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22.2.1直接開平方法和因式分解法九年級(jí)上
1.會(huì)運(yùn)用開平方法解形如
x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.2.會(huì)用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.3.了解直接開平方法及因式分解法解一元二次方程的解題步驟.學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn)小唯唯家裝修房子,媽媽說:“小唯唯的臥室地形為正方形,約16平方米”,爸爸立馬說:“原來地長(zhǎng)為4米”.思考:爸爸是怎么知道臥室的地長(zhǎng)的?新課引入試一試求等式中的x,以解下列方程:你是怎樣解的?一
直接開平方法解方程對(duì)于題(1),有這樣的解法:方程
x2=4,意味著x是4的平方根,所以
即
x=±2.這里得到了方程的兩個(gè)根,通常也表示成
x1=2,x2=-2.這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.新知學(xué)習(xí)例1
用直接開平方法解下列方程.(1)x2
-2
=0;(2)16x2
-25
=0.解:(1)移項(xiàng),得x2
=2,直接開平方,得x
=±,即x1
=,x2
=-.解:(2)移項(xiàng),得16x2
=25,方程兩邊都除以16,得x2
=,直接開平方,得
x
=±即x1
=,x2
=-.(2)當(dāng)p=0時(shí),方程(I)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
=0;(3)當(dāng)p<0時(shí),因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)x,都有x2≥0,所以方程(I)無實(shí)數(shù)根.一般的,對(duì)于可化為方程x2=p(p是常數(shù)),(I)(1)當(dāng)p>0時(shí),根據(jù)平方根的意義,方程(I)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根歸納問題:
對(duì)照上面的方法,你認(rèn)為可以怎樣解方程(x+3)2=5?由方程x2=25得x=±5.由此想到:由方程(x+3)2=5,②得于是方程(x+3)2=5的兩個(gè)根為即③上面的解法中,由方程②得到③,實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程“降次”,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為我們會(huì)解的方程了.歸納針對(duì)訓(xùn)練(1)
x2
-900=0.解:(1)移項(xiàng),得x2=900.直接開平方,得x=±30,∴x1=30,x2=-30.思路點(diǎn)撥:通過移項(xiàng)把方程化為
x2=p
的形式,然后直接開平方即可求解.
1.利用直接開平方法解下列方程:解:(2)移項(xiàng),得12(3-2x)2
=
3,兩邊都除以12,得(3-2x)2
=.∵3-2x
是
的平方根,∴3-2x
=.即3
-
2x
=
0.5,3-2x
=
-0.5,∴x1=
,(2)12(3-2x)2-3=0.思路點(diǎn)撥:先將-3
移到方程的右邊,再將等式兩邊同時(shí)除以
12,再將(3-2x)看成是一個(gè)整體,就可以運(yùn)用直接開平方法求解.
x2=二、因式分解法解一元二次方程解:將方程左邊用平方差公式分解因式,得
(x-1)(x+1)=0,必有
x-1=0或
x+1=0.
分別解這兩個(gè)一元一次方程,得
x1=1,x2=-1.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.解方程:還可以用什么方法來解呢?例2
解下列方程:解:(1)方程左邊分解因式,得
x(3x+2)
=0.分解x
=0或3x+2
=0.得x1
=0,
(2)x2
=3x;(1)3x2+2x
=0;解:(2)移項(xiàng),得
x2-3x
=0.方程左邊分解因式,得
x(x-3)
=0.所以x
=0或x
-3
=0.
得因式分解法的基本步驟一移——方程的右邊=
0;二分——方程的左邊因式分解;三化——方程化為兩個(gè)一元一次方程;四解——寫出方程兩個(gè)解.因式分解法的依據(jù):如果a·b=0,那么a=0或b=0.簡(jiǎn)記口訣:右化零左分解兩方程各求解探究小張?jiān)谧隼?(2)時(shí),是這樣做的:
x2
=3x方程的兩邊同時(shí)除以
x,得
x=3.故原方程的解為
x=3.不正確,方程兩邊同時(shí)除以的數(shù)不能為零,還有一個(gè)解為
x=0.小林的解法對(duì)嗎?針對(duì)訓(xùn)練1.解下列方程:解:(1)因式分解,得于是得x-2
=0或x+1=
0,x1=2,x2=
-1.(x-2)(x+1)
=
0.(2)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得因式分解,得
(2x+1)(2x-1)=0.于是得2x+1=0或2x-1=0,解:化為一般式為x2-2x+1=0.因式分解,得(x-1)(x-1)=0.有x
-1=0或x
-1=0,x1=x2=1.解:因式分解,得(2x+11)(2x
-11)=0.有2x+11=0或2x
-11=0,1.下列方程:①(x-1)2-1=0;②x2-5=0;③(x2-4x)-4=0;④(x-3)2+2=0;⑤x2=x;⑥x-x2-3=0;⑦(5x+1)2=16.可以用直接開平方法求解的有_______________;可以用因式分解法求解的有_______________.①
②
⑦①
②
⑤
⑦隨堂練習(xí)2.解方程:(1)(x-2)2=(3x+4)2;
(2)2x(x+1)=4x+4.解:(1)移項(xiàng),得(x-2)2-(3x+4)2=0因式分解,得
(x-2+3x+4)(x-2-3x-4)=0.4x+2=0或-2x-6=0,(2)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得2x(x+1)-4(x+1)=0因式分解,得
(x+1)(2x-4)=0.x+1=0或2x-4=0,x1=-1,x2=
2.直接開平方法概念基本思路一元二次方程利用平方根的定義求方程的根的方法步驟關(guān)鍵要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).兩個(gè)一元一次方程降次直接開平方法課堂小結(jié)概念步驟簡(jiǎn)記歌
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