高等數(shù)學下曲線曲面積分

高等數(shù)學下曲線曲面積分第一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分

第十章第二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”可得為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用第三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六設是空間中一條有限長的光滑曲線,義在上的一個有界函數(shù),都存在,上對弧長的曲線積分,記作若通過對的任意分割局部的任意取點,2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對第四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負.第五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六3.性質(zhì)（k為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長度)第六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六(5)對稱性與二重積分類似L關(guān)于y軸對稱輪換對稱性(6)可將重心，轉(zhuǎn)動慣量推廣到曲線弧上第七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分說明:(1)因此積分限必須滿足第八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六(2)注意到因此上述計算公式相當于“換元法”.第九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標形式:則推廣:

設空間曲線弧的參數(shù)方程為則第十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例1.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)第十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例2.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得第十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例3.計算曲線積分其中為螺旋的一段弧.解:

線第十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例4.

計算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知第十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧內(nèi)容小結(jié)第十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六思考與練習1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性第十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六2.

設均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動慣量(2)求它的質(zhì)心.解:

設其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)第十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六故重心坐標為第十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六第二節(jié)一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對坐標的曲線積分的計算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系對坐標的曲線積分

第十章第十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)1.引例:

變力沿曲線所作的功.設一質(zhì)點受如下變力作用在xoy

平面內(nèi)從點A沿光滑曲線弧L

移動到點B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.第二十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六2.定義.設

L

為xoy

平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作第二十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六3.性質(zhì)(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!第二十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有如果曲線L的方程為則有第二十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點的一段.第二十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則第二十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第二十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系第二十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例4.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周第二十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)第二十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六3.計算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧第三十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六4.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對空間有向光滑弧

:第三十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六第三節(jié)一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件格林公式及其應用

第十章第三十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)復連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理1.

設區(qū)域D

是由分段光滑曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導數(shù),一、格林公式

其中L是的取正向的邊界曲線第三十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六說明：（1）格林公式對光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立；（2）在一定條件下可以用二重積分計算曲線積分，也可以用曲線積分計算二重積分。（4）幾何應用：正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積（在格林公式中，取則有)（3）對于復連通區(qū)域D，公式右端應包括D的全部邊界的曲線積分，且邊界的方向?qū)來說都是正方向。第三十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積第三十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例1.設L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得？第三十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例2.

計算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點的三角形閉域.解:

令,則利用格林公式,有第三十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例3.計算其中L是曲線上從點(0,0)到點的一段。解：添加為圍成的封閉區(qū)間第三十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例4.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:

令設L所圍區(qū)域為D,由格林公式知第三十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應用格記L和

lˉ

所圍的區(qū)域為林公式,得第四十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2.

設D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān),只與起止點有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即第四十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;第四十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例5.

計算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域為D,

則第四十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例5.

驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:

設則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。第四十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六積分與路徑無關(guān)例6.計算其中為自點A(-1,0)沿至B(2,3)的弧段（如圖）解：由題知構(gòu)造一個單連通域G，積分在G內(nèi)與路徑則G無關(guān)，第四十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價條件在

D

內(nèi)與路徑無關(guān).在

D

內(nèi)有對D

內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設P,Q

在D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),則有第四十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分

第十章第四十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例:設曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì)

“大化小,常代變,近似和,求極限”

的方法,量M.其中,表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者).第四十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六定義:設為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對做任意分割和局部區(qū)域任意取點,則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對面積函數(shù),叫做積分曲面.第四十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六則對面積的曲面積分存在.?對積分域的可加性.則有?線性性質(zhì).在光滑曲面上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似.?積分的存在性.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面第五十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六定理:

設有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有二、對面積的曲面積分的計算法

則曲面積分第五十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六說明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達式,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分.第五十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例1.

計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:第五十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例2.

計算其中是由平面坐標面所圍成的四面體的表面.解:

設上的部分,則與

原式=分別表示在平面第五十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例3.

設計算解:

錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域為則第五十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六第五十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計算:設則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧.第五十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影二、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì)

三、對坐標的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系對坐標的曲面積分

第十章第五十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六一、有向曲面及曲面元素的投影?曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)第五十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定第六十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六設

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標的曲面積二.定義.第六十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;若記正側(cè)的單位法向量為令則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式第六十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六3.性質(zhì)(1)若之間無公共內(nèi)點,則(2)用ˉ表示的反向曲面,則第六十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六三、對坐標的曲面積分的計算法定理:

設光滑曲面取上側(cè),是上的連續(xù)函數(shù),則

?

若則有?若則有(前正后負)(右正左負)說明:如果積分曲面取下側(cè),則第六十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例1.

計算其中是以原點為中心,邊長為a

的正立方體的整個表面的外側(cè).解:

利用對稱性.原式的頂部取上側(cè)的底部取下側(cè)第六十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六解:

把分為上下兩部分根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:例2.計算曲面積分其中為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.第六十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六第六十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫第六十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六令向量形式(A在

n上的投影)第六十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例4.設是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:第七十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例5.

計算曲面積分其中解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).第七十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六原式=第七十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化內(nèi)容小結(jié)第七十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六當時，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.第七十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六第六節(jié)Green公式Gauss公式推廣一、高斯公式二、通量與散度高斯公式通量與散度

第十章第七十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六一、高斯(Gauss)公式定理1.設空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲上有連續(xù)的一階偏導數(shù),函數(shù)P,Q,R在面所圍成,的方向取外側(cè),則有(Gauss公式)第七十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例1.用Gauss公式計算其中為柱面閉域的整個邊界曲面的外側(cè).解:

這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標)及平面z=0,z=3所圍空間思考:

若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?第七十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例2.利用Gauss公式計算積分其中為錐面解:作輔助面取上側(cè)介于z=0及z=h之間部分的下側(cè).所圍區(qū)域為,則第七十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六利用重心公式,注意第七十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六例3.設為曲面取上側(cè),求解:

作取下側(cè)的輔助面用柱坐標用極坐標第八十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六定義:設有向量場其中P,Q,R

具有連續(xù)一階偏導數(shù),是場內(nèi)的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場A

通過有向曲面的通量(流量).在場中點M(x,y,z)處稱為向量場A

在點M

的散度.記作divergence三、通量與散度第八十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式及其應用公式:應用:(1)計算曲面積分(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:第八十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期六2.通量與散度設