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2024年江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線:的焦點(diǎn)為,,且上點(diǎn)滿(mǎn)足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.52.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法,將所求解的問(wèn)題同一定的概率模型相聯(lián)系;用均勻投點(diǎn)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬和抽樣,以獲得問(wèn)題的近似解,故又稱(chēng)統(tǒng)計(jì)模擬法或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法.現(xiàn)向一邊長(zhǎng)為的正方形模型內(nèi)均勻投點(diǎn),落入陰影部分的概率為,則圓周率()A. B.C. D.3.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象,并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C.2 D.4.將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.5.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.6.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.若點(diǎn)x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界),則A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-39.定義運(yùn)算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.10.集合的真子集的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.11.如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知,,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),則取出球的編號(hào)互不相同的概率為_(kāi)______________.14.古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)15.有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機(jī)地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則對(duì)應(yīng)的排法有______種;______;16.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),己知A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿(mǎn)足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,且.(I)求角的大?。唬á颍┤?,求面積的取值范圍.18.(12分)已知,均為正數(shù),且.證明:(1);(2).19.(12分)武漢有“九省通衢”之稱(chēng),也稱(chēng)為“江城”,是國(guó)家歷史文化名城.其中著名的景點(diǎn)有黃鶴樓、戶(hù)部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等.(1)為了解“五·一”勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點(diǎn)游客年齡的分布情況,從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人,制成了如圖的頻率分布直方圖:現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)某槿〉?0人中隨機(jī)抽取4人,記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求;(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗(yàn),該旅游景點(diǎn)游船中心計(jì)劃在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量(單位:萬(wàn)人)都大于1.將每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量數(shù)據(jù)分成3個(gè)區(qū)間整理得表:勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量頻數(shù)(年)244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個(gè)區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率,且每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用,但每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日型游船最多使用量(單位:艘)要受當(dāng)日客流量(單位:萬(wàn)人)的影響,其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表:勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入且被使用,則游船中心當(dāng)日可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元;若某艘型游船勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入?yún)s不被使用,則游船中心當(dāng)日虧損0.5萬(wàn)元.記(單位:萬(wàn)元)表示該游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn),的數(shù)學(xué)期望越大游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)越大,問(wèn)該游船中心在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)最大?20.(12分)已知函數(shù)f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=f(x)1,若函數(shù)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.(12分)已知直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn).(I)求與的關(guān)系式;(II)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,求橢圓的離心率.22.(10分)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意的滿(mǎn)足關(guān)系式.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是,前n項(xiàng)和為,求證:對(duì)于任意的正數(shù)n,總有.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】
根據(jù)雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【題目詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運(yùn)算能力.2、A【解題分析】
計(jì)算出黑色部分的面積與總面積的比,即可得解.【題目詳解】由,∴.故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了面積型幾何概型的概率的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,可得時(shí),取得最大值,即,,,當(dāng)時(shí),解得,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題;據(jù)平移變換“左加右減,上加下減”的規(guī)律求解出,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時(shí),取得最大值,求解可得實(shí)數(shù)的值.4、B【解題分析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.5、B【解題分析】
先分別判斷命題真假,再由復(fù)合命題的真假性,即可得出結(jié)論.【題目詳解】為真命題;命題是假命題,比如當(dāng),或時(shí),則不成立.則,,均為假.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合命題的真假性,判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】
作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn),觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.【題目詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個(gè)函數(shù)圖象,同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn),它們?cè)谇€的兩側(cè),與其他三個(gè)曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項(xiàng),故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多,說(shuō)明擬合效果好.7、A【解題分析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,排除錯(cuò)誤選項(xiàng),從而得出正確選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)椋允桥己瘮?shù),排除C和D.當(dāng)時(shí),,,令,得,即在上遞減;令,得,即在上遞增.所以在處取得極小值,排除B.故選:A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,屬于中檔題.8、D【解題分析】
畫(huà)出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域,y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)【題目詳解】畫(huà)出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)和定點(diǎn)P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2,結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D.【題目點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問(wèn)題,即把y+1x-29、A【解題分析】
由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項(xiàng)中的圖象符合要求,故選A.10、C【解題分析】
根據(jù)含有個(gè)元素的集合,有個(gè)子集,有個(gè)真子集,計(jì)算可得;【題目詳解】解:集合含有個(gè)元素,則集合的真子集有(個(gè)),故選:C【題目點(diǎn)撥】考查列舉法的定義,集合元素的概念,以及真子集的概念,對(duì)于含有個(gè)元素的集合,有個(gè)子集,有個(gè)真子集,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】
把截面畫(huà)完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對(duì)稱(chēng)性可得的最小值.【題目詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào),∴所求最小值為.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間距離的最小值問(wèn)題,解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn),第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個(gè)難點(diǎn)是利用對(duì)稱(chēng)性及圓的性質(zhì)求得最小值.12、C【解題分析】
利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)可得,即可求得結(jié)果.【題目詳解】,所以,即.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡(jiǎn)三角函數(shù),難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】試題分析:從編號(hào)分別為1,1,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),有種不同的結(jié)果,由于是隨機(jī)取出的,所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的;設(shè)事件為“取出球的編號(hào)互不相同”,則事件包含了個(gè)基本事件,所以.考點(diǎn):1.計(jì)數(shù)原理;1.古典概型.14、1.【解題分析】試題分析:由題意,可看作五個(gè)位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設(shè)排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點(diǎn):排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.點(diǎn)評(píng):本題考查排列排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題,解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說(shuō)的背景,利用分步原理正確計(jì)數(shù),本題較抽象,計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳.15、36;1.【解題分析】
的可能取值為0,1,2,3,對(duì)應(yīng)的排法有:.分別求出,,,,由此能求出.【題目詳解】解:有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機(jī)地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則的可能取值為0,1,2,3,對(duì)應(yīng)的排法有:.∴對(duì)應(yīng)的排法有36種;,,,,∴故答案為:36;1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列、組合的應(yīng)用,離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.16、【解題分析】
根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點(diǎn)共線,再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果【題目詳解】因?yàn)?且α+β=1,所以A,B,C三點(diǎn)共線,因此點(diǎn)C的軌跡為直線AB:【題目點(diǎn)撥】本題考查向量共線定理以及直線點(diǎn)斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)【解題分析】
(I)根據(jù),利用二倍角公式得到,再由輔助角公式得到,然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.(Ⅱ)根據(jù)(I)由余弦定理得到,再利用重要不等式得到,然后由求解.【題目詳解】(I)因?yàn)?,所以,,,或,或,因?yàn)?,所以所以;(Ⅱ)由余弦定理得:,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),又因?yàn)?,所以,所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二倍角公式,輔助角公式以及余弦定理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解題分析】
(1)由進(jìn)行變換,得到,兩邊開(kāi)方并化簡(jiǎn),證得不等式成立.(2)將化為,然后利用基本不等式,證得不等式成立.【題目詳解】(1),兩邊加上得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴.(2).當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19、(1);(2)投入3艘型游船使其當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)最大【解題分析】
(1)首先計(jì)算出在,內(nèi)抽取的人數(shù),然后利用超幾何分布概率計(jì)算公式,計(jì)算出.(2)分別計(jì)算出投入艘游艇時(shí),總利潤(rùn)的期望值,由此確定當(dāng)日游艇投放量.【題目詳解】(1)年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為150,年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為100;若采用分層抽樣的方法抽取10人,則年齡在內(nèi)的人數(shù)為6人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為4人.可得.(2)①當(dāng)投入1艘型游船時(shí),因客流量總大于1,則(萬(wàn)元).②當(dāng)投入2艘型游船時(shí),若,則,此時(shí);若,則,此時(shí);此時(shí)的分布列如下表:2.56此時(shí)(萬(wàn)元).③當(dāng)投入3艘型游船時(shí),若,則,此時(shí);若,則,此時(shí);若,則,此時(shí);此時(shí)的分布列如下表:25.59此時(shí)(萬(wàn)元).由于,則該游船中心在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入3艘型游船使其當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)最大.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分層抽樣,考查超幾何分布概率計(jì)算公式,考查隨機(jī)變量分布列和期望的求法,考查分析與思考問(wèn)題的能力,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)(2)(3,2e]【解題分析】
(1)當(dāng)a=2時(shí),求出,求解,即可得出結(jié)論;(2)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于a=2x在上有兩解,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù),可分析求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí),定義域?yàn)?,則,令,解得x1,或x1(舍去),所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,(2)設(shè)
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