三種坐標系與場公開課一等獎市優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件

第一章三種坐標系與場1本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標系1.3

標量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環(huán)流與旋度1.6

無旋場與無散場1.7

拉普拉斯運算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理21.標量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

3矢量用坐標分量表示zxy4（1）矢量的加減法兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運算矢量的加法矢量的減法在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律5（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）q矢量與的夾角是在方向上的分量，有6——矢量的標積符合交換律（4）矢量的矢積（叉積）兩矢量的叉積是一個矢量，其大小為兩個矢量的大小與它們之間夾角的正弦之積，它的方向垂直于包含兩個矢量的平面，用單位矢量表示。7qsinABq矢量與的叉積用坐標分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則8（5）矢量的混合運算——分配律——分配律——標量三重積——矢量三重積9

三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。1.2

三種常用的正交曲線坐標系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。101.直角坐標系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標變量坐標單位矢量

11圖1-1直角坐標系x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx122.圓柱坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量13圖1-3圓柱坐標系圖1-4圓柱坐標系中的單位矢量、長度元、面積元和體積元143.球坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系（半平面）（圓錐面）（球面）154.三種坐標系之間的轉(zhuǎn)換

4.1三種坐標系坐標變量之間的轉(zhuǎn)換（1）直角坐標系與圓柱坐標系的坐標變量之間的轉(zhuǎn)換（2）直角坐標系與球坐標系的坐標變量之間的轉(zhuǎn)換16（3）圓柱坐標系與球坐標系的坐標變量之間的轉(zhuǎn)換4.2三種坐標系的單位矢量之間的轉(zhuǎn)換（1）直角坐標系與圓柱坐標系單位矢量之間的轉(zhuǎn)換17圖1-8直角坐標系和圓柱坐標系中的坐標單位矢量及其關(guān)系18用圖表表示為：19（2）圓柱坐標與球坐標系單位矢量之間的轉(zhuǎn)換用圖表表示為：20圖1-9圓柱坐標系和球坐標系的坐標單位矢量及其關(guān)系210（3）直角坐標系和球坐標系之間單位矢量的轉(zhuǎn)換，可根據(jù)上面的推導得出，用圖表表示如下。-221.3場及場的特性

1場的概念“場”是指某種物理量在空間的分布。具有標量特征的物理量在空間的分布是標量場，具有矢量特征的物理量在空間的分布是矢量場。例如，溫度場是標量場，電場、磁場、流速場與重力場都是矢量場。232力線方程

圖1-11力線圖設(shè)P點處的位置矢量：設(shè)P點處切線微分方程為設(shè)P點場量24因則得25P點處場量為的力線微分方程為261.3標量場的梯度如果物理量是標量，稱該場為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：27標量場的等值面

等值面:

標量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。

等值面的特點：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。標量場的等值線(面)282.方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向減?。?/p>

——u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點：方向?qū)?shù)既與點M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——的方向余弦。

式中：

293.標量場的梯度（或）標量場在空間某一點沿不同方向的變化率是不同的，在某個方向上的變化率可能最大，為此引入梯度的概念，用它來說明標量場的最大變化率和達到最大變化率的特定方向。也就是說，標量場u在點M處的梯度是一個矢量，其大小等于最大變化率，其方向是標量場u變化最大的方向。梯度可表示為30其中31圓柱坐標系

球坐標系其他坐標系下的梯度的表達式為：根據(jù)梯度定義，可得直角坐標下的梯度公式32標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）33

解

(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為

例1.3.1

設(shè)一標量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標量場。試求：

(1)該函數(shù)在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。34表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為35而該點的梯度值為

顯然，梯度描述了P點處標量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。361.4矢量場的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量線OM

372.矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大小？引入通量的概念。

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是面積元矢量38通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義393.矢量場的散度為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。

散度表示在點M處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的通量，所以散度描述了通量源的密度。40圓柱坐標系球坐標系直角坐標系散度的表達式：散度的有關(guān)公式：41直角坐標系下散度表達式的推導

穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為

不失一般性，以點M為頂點作一很小的直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP42穿出左、右兩側(cè)面的凈通量值為穿出上、下兩側(cè)面的凈通量值為又因為所以43因此直角坐標系中的散度表達式為444.散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。451.5矢量場的環(huán)流與旋度

矢量場的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場。不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。46

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。

磁感應(yīng)線要么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線47如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。環(huán)流的概念矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。48

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。

2.矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度稱為矢量場在點M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點：其值與點M處的方向

有關(guān)。過點M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當S0時，極限49在磁場中，如果某點附近的面元方向與電流方向重合，則磁場強度的環(huán)流面密度有最大值；如果面元方向與電流方向有一夾角，則磁場強度的環(huán)流面密度總是小于最大值；當面元方向與電流方向垂直時，則磁場強度的環(huán)流面密度等于0。由于矢量場在點M處的環(huán)流面密度與面元△S的法線方向有關(guān)，因此，在矢量場中，一個給定點M處沿不同方向，其環(huán)流面密度的值一般是不同的。在某一個確定的方向上，環(huán)流面密度可能取得最大值。為了描述這個問題，引入旋度的概念。50概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：矢量場在點M處的旋度就是在該點的旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度51oyDz

DyCzx1234計算的示意圖

直角坐標系中旋度的表達式以點M為頂點，取一個平行于yz面的矩形面元，則52于是

同理可得故得53旋度的計算公式:直角坐標系圓柱坐標系球坐標系54旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零553.斯托克斯定理斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即564.散度和旋度的區(qū)別

571.矢量場的源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6無旋場與無散場582.矢量場按源的分類（1）無旋場性質(zhì)：

，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場59（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場60（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分611.7拉普拉斯運算與格林定理

1.拉普拉斯運算標量拉普拉斯運算概念：——拉普拉斯算符直角坐