=l上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.|P目的最小值為1B.|。目的最小值為標(biāo)

C.|P月+儼。的最小值為4D.|PE|+|P。的最小值為9+1

【答案】AC

【解析】拋物線焦點(diǎn)為尸（1,0）,準(zhǔn)線為x=-l，作出圖象，

時(shí)選項(xiàng)A：由拋物線的性質(zhì)可知：歸目的最小值為|OF|=1,選項(xiàng)A正確；

對(duì)選項(xiàng)B：注意到戶是定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可知：|。尸|的最小值為|C尸卜/=亞-1,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)CD：過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為“，由拋物線定義可知|PF|=|PM|,故

|尸耳+|尸。=|尸網(wǎng)+歸。，|PM|+|P0的最小值為點(diǎn)°到準(zhǔn)線x=-l的距離，故最小值為4,從而選項(xiàng)C正

確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

例39.（多選題）（2022.江蘇?南京市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線C:丁=4x,圓尸:（x-lp+丁

4

為圓心），點(diǎn)尸在拋物線C上，點(diǎn)Q在圓廠上，點(diǎn)4-1,0）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.IPQ的最小值是科

IPFI0

B.片T的最小值是衛(wèi)

1期12

C.當(dāng)NP42最大時(shí)，|AQ|=W

D.當(dāng)NPAQ最小時(shí)，|4。|=半

【答案】ABC

【解析】A.|「。|的最小值是IPFI的最小值減去圓的半徑，乂1尸尸1的最小值是1,所以IPQI的最小值是1-^-

=g,故正確；

B.設(shè)尸（4產(chǎn),町,則忸尸『=（4*_1）2+（旬2=161+8產(chǎn)+1,

|PA|2=(4r+1>+(4r)2=16?+24r+1,

16z4+8r+1,16r2,16161

--I------------------I-------------I------------]---,------

所以⑹4+24入1&+24八1⑹2+24+，-2后1242,

當(dāng)且僅當(dāng)16產(chǎn)=1，即/=±1時(shí)，等號(hào)成立，所以黑的最小值是玄，故正確；

r2\PA\2

C.如圖所示：

當(dāng)NPAQ最大時(shí)，直線AQ與圓相切，則|閭=/2十平,故正確；

5一

D.當(dāng)NPAQ最小時(shí)為0,即P,4,。共線，則|AQ歸,故錯(cuò)誤；

故選：ABC

例40.(2022.江蘇?南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí))P是拋物線y?=8x上的動(dòng)點(diǎn)，尸到V軸的距離

為4,到圓C：(x+3)?+(y-3)2=4上動(dòng)點(diǎn)。的距離為出，則4+4的最小值為.

【答案】V34-4

【解析】圓。:(》+3)2+()，-3)2=4的圓心為。(—3,3),半徑r=2,

拋物線V=8x的焦點(diǎn)F(2,0),

因?yàn)镻是拋物線V=8x上的動(dòng)點(diǎn)，尸到V軸的距離為4,到圓C:(x+3>+(y-3)2=4上動(dòng)點(diǎn)。的距離為&，

所以要使4+4最小，即產(chǎn)到拋物線的焦點(diǎn)與到圓C的圓心的距離最小，

連接FC,則4+4的最小值為|FC|減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，

即J(-3-2)2+(3-0)2-2-2=734-4,

所以4+4的最小值為取-4,

故答案為：734-4

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問(wèn)題

例41.（2022?貴州貴陽(yáng)?高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知拋物線C:/=2x的焦點(diǎn)為F,4〃?,〃）是拋物線C上的一點(diǎn)，

若|AF|=3，則（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（）

A.gB.1C.2D.4

【答案】A

【解析】由題可得因?yàn)閨AF|=q=m+g,

所以機(jī)=2,n2=4?

所以.OAF（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是gx；x2=；.

故選：A.

【方法技巧與總結(jié)】

解決此類問(wèn)題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角

三角形或直角梯形，從而計(jì)算其面積或面積之比。

例42.（2022?河南?高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知傾斜角為60。的直線/過(guò)拋物線。丫2=2〃*（〃>0）的焦點(diǎn)尸，

且與C交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若|/0=3,則怛同=.

【答案】1

【解析】如圖，分別過(guò)點(diǎn)A8作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,N,

過(guò)點(diǎn)8作4W的垂線，垂足為E,

設(shè)|BF|=x,易得NAB￡=30°,則|AE|=1（3+x）,

2

由拋物線的性質(zhì)可得|4WI=M用，|B/V|=|BF|=|ME|,

所以，x+；（3+x）=3,解得x=l,故IB/1=1.

故答案為：1

例43.（2022?全國(guó)?高三專