代數(shù)學(xué)發(fā)展簡史及線性代數(shù)簡史

關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展簡史及線性代數(shù)簡史第1頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三代數(shù)學(xué)(algebra)是數(shù)學(xué)中最重要的分支之一。代數(shù)學(xué)的歷史悠久，它隨著人類生活的提高，生產(chǎn)技術(shù)的進步，科學(xué)和數(shù)學(xué)本身的需要而產(chǎn)生和發(fā)展。在這個過程中，代數(shù)學(xué)的研究對象和研究方法發(fā)生了重大的變化。代數(shù)學(xué)可分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。初等代數(shù)學(xué)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展，而抽象代數(shù)學(xué)則是在初等代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。第2頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三代數(shù)學(xué)的西文名稱algebra來源于9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的重要著作的名稱。該著作名為”ilmal-jabrwa’Imuqabalah”，原意是“還原與對消的科學(xué)”。這本書傳到歐洲后，簡譯為algebra。清初曾傳入中國兩卷無作者的代數(shù)書，被譯為《阿爾熱巴拉新法》后改譯為《代數(shù)學(xué)》(李善蘭譯，1853)。第3頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質(zhì)等。

代數(shù)與算術(shù)的區(qū)別是什么？第4頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三四大文明古國中，除古代希臘外，都曾對算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展做出非常杰出的貢獻。從中世紀(jì)的歐洲一直到19世紀(jì)上半期，代數(shù)學(xué)在歐洲得到了長足的發(fā)展。19世紀(jì)，代數(shù)學(xué)發(fā)生了革命性的變革。第5頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三一系列新的代數(shù)領(lǐng)域被建立起來，大大地擴充了代數(shù)學(xué)的研究范圍，形成了所謂的近世代數(shù)學(xué)。包括抽象代數(shù)和線性代數(shù)。抽象代數(shù)學(xué)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運算的規(guī)律和由這些運算適合的公理而定義的各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為其中心問題的。第6頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三由于代數(shù)結(jié)構(gòu)及其中元素的一般性，近世代數(shù)學(xué)的研究在數(shù)學(xué)中是最具有基本性的，它的方法和結(jié)果滲透到那些與它相接近的各個不同的數(shù)學(xué)分支中，成為一些有著新面貌和新內(nèi)容的數(shù)學(xué)領(lǐng)域――代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、拓?fù)浯鷶?shù)、李氏代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、泛函分析等，這樣，近世代數(shù)學(xué)就對于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展有著顯著的影響，并且對于其它一些科學(xué)領(lǐng)域如理論物理、計算機原理等也有較直接的應(yīng)用。第7頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

代數(shù)學(xué)發(fā)展簡史--------線性代數(shù)第8頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科。主要研究對象有行列式、線性方程組、矩陣、線性空間等。

主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》）。1、學(xué)科概述第9頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三《九章算術(shù)》的“方程術(shù)”

《九章算術(shù)》中的“方程章”，是世界上最早的系統(tǒng)研究代數(shù)方程的專門論著。它在世界數(shù)學(xué)歷史上，最早創(chuàng)立了多元一次方程組的籌式表示方法，以及它的多種求解方法。

《九章算術(shù)》把這些線性方程組的解法稱為“方程術(shù)”，其實質(zhì)相當(dāng)于現(xiàn)今的矩陣變形方法。方程術(shù)是通過對方程的系數(shù)矩陣實施遍乘、直除的變換（即連續(xù)相減）實現(xiàn)減元、獲取方程解的過程。

1、學(xué)科概述第10頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

在“方程章”問題的解法中還可以發(fā)現(xiàn)下述方程變形的性質(zhì)：

如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以（或除以）一個不等于零的數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。

劉徽：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！薄?/p>

其中“課”為比較的意思，而“程”則為表達的意思?？梢姡凑铡胺匠獭钡脑x可以把它理解為“方形表達式”，與現(xiàn)在的“增廣矩陣”類似。1、學(xué)科概述第11頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占據(jù)首要地位；在計算機廣泛應(yīng)用的今天，計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要進一步研究多個變量之間的關(guān)系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。1、學(xué)科概述第12頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

歷史上線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。最初的線性方程組問題大都是來源于生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展。另外，近現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線性代數(shù)的進一步發(fā)展。1、學(xué)科概述第13頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1693年

4月，萊布尼茨在寫給洛必達的一封信中使用并給出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件。同時代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題元法》中也提出了行列式的概念與算法。2、矩陣和行列式第14頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆

(G.Cramer,1704-1752)在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。稍后，數(shù)學(xué)家貝祖

(E.Bezout,1730-1783)將確定行列式每一項符號的方法進行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零解。2、矩陣和行列式第15頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三在行列式的發(fā)展史上，第一個對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國數(shù)學(xué)家范德蒙

(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父親的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)音樂，但對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學(xué)院院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。就對行列式本身這一點來說，他是這門理論的奠基人。

1772年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開行列式的方法。2、矩陣和行列式第16頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

繼范德蒙之后，法國數(shù)學(xué)家柯西在行列式理論方面做出了突出貢獻。

1815年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法；引進了行列式特征方程的術(shù)語；給出了相似行列式概念；改進了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明。2、矩陣和行列式第17頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

19世紀(jì)的半個多世紀(jì)中，詹姆士.西爾維斯特

(J.Sylvester,1814-1897)對行列式理論研究始終不渝。他的重要成就之一是改進了從一個m次和一個n次的多項式中消去

x的方法，他稱之為配析法，并給出形成的行列式為零時這兩個多項式方程有公共根充分必要條件這一結(jié)果，但沒有給出證明。2、矩陣和行列式第18頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

西爾維斯特（JamesJosephSylvester，公元1814年9月3日─公元1897年3月15日）是英國數(shù)學(xué)家。生于倫敦，卒于牛津。西爾維斯特的貢獻主要在代數(shù)學(xué)方面。他同凱萊一起，發(fā)展了行列式理論，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量的理論基礎(chǔ)，他在數(shù)論方面也做出了突出的工作，特別是在整數(shù)分拆和丟番圖分析方面。他創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞，當(dāng)代數(shù)學(xué)中常用到的術(shù)語，如不變式、判別式、雅可比行列式等都是他引入的。他一生發(fā)表了幾百篇論文，著有《橢圓函數(shù)專論》一書。西爾維斯特是《美國數(shù)學(xué)雜志》的創(chuàng)始人，為發(fā)展美國數(shù)學(xué)研究做出了貢獻。曾獲得英國皇家勛章、科普利獎?wù)拢约岸及亓?、愛丁堡、牛津、劍橋等大學(xué)授予的名譽學(xué)位。

2、矩陣和行列式第19頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國數(shù)學(xué)家雅可比

(J.Jacobi,1804-1851)，他引進了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。

雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在

19世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。整個

19世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關(guān)特殊行列式的其他定理都相繼得到。2、矩陣和行列式第20頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三矩陣是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個重要工具。“矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個術(shù)語。而實際上，矩陣這個課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。2、矩陣和行列式第21頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

英國數(shù)學(xué)家凱萊

(A.Cayley,1821-1895)一般被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個題目的一系列文章。

凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進矩陣以簡化記號。

1858年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。2、矩陣和行列式第22頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三英國數(shù)學(xué)家。英國純粹數(shù)學(xué)的近代學(xué)派帶頭人。凱萊最主要的貢獻是與J.J.西爾維斯特一起，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量理論的基礎(chǔ)。他是矩陣論的創(chuàng)立者。他對幾何學(xué)的統(tǒng)一研究也作了重要的貢獻。凱萊在勸說劍橋大學(xué)接受女學(xué)生中起了很大的作用。他曾任劍橋哲學(xué)會、倫敦數(shù)學(xué)會、皇家天文學(xué)會的會長。

2、矩陣和行列式凱萊（1821～1895）

Cayley，Arthur第23頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三1855年，埃米特

(C.Hermite,1822-1901)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來，克萊伯施

(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆

(A.Buchheim)等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯

(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。2、矩陣和行列式第24頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯

(G.Frobenius,1849-1917)的貢獻是不可磨滅的。

他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。

1854年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題。

1892年，梅茨勒

(H.Metzler)引進了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用方程發(fā)展的需要而開始的。2、矩陣和行列式第25頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨立的一門數(shù)學(xué)分支——矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個領(lǐng)域。2、矩陣和行列式第26頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三線性方程組的解法，早在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)

》方程章中已作了比較完整的論述。其中所述方法實質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，線性方程組的研究是在

17世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組組成的方程組。麥克勞林在

18世紀(jì)上半葉研究了具有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現(xiàn)在稱為克萊姆法則的結(jié)果。克萊姆不久也發(fā)表了這個法則。

18世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家貝祖對線性方程組理論進行了一系列研究，證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。3、線性方程組第27頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯

(H.Smith)和道奇森

(C-L.Dodgson)繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了個未知數(shù)個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結(jié)果之一。

大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進展?，F(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計算數(shù)學(xué)中占有重要地位。

3、線性方程組第28頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

二次型也稱為“二次形式”，數(shù)域