折射和反射定律、菲涅耳公式

第七、八次課、折射和反射定律、菲涅耳公式

一、折射和反射定律二、菲涅耳公式三、根據(jù)Fresnel公式討論反射波和透射波的性質(zhì)

內(nèi)容1折射和反射定律、菲涅耳公式一、折射和反射定律1、折射和反射定律內(nèi)容2、分析內(nèi)容2折射和反射定律、菲涅耳公式1、折射和反射定律的內(nèi)容是：時間頻率ω是不變的；反射波和折射波均在入射面內(nèi)；反射角等于入射角。折射定律：折射介質(zhì)折射率與折射角正弦之積等于入射介質(zhì)折射率與入射角正弦之積。

2、分析：

圖1θrθtOxzOθi12界面3折射和反射定律、菲涅耳公式界面兩側(cè)的總電場為：

電場的邊界條件欲使上式對任意的時間t和界面上均成立，則必然有：

(2)(1)可見，時間頻率ω是入射電磁波或光波的固有特性，它不因媒質(zhì)而異，也不會因折射或反射而變化；4折射和反射定律、菲涅耳公式由于可以在界面內(nèi)選取不同方向，上式實際上意味著矢量和均與界面的法線平行，由此可以推知，、、與共面，該平面稱為入射面。θr=θi(3)n2sinθt=n1sinθi(4)(2)寫成標(biāo)量形式，并約掉共同的位置量結(jié)論：反射波和折射波均在入射面內(nèi)。反射角等于入射角折射定律5折射和反射定律、菲涅耳公式二、菲涅耳公式1、公式的推導(dǎo)2、公式的另外兩種形式內(nèi)容6折射和反射定律、菲涅耳公式1、Fresnel公式的推導(dǎo)折、反射定律給出了反射波、折射波和入射波傳播方向之間的關(guān)系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之間的定量關(guān)系由Fresnel公式來描述。只推導(dǎo)反射波、折射波和入射波的電場的Fresnel公式。

方法和步驟的內(nèi)旨電場是矢量，可將其分解為一對正交的電場分量，一個振動方向垂直于入射面，稱為‘s’分量，另外一個振動方向在或者說平行于入射面，稱為‘p’分量。首先研究入射波僅含‘s’分量和僅含‘p’分量這兩種特殊情況。當(dāng)兩種分量同時存在時，則只要分別先計算由單個分量成分的折射、反射電場；然后根據(jù)矢量疊加原理進(jìn)行矢量相加即可得到結(jié)果。

7折射和反射定律、菲涅耳公式1)、單獨存在s分量的情形規(guī)定：電場和磁場的s分量垂直于紙面，向外為正，向內(nèi)為負(fù)。

圖2θtOθrθi12界面在界面上電場切向分量連續(xù)：

(5)(6)

在界面上磁場的切向分量連續(xù)：

8折射和反射定律、菲涅耳公式非磁性各向同性介質(zhì)中、的數(shù)值之間的關(guān)系：

(7)(6)

(5)

s分量的透射系數(shù)(8)(9)s分量的反射系數(shù)9折射和反射定律、菲涅耳公式2)、單獨存在p分量的情形規(guī)定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右為正，向左為負(fù)。

圖3θtOθrθi12界面(10)(11)即：的p分量的切向分量一致向右組成右手坐標(biāo)系的正方向如圖所示根據(jù)的邊界條件得：10折射和反射定律、菲涅耳公式再利用、的數(shù)值關(guān)系以及、之間的正交性，得到：

(12)(13)公式(8)、(9)、(12)、(13)稱為Fresnel公式：

(8)(9)(12)(13)p分量的透射系數(shù)p分量的反射系數(shù)11折射和反射定律、菲涅耳公式2、公式的另外兩種形式(14)(15)令：

(16)(17)(8)(9)(12)(13)將它們變形

(18)(19)12折射和反射定律、菲涅耳公式于是得Fresnel公式的另外一種形式：(20)(21)(22)(23)13折射和反射定律、菲涅耳公式利用折射定律，F(xiàn)resnel公式還可以寫成如下的形式：

(24)(25)(26)(27)14折射和反射定律、菲涅耳公式三、根據(jù)Fresnel公式討論反射波和透射波的性質(zhì)1.n1<n2的情況

2.n1>n2的情況

內(nèi)容15折射和反射定律、菲涅耳公式1.n1<n2的情況在光學(xué)上，這種情況稱為光從光疏媒質(zhì)向光密媒質(zhì)入射。根據(jù)折射定律可知：θi>θt

。(1)、反射和透射系數(shù)的變化：圖4tptsrprsn2/n1=2.01)、兩個透射系數(shù)ts和tp都隨著入射角θi增大而單調(diào)降低，即入射波越傾斜，透射波越弱，并且在正向規(guī)定下，ts和tp都大于零。

16折射和反射定律、菲涅耳公式2)、rs始終小于零，其絕對值隨著入射角單調(diào)增大。根據(jù)正方向規(guī)定可知，在界面上反射波電場的s分量振動方向始終與入射波s分量相反。

位相躍變(半波損失)

負(fù)號寫成在界面上任何一點，反射波s分量與入射波s分量間都有一個π的位相差別。

圖4n2/n1=2.0位相躍變

這樣，位相差π相當(dāng)于電磁波(光)傳播半個波長的距離，所以該現(xiàn)象又可稱為半波損失。

17折射和反射定律、菲涅耳公式圖4n2/n1=2.03)、對于rp，它的代數(shù)值隨著入射角θi單調(diào)增大，但是經(jīng)歷了一個由負(fù)到正的變化。θi=特定值θB

，rp=0

布儒斯特定律利用折射定律

布儒斯特角

(28)

<1>如果平面波以布儒斯特角入射，則不論入射波的電場振動如何，反射波不再含有p分量，只有s分量；

<2>如果平面波以布儒斯特角入射，反射角與折射角互為余角，所以18折射和反射定律、菲涅耳公式<3>、當(dāng)θi較小時，rp<0，Eip和Erp中平行于界面的成分較多，此時兩者的主要成分相反向；當(dāng)θi較大時，Eip和Erp中垂直于界面的成分為主要成分，此時盡管rp>0，但因它們的正向規(guī)定基本相反，所以實際上仍有Eip和Erp的主要成分相反向；因此說，n1<n2時，反射波電場方向總與入射波電場方向相反或接近相反。

圖3θtOθrθi12界面19折射和反射定律、菲涅耳公式θi=0°的情形是一個特殊的情況，稱為正入射。這時，折射角θt=0°，由Fresnel公式容易算出在正入射時s和p分量的差別消失，用r0和t0分別表示正入射時的反射和透射系數(shù)，則有：

(29)

(30)

(29)、(30)兩式可以看出，兩媒質(zhì)折射率的差別越大，r0的絕對值越大，而t0值越小。從圖4可以看出，四條曲線在θi=0°處的斜率都是零，所以公式(29)、(30)還可以用來估計小θi(<15°)處的系數(shù)。例如，對于n2/n1=1.5，r0=-0.2，t0=0.8，在θi=10°時，直接由Fresnel公式計算可得到：rs=-0.2041，rp=-0.1959，ts=0.7969，tp=0.7973，可見它們分別與r0和t0接近。4)、θi=0°和90°的情況圖4n2/n1=2.0對于n2/n1=2.0，r0=-0.33，t0=0.67θi=90°的情形也是一個特殊的情況，此時，rs=-1，rp=1。ts=tp=0，這表示電磁波僅僅在界面上‘掠過’，并未真正進(jìn)入第二媒質(zhì)里因此稱這種入射為掠入射。這些數(shù)值畫出了圖4各曲線的終點。

20折射和反射定律、菲涅耳公式(2)、反射率和透射率的變化波的橫截面面積與投射在界面上的面積存在著關(guān)系

12As(31)Wis=IisA0cosθi(32)Wts=ItsA0cosθt

AtAiA0Wrs=IrsA0cosθr=IrsA0cosθi

定義：s分量的反射率Rs為Wrs與Wis之比；s分量的透射率Ts為Wts與Wis之比。21折射和反射定律、菲涅耳公式于是有：

(33)(34)類似地，當(dāng)入射波只含有p分量的時，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp：

(35)(36)將Fresnel公式代入上面四式，即可分別得到Rs、Rp、Ts、Tp與入射角θi的函數(shù)關(guān)系。

22折射和反射定律、菲涅耳公式圖6TpTsRpRsRs與Ts之間、Rp

與Tp之間均存在‘互補’關(guān)系，即：Rs+Ts=1(37)Rp+Tp=1(38)這表明，在界面處，入射波的能量全部轉(zhuǎn)換為反射波和折射波的能量。條件：界面處沒有散射、吸收等能量損失。23折射和反射定律、菲涅耳公式當(dāng)入射波同時含有s分量和p分量時，由于兩個分量的方向互相垂直，所以在任何地點、任何時刻都有：

從而有：

Ii=Iis+Iip

Wi

=Wis+Wip類似地，有：Wr

=Wrs+WrpWt

=Wts+Wtp可以定義反射率R和透射率T為：

注意：入射光波的s分量(p分量)只對折射率、反射率的s分量(p分量)有貢獻(xiàn)如果入射波中s和p分量的強度比為α，Wis=αWip，則有：

即R和T分別是Rs、Rp和Ts、Tp的加權(quán)平均。

但是仍然有：

R+T=1

24折射和反射定律、菲涅耳公式正入射時，s分量和p分量的差異消失。若用R0和T0表示此時的反射率和透射率，則有：

利用這兩個等式可以估算非正入射但是入射角很小(θi<30°)的反射率和透射率。

25折射和反射定律、菲涅耳公式2．n1>n2的情形

這種情形即由光密媒質(zhì)入射到光疏媒質(zhì)的情形。由折射定律可知，θi<θt。把θt=90°所對應(yīng)的入射角稱為全反射臨界角，用θc表示。sinθc=n2/n1或θc=arcsin(n2/n1)(39)因此分θi≤θc和θi>θc兩種情況來討論。

1)、當(dāng)θi≤θc時此時θt≤90°，可以直接用Fresnel公式來討論反射波和折射波的性質(zhì)，分析方法和n1<n2的情形完全相同。26折射和反射定律、菲涅耳公式圖7rprstpts|tp||ts|-|rp||rs|n1/n2=1.5結(jié)論a)、反射系數(shù)rs、rp和n1<n2的情形相反，說明s分量不再存在π位相躍變；b)、sinθc=tanθB=n2/n1，所以必然是θB<θc，說明布儒斯特定律依然有效，同時也說明無論是n1>n2還是n1<n2的情形，布儒斯特定律都成立。c)、ts和tp均大于1，且隨著θi的增大而增大，但是這不意味著透射率T大于1以及T必然隨θi的增大而增大。

n2/n1=2.0

圖4(34)

(36)

27折射和反射定律、菲涅耳公式2)、當(dāng)θi>θc時(40)

(41)

復(fù)數(shù)形式的反射系數(shù)

(42)

(43)

因為θi始終是實參量，形式上有：sinθt>1，θt在實數(shù)范圍內(nèi)不存在，可以將有關(guān)參量擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。28折射和反射定律、菲涅耳公式(42)

(43)

首先討論|rs|、|rp|反射系數(shù)的模值|rs|、|rp|仍然可以理解為反射波和入射波對應(yīng)分量的振幅比；此時，

|rs|=|rp|=1，因而Rs=Rp=R=1；所以當(dāng)θi>θc時，入射波的能量全部返回到n1媒質(zhì)里，這種現(xiàn)象稱為全反射或者全內(nèi)反射。

圖7rstp|tp|-|rp||rs|n1/n2=1.529折射和反射定律、菲涅耳公式即當(dāng)入射波發(fā)生全反射時，反射波中的s分量的位相躍變?yōu)椋?/p>

(44)

(45)

它們可以理解為反射波和入射波對應(yīng)分量在界面處的位相躍變。(42)

(43)

接下來討論和p分量的位相躍變?yōu)椋?/p>

s分量和p分量的位相躍變之差為：

(46)

反切函數(shù)取主值Fresnel最早設(shè)計了消色差波片的Fresnel棱鏡，用來改變?nèi)肷洳ǖ钠駪B(tài)。這項試驗的成功，說明s分量和p分量的位相躍變之差確實存在。30折射和反射定律、菲涅耳公式|rs|=|rp|=1，發(fā)生全反射。似乎光疏媒質(zhì)中不存在任何折射電磁波；但是當(dāng)把ts、tp的Fresnel公式推廣到復(fù)數(shù)域進(jìn)行計算，將會發(fā)現(xiàn)ts、tp都不等于零，亦即光疏媒質(zhì)內(nèi)有折射光波；從右圖7也可直觀看出，ts、tp都不等于零，說明光疏媒質(zhì)內(nèi)有折射光波。這個折射光波有其自身的特殊性質(zhì)，這種性質(zhì)使折射波不能深入地進(jìn)入光疏媒質(zhì)內(nèi)。接下來我們進(jìn)行分析。圖7rstp|tp|-|rp||rs|n1/n2=1.531折射和反射定律、菲涅耳公式[1]、光疏媒質(zhì)內(nèi)的電磁波——倏逝波(瞬逝波)xzO(47)

倏逝波或瞬逝波

32折射和反射定律、菲涅耳公式[2]、倏逝波的性質(zhì)

仍然是ω，沒有改變；說明光波的時間頻率不隨環(huán)境改變。

振幅特點：折射波的振幅隨著z(即隨著波深入光疏媒質(zhì)內(nèi)部)的增大而作指數(shù)衰減，等振幅面與界面平行。位相位相的空間分布上只與x有關(guān)，所以等相面與x軸垂直，并且沿著x方向傳播，與一維波的位相表達(dá)式類似，這個波的波長是：

(48)

倏逝波的位相速度是：

(49)

是光密媒質(zhì)中入射波的速度。因為存在x方向上的分量，所以這個倏逝光波已經(jīng)不是橫波。33折射和反射定律、菲涅耳公式下面，定量估計一下倏逝波的衰減情況在n2/n1=1/1.5的情況下，衰減系數(shù)值如右表：定義為振幅的衰減系數(shù)

振幅第二媒質(zhì)中深度z