二重積分概念

關(guān)于二重積分概念第1頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三例第2頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三掌握1.每一種積分的實(shí)際意義4.每一種積分的計(jì)算方法（常規(guī)，技巧）3.每一種積分的性質(zhì)2.每一種積分的特定和式極限寫(xiě)法第3頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分第4頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三第六章重積分二重積分三重積分第5頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性二重積分的概念與性質(zhì)

第八章第6頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三解法:類似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,代替,作和,取極限”以直代曲第7頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)2)“代替”在每個(gè)3)“作和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體第8頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三4)“取極限”令第9頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密解決.1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.“分割,代替,作和,取極限”第10頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三2)“代替”中任取一點(diǎn)3)“作和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量第11頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:“分割,代替,作和,取極限”第12頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),第13頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三積分和思考1：與哪些因素有關(guān)#2013050201第14頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三二重積分與哪些因素有關(guān)#2013050202思考2：第15頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三注:（1）（2）第16頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃記作（3）第17頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三二重積分存在定理:若函數(shù)(證明略)定理1.在D上可積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則第18頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考1寫(xiě)出二重積分的值，其中#2013050206第19頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三解該立體是一個(gè)半徑為1的半球體，

由二重積分的幾何意義知，要求的二重積分是一個(gè)以曲面為頂、以為底的曲頂柱體的體積例1寫(xiě)出二重積分的值，其中

半球體的體積為第20頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))為D的面積,則線性性第21頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三特別,由于則4.若在D上5.設(shè)D的面積為,則有保序性絕對(duì)可積性估值定理第22頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三6.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)5可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此f(x,y)在D上平均值第23頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三7（對(duì)稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對(duì)稱性第24頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三7（對(duì)稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對(duì)稱性第25頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三7（對(duì)稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對(duì)稱性第26頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三7（對(duì)稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對(duì)稱性第27頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三7（對(duì)稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對(duì)稱性第28頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三解第29頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三其中比較下列積分的大小:#2013050203第30頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上第31頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三#