2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第三節(jié)圓的方程直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系課件

第三節(jié)圓的方程、直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系知識點95：圓的方程教材知識萃取1.圓的定義與方程知識點95：圓的方程

知識點95：圓的方程

知識點95：圓的方程方法技巧求圓的方程的兩種方法幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出方程.待定系數(shù)法知識點95：圓的方程方法技巧求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種方法1.直接法：當(dāng)題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時，可設(shè)出該點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程.2.定義法：當(dāng)題目條件符合圓的定義時，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程.3.幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.4.相關(guān)點代入法：當(dāng)題目條件中已知某動點的軌跡方程，而要求的點與該動點有關(guān)時，常找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求軌跡方程.教材素材變式多維變式，夯基礎(chǔ)教材素材變式

答案

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教材素材變式3.已知點P(1,-2)在圓C:x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部,則k的取值范圍是A.-2<k<1 B.1<k<2C.k<-2 D.-2<k<2答案

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教材素材變式5.設(shè)點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為

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答案

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教材素材變式6.過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為

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答案

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教材素材變式方法點撥求圓的方程的常見方法(1)幾何法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進而寫出圓的方程.(2)待定系數(shù)法:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑(r>0)有關(guān),則可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,求出a,b,r的值;②設(shè)出圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,求出D,E,F的值,再驗證D2+E2-4F是否大于0.(3)若求的是三角形的外接圓方程,則可以先求三角形兩邊的垂直平分線的方程,然后聯(lián)立得方程組,求出方程組的解,方程組的解對應(yīng)的是外接圓圓心的坐標(biāo),最后求半徑,即可得外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.教材素材變式7.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知第一象限內(nèi)的點A在直線l:y=2x上,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l的另一個交點為D.若AB⊥CD,則圓C的半徑等于

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答案

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教材素材變式8.已知在Rt△ABC中,A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角頂點C的軌跡方程;(2)在(1)的條件下,直角邊BC的中點M的軌跡方程.答案

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知識點96：直線與圓的位置關(guān)系教材知識萃取

位置關(guān)系相離相切相交圖形

知識點96：直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交公共點個數(shù)012判定方法代數(shù)法幾何法①______②______③______

續(xù)表知識點96：直線與圓的位置關(guān)系常用結(jié)論與圓的切線有關(guān)的結(jié)論

知識點96：直線與圓的位置關(guān)系方法技巧直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法幾何法代數(shù)法點與圓的位置關(guān)系法若直線過定點且該定點在圓內(nèi)，則可判斷直線與圓相交.注意

在直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法中,若直線和圓的方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá),則用幾何法;若直線或圓的方程中含有參數(shù),且圓心到直線的距離不易表達(dá),則用代數(shù)法.知識點96：直線與圓的位置關(guān)系方法技巧求解圓的弦長問題的方法幾何法代數(shù)法知識點96：直線與圓的位置關(guān)系

知識點96：直線與圓的位置關(guān)系

幾何法代數(shù)法注意

在求過一定點的圓的切線方程時，應(yīng)先判斷定點與圓的位置關(guān)系，若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外（此時一定要注意斜率不存在的情況），則切線有兩條；若點在圓內(nèi)，則切線不存在．知識點96：直線與圓的位置關(guān)系

教材素材變式多維變式，夯基礎(chǔ)教材素材變式

答案

教材素材變式【變式探究】[多選]已知直線y=kx-1與圓C:(x+3)2+(y-3)2=36相交于A,B兩點,則AB的長度可能為A.6 B.8 C.12 D.16答案

教材素材變式

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教材素材變式結(jié)論拓展有關(guān)圓的切線方程的常用結(jié)論:(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線的方程為x0x+y0y=r2;(4)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.教材素材變式【變式探究】[多選][2021新高考Ⅱ卷]已知直線l:ax+by-r2=0(r>0)與圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切 B.若點A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離 D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切答案

教材素材變式

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教材素材變式【變式探究】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(x-1)2+y2=4,若直線l:x+y+m=0上有且只有一個點P滿足:過點P作圓C的兩條切線PM,PN,切點分別為M,N,使得四邊形PMCN為正方形,則正實數(shù)m的值為

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答案

教材素材變式4.設(shè)點A(-2,3),B(0,a),若直線AB關(guān)于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點,則a的取值范圍是

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答案

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教材素材變式【變式探究】已知直線l:kx-y-k+3=0,若無論k取何值,直線l與圓(x-5)2+(y-6)2=r2(r>0)恒有公共點,則r的取值范圍是A.[3,5] B.(3,+∞)C.[4,6) D.[5,+∞)答案【變式探究】D

由kx-y-k+3=0,得k(x-1)+(-y+3)=0,即直線l過定點A(1,3),故當(dāng)點A在圓內(nèi)或圓上時,直線l與圓(x-5)2+(y-6)2=r2(r>0)恒有公共點,則(1-5)2+(3-6)2≤r2(r>0),得r≥5,故選D.教材素材變式

教材素材變式答案

知識點97：圓與圓的位置關(guān)系教材知識萃取

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形

公共點個數(shù)01210知識點97：圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含④__________⑤_________________公切線條數(shù)⑥___⑦_(dá)__⑧___10

432續(xù)表知識點97：圓與圓的位置關(guān)系

知識點97：圓與圓的位置關(guān)系方法技巧兩圓的公切線問題實質(zhì)為直線與圓的相切問題，利用兩圓圓心到公切線的距離分別等于兩圓的半徑列方程組，求解公切線方程.知識點97：圓與圓的位置關(guān)系規(guī)律總結(jié)圓系方程同心圓系方程知識點97：圓與圓的位置關(guān)系方法技巧兩圓的公切線問題實質(zhì)為直線與圓的相切問題，利用兩圓圓心到公切線的距離分別等于兩圓的半徑列方程組，求解公切線方程.教材素材變式多維變式，夯基礎(chǔ)教材素材變式1.已知圓O1的方程為x2+y2=1,圓O2的方程為(x+a)2+y2=4,若這兩個圓有且只有一個公共點,那么a的所有取值構(gòu)成的集合是A.{1,-1,3,-3} B.{5,-5,3,-3}

C.{1,-1} D.{3,-3}答案

教材素材變式2.

圓x2-4x+y2=0與圓x2+y2+4x+3=0的公切線共有A.1條 B.2條 C.3條 D.4條答案2.D

第1步:確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑由x2-4x+y2=0,得(x-2)2+y2=22,則圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為2;由x2+y2+4x+3=0,得(x+2)2+y2=12,則圓心坐標(biāo)為(-2,0),半徑為1.第2步:確定兩圓的圓心距,半徑之和故兩圓的圓心距為4,半徑之和為3,第3步:判斷因為4>3,所以兩圓的位置關(guān)系是外離,故兩圓的公切線共有4條.故選D.教材素材變式【變式探究】變式1

已知圓C:x2+y2-2x-4y+m=0與圓D:(x+2)2+(y+2)2=1有三條公切線,則m的值為

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答案

教材素材變式變式2

[2022新高考Ⅰ卷]寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程

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答案變式2

x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(注意只需從這三條公切線中挑一條作答即可)

通解

如圖,因為圓x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑r1=1,圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心為A(3,4),半徑r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以兩圓外切,公切線有三種情況:①易知公切線l1的方程為x=-1.教材素材變式

教材素材變式解題關(guān)鍵破解此題的關(guān)鍵:一是定位置,即能判斷兩圓的位置關(guān)系,一般先把兩圓的圓心距求出,再與兩圓的半徑和、差進行比較,即可判斷兩圓的位置關(guān)系;二是會用幾何法,即會利用圓心到直線的距離等于半徑,求切線方程;三是“草圖不草”,在作圓時,若用尺規(guī)作圖,就能很快找到解題的通路.教材素材變式3.

已知圓C1:x2+y2=a(a>0)關(guān)于直線l對稱的圓為圓C2:x2+y2+2x-2ay+3=0,則直線l的方程為A.2x-4y+5=0 B.2x+4y+5=0C.2x-4y-5=0 D.2x+4y-5=0答案

教材素材變式

教材素材變式答案4.ABC

故選ABC.選項正誤原因A√圓Ck的圓心Ck(k,k),在直線y=x上B√由(3-k)2+(0-k)2=4,化簡得2k2-6k+5=0,Δ=36-40=-4<0,無實數(shù)解C√D×教材素材變式

教材素材變式答案

知識點98：與圓有關(guān)的最值問題教材知識萃取方法技巧與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及求解策略1.利用幾何性質(zhì)求最值借助幾何性質(zhì)求與圓有關(guān)的最值問題時，常根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.（1）最小圓（圓的面積最?。﹩栴}，轉(zhuǎn)化為求半徑最小值問題；（2）圓上的點到圓外的點（直線）的距離的最值，應(yīng)先求圓心到圓外的點（直線）的距離，再加上半徑或減去半徑求得最值；知識點98：與圓有關(guān)的最值問題

知識點98：與圓有關(guān)的最值問題2.建立函數(shù)關(guān)系求最值根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求最值.

教材素材變式多維變式，夯基礎(chǔ)教材素材變式1.已知圓x2+y2-6x=0,過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為A.1 B.2 C.3 D.4答案

教材素材變式方法總結(jié)