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廈門市海滄中學(xué)2.3
等差數(shù)列的
前n項(xiàng)和一、復(fù)習(xí)引入1.等差數(shù)列的定義:2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d.an=am+(n-m)d
an=pn+q(p、q為常數(shù))3.幾種計(jì)算公差d的方法:4.等差中項(xiàng):成等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.若m+n=2p,則am+an=2ap.6.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和:
把a(bǔ)1+a2+
a3+
…+
an叫做數(shù)列{an
}的前n項(xiàng)和,記作Sn高斯(Gauss,1777—1855),德國(guó)著名數(shù)學(xué)家,他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.有一次,老師與高斯去買鉛筆,在商店發(fā)現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架,V形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放100支.老師問(wèn):高斯,你知道這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎?創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是:計(jì)算1+
2+
3+…+
99+100德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯被譽(yù)為“世界數(shù)學(xué)王子”5050s100=
1+2+3+…+100
s100=
100+99+98+…+1一、情境導(dǎo)入思考:?jiǎn)?+2+3+4+…+100=?2s100=(1+
100)+(2+
99)+…+(100+
1)=100(1+100)=10100s100=10100/2=5050思考:?jiǎn)?+2+3+4+…+n=?n+(n-1)+(n-2)+…+2+1倒序相加法那么,對(duì)一般的等差數(shù)列,如何求它的前n項(xiàng)和呢?前n項(xiàng)和分析:這其實(shí)是求一個(gè)具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.①②Sn=a1+a2+a3…+an-1+an=?問(wèn)題分析已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,項(xiàng)數(shù)是n,第n項(xiàng)為an,求前n項(xiàng)和Sn.如何才能將等式的右邊化簡(jiǎn)?①②若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq倒序相加法幾何法理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式na1an二、學(xué)導(dǎo)結(jié)合a1+公式2:Sn=na1+dn(n-1)2
已知,可求Sn.已知a1,d,n,能否求Sn.a1,an和n幾何法理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2的推導(dǎo)二、學(xué)導(dǎo)結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式公式1公式2比較兩個(gè)公式的異同:知三求一公式應(yīng)用根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的等差數(shù)列{an}的Sn
:
(1)a1=5,an=95,n=10
(2)a1=100,d=-2,n=50練一練5002550例1、計(jì)算(1)5+6+7+…+79+80(2)1+3+5+…+(2n-1)(3)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n-n例題講解n23230提示:n=76法二:練習(xí):例題講解例2、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》,某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo):從2001年起用10年的時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測(cè)算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元。為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元。那么,從2001年起的未來(lái)10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?分析:①找關(guān)鍵句;②求什么,如何求;解:由題意,該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列{an},且a1=500,d=50,n=10.故,該市在未來(lái)10年內(nèi)的總投入為:答變式練習(xí)一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?,最上面一層鋪瓦?1塊,往下每一層多鋪1塊,斜面上鋪了19層,共鋪瓦片多少塊?解:由題意,該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an},且a1=21,d=1,n=19.于是,屋頂斜面共鋪瓦片:答:屋頂斜面共鋪瓦片570塊.例題講解例3、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎?解:由于S10=310,S20=1220,將它們代入公式可得所以例題講解例3、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎?另解:
兩式相減得課堂練習(xí)答案:27練習(xí)1、練習(xí)2、等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…的前______項(xiàng)的和為54?答案:n=9,或n=-3(舍去)仍是知三求一課堂小結(jié)1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式;2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法——倒序相加法;3.公式的應(yīng)用(知三求一);上頁(yè)下頁(yè)(兩個(gè))趣味數(shù)學(xué)在右圖中,每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2,邊長(zhǎng)是1
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