2022-2023學年江蘇省南京市秦淮區(qū)重點中學高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年江蘇省南京市秦淮區(qū)重點中學高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.己知向量扌=（3,4）,金一6=（1,2），則ab=()A.5 B.14C.-6D.2y[~22.已知cosa= 則sinasin2a=()A.& B.務ceJ27D?芬為了測量垂直于地面的兩座塔塔尖之間的距離，某數(shù)學建?；顒有〗M構(gòu)建了如圖所示的兒何模型.若AC=40/7米，BC=80C，^MCA=45°,厶NCB=30°,Z-MCN=120°,則A.80B.120C.80\T5D.80廣A.80B.120C.80\T5D.80廣7在△ABC中，cosA=I，tan(/l—B)=則tanB=()c-l在△展。中，D為線段BC上一點，且AE=2ED,若ED=xAB+yAC，則§+；的最小值為（）人y164860

已知0V“VaV 且cos（a一0）=翌，cosZp=|?則sin（a+/?）=（）A63 R33 「48 n16A-65 B-65 C-65 D-65記hABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c.已知\b=1,2a-c=2cosC,則AABC周長的最大值為（）<3+1 B.亨+1C.3 D.3-C若y/~3sina+>/~3sinp=cosp—cosa>且a€（0,7t）,pG（0,?r）?則a-B=（）； B.-f C.孕 D.-亨二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）在矩形ABC。中，AB=5,BC=4.E,F分別為8C,CD的。中點，則下列結(jié)論正確的是（）花=麗+抨AF=^AB+ADAEAF=41ACAB=25下列代數(shù)式的值為1的是（）B.cos215°-sin2B.cos215°-sin215°DV"3-tQnl5。C.cos15°—sinl5°1+V3tanl5記△48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列判斷正確的是（）若a=2,b=3,c=4,則△ABC是鈍角三角形若sin2A=sin2B,則△ABC是等腰三角形若cosAcosBcosC>0.貝iJaABC^J銳角三角形若cos'+cosB+cosC>0.則△ABC為銳角三角形 己知sinl0°=a,則點苻一由烏的值用a可以表示為（）B.椚1-aB.椚1-a2C.16aD.32a三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）向量a=（3,4）在向量占=（1,一2）方向上的投影向量己= 函數(shù)/"（X）=2sinx-cos2x的最小值為 .

非零向量4,B滿足：\a-b\=|apa(a-b)=0.則a-b與B夾角的大小為 如圖，在△価D中，AB=AD=1,^DAB=e,過點B向外作等腰直角三角形DBC,且BC=BD,則當0= 時，，。的長度取得最大值，最大值為 .四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)(本小題10.0分)己知f(X)=sinx+V""5cos(x+剝求尸(幻的值域;若f(a)= aG(0,^),求sina的值.(本小題12.0分)已知0<a<pjsina=1-2sin2|.求tan2a的值;若0V/?V tan2/?—2tanp—3=0,求a+/?的值.(本小題12.0分) 在△価C中，角4,8,C的對邊分別為a,b,c.已知袁=袞績京.求角A的大小：若D為線段BC延長線上一點，^.BALAD,BD=3CD,求sin乙4CD.(本小題12.0分)如圖，在平面直角坐標系中，角。和“的終邊與單位圓分別交于P,Q兩點.(1)若OP+OQ=求cos(a-/?)的值：(2)若a=l，\op-oq\=^2.,求cos(2/?+|jt)的值.(本小題12.0分)“我將來要當一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥地里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說 .....除了我”後田里的守望者力中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設霍爾頓在一塊凸四邊形48CD的麥田里成為守望者，為了分割麥田，他將AC連結(jié)，經(jīng)測量4。=DC=2,AB=1,BC=3.霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論4C多長，3cosB-4cosD是定值.霍爾頓還發(fā)現(xiàn)麥田的生長與土地面積的平方和相關，記△刀8。和厶ADC的面積分別為務和S2,為了更好地規(guī)劃麥田，霍爾頓需要求出S7+S*的最大值.請你幫助霍爾頓解決以下問題：求出3cosB-4cosD的值；求身+S頂?shù)淖畲笾?(本小題12.0分)在直角△A8C中，Z.C=90%AB=2AC=4,M^jAB的中點，P,Q分別為線段4C,BC上異于C,B的動點，且Z.PMQ=120°.⑴當Z.MQB=120°時，求PQ的長度；(2)若N為PQ的中點，設Z.MQB=0(90°<0<120°),求而礦一和2的取值范圍

答案和解析【答案】B【解析】解：向量方=(3,4),a-5=(1,2)..?3=(3,4)-(1,2)=(2,2)，則混=3x2+4x2=14.故選：B.利用向量坐標運算法則、向量數(shù)量積公式能求出結(jié)果.本題考查向量坐標運算法則、向量數(shù)量積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.【答案】D【解析】解：cosa=sinasinZa=2sin2a-cosa=2(1-cos2a)cosa=2(1-§)x§=*故選：0.由題意，利用二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系，求值即可.本題主要考査二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系，屬于基礎題.【答案】D【解析】解：Rt^MAC^,AC=40<2米，/-MCA=45°,則CM=y/~2AC=80米，RtZkNCB中，Z.NCB=30°,BC=80>/~3米，則NC=則NC=80￡3cos30°=160米,△MCN中，LMCN=120°,CM=>T1.AC=80米，NC=160米，由余弦定理得MN=J802+1602-2x80x160x(-|)=80C米?故選：D.由已知結(jié)合銳角三角函數(shù)先求出CM,NC,然后結(jié)合余弦定理可求MN.本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及余弦定理在求解二角形中的應用，屬于中檔題.【答案】4【解析】解：在△/!/(；中，cosA= tan(A-B)=：,則ta由峙則皿=吋_(「幻)=歩渦=蕎=崙蟬驀故選：A.求出S7L4,利用兩角和差的正切公式進行轉(zhuǎn)化求解即可.本題主要考查正切值的求解，利用兩角和差的正切公式進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關鍵，是基礎題.【答案】C【解析】解：?.?AE=2ED,.??前=^AD=xAB+yAC,..AD=3xAB+3yAC^又B,D,C三點共線，3x+3y=1,x>0,y>0,.?.：+；=G+：)(3x+3y)=3+孚+辛+2722/3x27+30=48.,.??《+；248,當且僅當舉=等即當y=；，x=￡時取最小值.故選：C.先由AE=2ED,得出ED=^AD,再得出3x+3y=l,最后常值代換應用基本不等式可解.本題考査向量的表示，考査基本不等式，屬于中檔題.【答案】A【解析】解：EveV?0V2。V7T,又COS鄧=I，???sin2p=yj1-cos22^=|：又0V0vaV；,.??0Va-3v$又cos(o")=翌，sin(a-p)=J1-cos2(q-幻=潢：?sin(a+8)=sin[(a-/?)+2閉=sin(a-8)cos28+cos(a一/?)sbi2,=號乂^+翌乂?=爲故選：1利用平方關系可求得血2。與sin(a-0)的值,再利用兩角和的正弦sin(a+0)=sin[(a-/?)+2們可求得答案.本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查運算求解能力，屬于中檔題.【答案】C【解析】解：?.?2a—c=2cosC=2x^^，又力=1，2ab2a2—ac=a2-c2+1,a2+c2=ac+1,(a+c)2=3ac+1<3x(號％+1,當且僅當a=c=l時，等號成立，.-.a+c<2,又b=1.a+h+c<3,即△ABC周長的最大值為3.故選：C.根據(jù)余弦定理，基本不等式，即可求解.本題考査解三角形問題，余弦定理的與基本不等式的應用，屬中檔題.【答案】C【解析】解：因為\f~3sina+yj~3sinp=cos。一cosa，所以/+cosa=cosg—V~~3sin^.則2sin(a+|)=2sin(|-/?),即sin(a+|)=sin(|-p),由ae(O,tt),B€(0,7i),又sin(a+^)>0,則Q<l~p<l，所以a+l+l~p=n,解得a-p=^.故選：C.根據(jù)題意可得sin(a+9=sin(："),?Va+：V；,0 進而得到"普+：”=兀,由此得解.本題考査三角函數(shù)的求值問題，考査運算求解能力，屬于基礎題.【答案】BD【解析】解：對人選項，根據(jù)題意可知AE=|(AB+ZC),.--A選項錯誤；對B選項，根據(jù)題意可知AF=l~AB+AD,■■B選項正確：對C選項，根據(jù)題意可知布AF=(AB+^AD')-(^AB+AD')=!靜+：而2+：而而=&25+；乂16+?乂。=岑，二。選項錯誤；2 2 4 2對D選項，根據(jù)題意可知ACAB=(AB+AD')AB=而？+而.=25+0=25，，?。選項正確?故選：BD.根據(jù)向量的線性運算，向量數(shù)量積的概念，即可分別求解.本題考查向量的線性運算，向量數(shù)量積的概念，屬中檔題.【答案】AD【解析】解：4sin75°cos7S°=2sinl50°=2sin30°=1,故A正確;cos215°-sin215°=cos30°= 故B錯誤;(cosl5°-sznl5°)2=1-sin3Q°=故cosl5°-sinl5°=故C錯誤;=tan45°=1，故D正確.門Tanl5。_tan60=tan45°=1，故D正確.故選：AD.根據(jù)三角函數(shù)倍角公式，和差公式計算即可判斷.本題考查了三角函數(shù)的倍角公式，和差公式，熟練掌握公式是解題的關鍵，是基礎題.【答案】AC【解析】解：若a=2,b=3,c=4，則a2+b2—c2=4+9—16<0.故C為鈍角，即△48C是鈍角三角形，A正確；^sin2A=sin2B,貝ij24=2B或24+2B=n,所以A=B或A+B=$所以4BC是等腰三角形或直角三角形，B錯誤；若cosAcosBcosC>0,則cost!>0,cosB>0.cosC>0,即A,B,。為銳角，C正確;當C=?1B為銳角時，。顯然錯誤.故選：AC.由已知結(jié)合余弦定理檢驗選項A：結(jié)合誘導公式檢驗選項8；結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)檢驗選項CD.本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)的性質(zhì)在三角形形狀判斷中的應用，屬于中檔題.【答案】AD3 1 3cos240°-sin240°京1+*80。）一；（1-*80。）4+8cos80°4+8a決-^-^47-sjn240°coS240o~ iSin280''一cosS。_撲，恁孔不選B.sin30°=sin（3x10°）=3stnl0°—4sin310°=3a—4a3=：6a-8a3=1,.% =4（6a；8a?+8a=32：（誓印= ?正確，。錯.故選：AD.考慮到40。的兩倍角為80。，己知的角為10。，而80。+10。=90。，又因為所求值的式子是分式，所以先通分后用倍角公式進行恒等變換.由于多選題，考慮30。與10。是三倍角，可用三倍角公式進行代數(shù)代換即可得另一結(jié)果.本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，倍角公式的靈活應用，屬于基礎題.【答案】(-1,2)【解析】解：根據(jù)題意，向量3=(3,4),向M=(1,-2).則向量往=(3,4)在向Mb=(1,-2)方向上的投影向量扌=|丘|cosV丘,5>=普壽=普5=-b(-U).故答案為：(一1,2).根據(jù)題意，由投影向量的計算公式計算可得答案.本題考査投影向量的計算，涉及向量數(shù)量積的計算，屬于基礎題.t答案】一：［解析】解：f(x)=2sinx一coslx=2sinx-1+2sin2x=2(sinx+|)2當sinx=時,函數(shù)取得最小值：故答案為：利用二倍角公式，化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化求解表達式的最小值即可.本題考査三角函數(shù)的最值的求法，考査轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.【答案】135?！窘馕觥俊痉治觥窟\用向量的夾角公式可解決此問題.本題考查向量的夾角公式的應用.解：根據(jù)題意a2-2ab+b2=-a?■-b=2ab又W=4.6.-.2a2=b2.?.cosvZ，B>=止^=工=_尿故答案為135。.【答案】平C+1【解析】解：在三角形48D中，AB=AD=1,￡DAB=e,如圖所示，取BO的中點M,連接砌，則AMLBD,且Z.BAM=在直角三角形ABM中，AB=1,貝ijFM=AB-sinz.BAM=sin|,' M °所以BD=2sin|?在等腰直角三角形DBC中，BC=BD=2sin|.則CD=2<7sin|,又在三角形ABD中，/.BAD=e，且AB=AD,則乙4。8=啰=三一§,又站DC=：,所以乙4DC=aADB+Z.BDC=手一%4 2在三角形ADC中，由余弦定理可得：AC2=AD2+CD2一2ADCD-cosz.ADC=1+8sin2|-2x2x2V~2sin|?cos(平一|)=14-8sin21+4V~^sin|sin(j-1)=l+8sin'方+4V2sin--(—cos--—sin-)=1+4sin21+4sin|cos|=1+4x】；。迎+2sin0=3+2\/_2sin(0—；),當。一：=3即。=平時’^flX=3+2<2,^\ACmax=>/~2+l.故答案為：羿C+1.4在三角形ABD中，取8D的中點M,連接？1M,則AMLBD,且lBAM= 利用直角三角形的性質(zhì)求出BM,由此求出BD以及BC,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD,再根據(jù)角的關系求出匕ADC,然后在三角形4CD中，利用余弦定理以及正余弦的倍角公式，輔助角公式化簡求出的2的表達式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.本題考査了解三角形問題，涉及到正余弦定理以及勾股定理的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題.【答案】解：(l)/(x)=sinx+\T3(^cosx-^sinx)=^cosx-^sinx=cos(x+則f(x)的值域為[-1,1];(2)依題意，cos(a+^)=|.又ae(0,f),則。+証§爭，則sin(a+?)=J1-由2=§所以sbia=sin(a+，g)=sin(a+：)cos：-cos(a+^)sin^=|x^-|x|=4v^~3-【解析】⑴化簡可^/(x)=cos(x+^),由此可得值域；(2)根據(jù)題意可得cos(a+§=§,根據(jù)a的范圍，進一步可得sin(a+^),再由和差角公式即可得到s餉a的值.本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的求值問題，考查運算求解能力，屬于基礎題.【答案】解：⑴因為扣？ia=1-2sin2|>所以捉ina=cosa,所以tana=2,所以=答=一§l-tan%1-4 3(2)因為tan2^—2tanp—3=0,所以tan/?=3或tan/?=—1.因為OvAv；所以tan/?>0.所以tanp=3.所以tan(a+/?) tana+tan。_2+3一1-tanatan/?所以tan(a+/?)因為0VQ<：,0V/?V§所以0<a+/?V7T,所以a+/?=平.【解析】(1)根據(jù)二倍角的余弦及正切公式化簡求值即可；(2)結(jié)合角的范圍解一元二次方程得tern/?=3,然后根據(jù)兩角和正切公式求出tan(a+/?)=-1,然后根據(jù)角的范圍確定角的大小.本題主要考查了和差角公式，二倍角公式在二角化簡求值中的應用，屬于中檔題.【答案】解：⑴由正弦定理可疇=豔器*瀏瑚+血*。=，服渝+sinCcosA=sinAcosB—cosAsinB=sinCcosA—cosCsinA,sin(4—B)=sin(C—A),

:.A-B+C-A=?；?-B=C-A=>B+C=24或C一B=兀(舍去)，？r一A=2AnA=導(2)法一：設zACB=e,. ,CDAC在履8中，颯=林及①亠BCAC在履卽中，禍=郴萼，②① sin(6+§)后機nO+^cos。^stne-^cose? sin伊機nO+^cos。^stne-^cose=f=>tand=37~3,.口3/71-.，“八3<7T■'■sme=—^sm^ACD=—法二：設3CB=6,在△ABC屮，爲=翠，①亠ABBD在履噸中，林書=問，②書=^^=^>^=3后?5湖=碧=血*6【解析】(1)由已知可得sinAcosB+sinAcosC=sinBcosA+sinCcosA,進而可得sin(A一8)=sin(C-A),可求角人的大??；(2)法一：設3CB=O,在WCD中，問=帀芬在履勇中，詞=林冴可求s"4SABBC ABBD法二：設3CB=0,在△ABC中，贏=問，在△ABD中，sin(O_g)=詞，可求sinVCD.本題考查正弦定理的應用，三角恒等變換，屬中檔題.【答案】解：(1)由題意PQcosa.sina),Q(cos/?,si邱),則亦+0Q=(cosa+cosp,sina+sing)=(p|)?cosa+cosp=§①sina+sinp=平方整理得：cosacosp=：(：-cos2a一cos2/?).平方整理得：sinasi邱=§(；-sin2a-sin?幻，??-cos(a—B)

=cosacosp+sinasinp=|(|-cos2a-cos2//)+；(:-sin2a-sin?"),(2)OP— =(cosa—cosp,sina—sin。)，\OP-OQ\=^???y[~7cosa^cospy^r(sina^sinpy=捋,平方得：(cosa-cos"+{sina-sin"=I???a=§.??浮-cosp)2+(；_si“幻2=§整理得y/~3cos^+sinp=普，得sin(.+§)=§，???cos(2/?+|7r)=1-2sin2。+§)=l-2x^=-|^.【解析】(1)根據(jù)三角函數(shù)定義以及向量的坐標運算求出cosacospsinasinp的值，再根據(jù)和差公式求出cos(a-/?)的值即可：(2)先表示出矛-頁的坐標，再根據(jù)|~0P-~0Q\=辛,得到(cosa-cos"+(sina-sinp)2=代入a的值得到sin(/?+；)=§,再根據(jù)倍角公式求出cos(2B+紀)的值即可.本題考査了三角函數(shù)的公式，向量的運算，考査轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.【答案】解：(1)在△ABC中，AB=1,BC=3,根據(jù)余弦定理,AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosB=1+9-6cqsB=10-6cosB,同理，在C中，AC2=8-8cosD,所以10-6cosB=8-8cos。，所以3cosB-4cosD=1：(2)由⑴可知cosD=蘭罕丄9-4在△ABC中，9-4S了=(^AB?BCsinB)2=(|x1x3sinB)2=^sin2fi同理可得,在△ADC中,Sj=4—4cos2D=4一：x(3cosB—I)2=jx(5+ZcosB—3cos2B)令cosB—x,則5?+5^=|(l-x2)+|(5+2x-3x2)=|(-3x2+x+4)=|[-3(x-i)2+^],所以當x=^i，sl^sl取得最大值，最大值為