【走向高考】高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)-數(shù)列階段性測(cè)試題六-新人教A版

階段性測(cè)試題六(數(shù)列)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．(文)(2014·甘肅省金昌市二中期中)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0則有()A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a100<0C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝51[答案]C[解析]由條件知，a51＝0，∴a3＋a99＝2a51＝0，a1＋a101＝2a51＝0，a2＋a100＝2(理)(2014·浙江臺(tái)州中學(xué)期中)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前21項(xiàng)的和等于前8項(xiàng)的和．若a8＋ak＝0，則k＝()A．20 B．21C．22 D．23[答案]C[解析]由條件知S21＝S8，∴a9＋a10＋…＋a21＝0，∴a15＝0，∵a8＋ak＝2a15＝0，∴k2．(2014·浙江杜橋中學(xué)期中)已知等比數(shù)列{an}中，a3＝16，a4＝8，則a8＝()A．128 B．64C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)[答案]D[解析]∵a4＝a3q，∴q＝eq\f(1,2)，∴a8＝a4q4＝8×(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,2).3．(2014·湖南長(zhǎng)沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)、沙城一中聯(lián)考)已知{an}是等比數(shù)列，對(duì)任意n∈N*，an>0恒成立，且a1a3＋2a2a5＋a4a6＝36，則aA．36 B．±6C．－6 D．6[答案]D[解析]∵{an}是等比數(shù)列，∴a1a3＝aeq\o\al(2,2)，a4a6＝aeq\o\al(2,5)，∴aeq\o\al(2,2)＋2a2a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，∴(a2＋a5)2＝36，∵an>0，∴a2＋a5＝6.4．(2014·撫順市六校聯(lián)合體期中)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a8＝6＋a11，則S9A．54 B．45C．36 D．27[答案]A[解析]∵2a8＝a5＋a11,2a8＝6＋a11，∴a∴S9＝9a55．(2014·哈六中期中)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S13＝eq\f(256,3)，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a13)＝eq\f(8,3)，則log2(a6a8)的值為()A．4 B．5C．16 D．32[答案]B[解析]∵eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a13)＝eq\f(1,a1)·(1＋eq\f(1,q)＋eq\f(1,q2)＋…＋eq\f(1,q12))＝eq\f(1,a1)·eq\f(1－\f(1,q)13,1－\f(1,q))＝eq\f(1,a1)·eq\f(q13－1,q12q－1)＝eq\f(1,a\o\al(2,1)q12)·eq\f(a11－q13,1－q)＝eq\f(1,a\o\al(2,7))·S13，∴eq\f(1,a\o\al(2,7))×eq\f(256,3)＝eq\f(8,3)，∴aeq\o\al(2,7)＝32，∴l(xiāng)og2(a6a8)＝log2aeq\o\al(2,7)＝5.6．(2014·山東省德州市期中)已知{an}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且S5＝a13，則數(shù)列{eq\f(1,anan＋1)}的前五項(xiàng)和為()A.eq\f(10,11) B.eq\f(5,11)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2,5)[答案]B[解析]∵a1＝1，S5＝a13＝5a3，∴5(1＋2d)＝1＋12d∴d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，故所求和為eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,7)－eq\f(1,9))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,9)－eq\f(1,11))＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,11))＝eq\f(5,11).7．(2014·北京海淀期中)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n(3n－13)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最小值是()A．S3 B．S4C．S5 D．S6[答案]B[解析]觀察an＝2n(3n－13)可知，隨n的增大，an＝2n(3n－13)由負(fù)數(shù)增大為正數(shù)，其中，a1，a2，a3，a4為負(fù)數(shù)，a5開(kāi)始以后各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最小值是S4，選B.8．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，a2＝1，前6項(xiàng)的方差為eq\f(35,3)，則a3S3的值為()A．－9 B．3C．±9 D．9[答案]D[解析]∵數(shù)列{an}的前6項(xiàng)為1－d,1,1＋d,1＋2d,1＋3d,1＋4d，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝1＋eq\f(3,2)d，由條件知，S2＝eq\f(1,6)[(1－d－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(1＋d－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(1＋2d－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(1＋3d－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(1＋4d－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(35,12)d2＝eq\f(35,3)，∴d2＝4，∴d＝±2，∵a2＝1，∴當(dāng)d＝2時(shí)，a1＝－1，a3＝3，S3＝3，∴a3S3＝9，當(dāng)d＝－2時(shí)，a1＝3，a3＝－1，S3＝3，∴a3S3＝9，故選D.9．(2014·浙江臺(tái)州中學(xué)期中)已知數(shù)列{an}是1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，{bn}是1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列．設(shè)cn＝abn，Tn＝c1＋c2＋…＋cn(n∈N*)，則當(dāng)Tn＞2013時(shí)，n的最小值是()A．7 B．9C．10 D．11[答案]C[解析]an＝2n－1，bn＝2n－1，cn＝abn＝2bn－1＝2n－1，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\f(22n－1,2－1)－n＝2n＋1－n－2，當(dāng)n＝9時(shí)，T9＝210－11＝1013，當(dāng)n＝10時(shí)，T10＝211－12＝2036>2013，∴使Tn>2013的最小n值為10.10．(文)(2014·寶雞市質(zhì)檢)已知一次函數(shù)f(x)＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)和Q(－2，－4)，令an＝f(n)f(n＋1)，n∈N*，記數(shù)列{eq\f(1,an)}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)Sn＝eq\f(6,25)時(shí)，n的值等于()A．24 B．25C．23 D．26[答案]A[解析]∵一次函數(shù)f(x)＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)和Q(－2，－4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝k＋b，,－4＝－2k＋b.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝0.))所以f(x)＝2x，an＝f(n)f(n＋1)＝2n×2(n＋1)＝4n(n＋1)，eq\f(1,an)＝eq\f(1,4nn＋1)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，Sn＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(n,4n＋1)＝eq\f(6,25)，得n＝24.(理)(2014·成都七中模擬)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得eq\r(aman)＝4a1，則eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)的最小值為()A.eq\f(8,3) B.eq\f(11,4)C.eq\f(14,5) D.eq\f(17,6)[答案]A[解析]由a7＝a6＋2a5得：q2＝q＋2，∴q＝－1(舍)或q由eq\r(aman)＝4a1得，a1qm－1a1qn－1＝16aeq\o\al(2,1)，∴m＋n＝6.所以eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)＝eq\f(1,6)(eq\f(1,m)＋eq\f(9,n))(m＋n)＝eq\f(1,6)(1＋9＋eq\f(n,m)＋eq\f(9m,n))≥eq\f(1,6)(10＋6)＝eq\f(8,3).等號(hào)成立時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＝\f(9m,n)，,m＋n＝6，))∴m＝eq\f(3,2)，n＝eq\f(9,2)，故選A.11．(文)(2014·山西曲沃中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)x＋4x≤6，,ax－5x>6.))(a>0，a≠1)，數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[7,8) B．(1,8)C．(4,8) D．(4,7)[答案]A[解析]∵an＝f(n)，且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)>0，,a>1，,4－\f(a,2)×6＋4≤a6－5，))∴7≤a<8.(理)(2014·湖南長(zhǎng)沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)、沙城一中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則b10等于()A．24 B．32C．48 D．64[答案]D[解析]由條件知，an＋an＋1＝bn，anan＋1＝2n，a1＝1，a2＝a3＝2，a4＝a5＝22；a6＝a7＝23；a8＝a9＝24，…，∴b10＝a10＋a11＝25＋25＝64.12．(2014·海南省文昌市檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線l與直線3x－y＋2＝0平行，若數(shù)列{eq\f(1,fn)}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2011的值為()A.eq\f(2010,2011) B.eq\f(2009,2010)C.eq\f(2011,2012) D.eq\f(2012,2013)[答案]C[解析]f′(x)＝2x＋b，由條件知f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴eq\f(1,fn)＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Sn＝eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋…＋eq\f(1,fn)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(n,n＋1)，∴S2011＝eq\f(2011,2012).第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上．)13．(2014·北京海淀期中)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，則公比q＝________.[答案]2[解析]因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，所以，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，a2＋a4＝(a1＋a3)q，即10＝5q，∴q＝2.14．(2014·北京市海淀區(qū)期末)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－2，a2＝b2＝4，則滿足an＝bn的n的所有取值構(gòu)成的集合是________．[答案]{1,2,4}[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，設(shè)等比數(shù)列{bn}公比為q，所以d＝a2－a1＝6，q＝eq\f(b2,b1)＝－2，所以an＝－2＋6(n－1)＝6n－8，bn＝－2(－2)n－1＝(－2)n，因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}首項(xiàng)為負(fù)，從第二項(xiàng)起均為正數(shù)，等比數(shù)列{bn}奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)、偶數(shù)項(xiàng)為正，所以除首項(xiàng)外當(dāng)an＝bn時(shí)n為偶數(shù)，n＝4時(shí)，a4＝16，b4＝(－2)4＝16，n＝6時(shí)，a6＝28<b6＝(－2)6＝64，因?yàn)閚為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}均遞增，所以當(dāng)n≥2k(k＝3,4,5，…)時(shí)，an<bn.綜上可得滿足an＝bn的n的所有取值為1,2,4.15．(文)(2014·三亞市一中月考)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則eq\f(S4,a2)＝________.[答案]eq\f(15,2)[解析]eq\f(S4,a2)＝eq\f(a11＋q＋q2＋q3,a1q)＝eq\f(15,2).(理)(2014·浙江省五校聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，若a5＋a6＋a7＋a8＝eq\f(15,8)，a6a7＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a5)＋eq\f(1,a6)＋eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＝________.[答案]－eq\f(5,3)[解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a8＝a6a∴eq\f(1,a5)＋eq\f(1,a6)＋eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＝eq\f(a5＋a8,a5a8)＋eq\f(a6＋a7,a6a7)＝eq\f(a5＋a6＋a7＋a8,a6a7)＝eq\f(\f(15,8),－\f(9,8))＝－eq\f(5,3).16．(文)(2014·浙北名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且a1>0，S7＝S10，則使Sn取到最大值的n為_(kāi)_______．[答案]8或9[解析]∵S7＝S10，∴a8＋a9＋a10＝0，∴a9＝0，又a1>0，∴當(dāng)n＝8或9時(shí)，Sn取到最大值．(理)(2014·鄂南高中、孝感高中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}，若點(diǎn)(n，an)(n∈N*)在直線y－3＝k(x－6)上，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11＝________.[答案]33[解析]∵點(diǎn)(n，an)在直線y－3＝k(x－6)上，∴an＝3＋k(n－6)．∴an＋a12－n＝[3＋k(n－6)]＋[3＋k(6－n)]＝6，n＝1,2,3，…，6，∴S11＝a1＋a2＋…＋a11＝5(a1＋a11)＋a6＝5×6＋3＝33.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．)17．(本小題滿分12分)(文)(2014·三亞市一中月考)等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.[解析](1)設(shè){an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2.∴an＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32，設(shè){bn}的公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.))從而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.(理)(2014·北京東城區(qū)聯(lián)考)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．[解析](1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，又a4＝10，可得a3＝10－d，a6＝10＋2d，a10＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比數(shù)列得a3a10＝aeq\o\al(2,6)，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.由d≠0，可得d＝1.a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋6.(2)由bn＝2an(n∈N*)，an＝n＋6，可得bn＝2n＋6.所以b1＝21＋6＝128.因?yàn)閑q\f(bn＋1,bn)＝eq\f(2n＋7,2n＋6)＝2，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為128，公比為2的等比數(shù)列．所以{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(1281－2n,1－2)＝2n＋7－128.18．(本小題滿分12分)(文)(2014·北京朝陽(yáng)區(qū)期中)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*，且a3＋a6＝4，S5＝－5.(1)求an；(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表達(dá)式．[解析](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＋a1＋5d＝4，,5a1＋\f(55－1,2)d＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝2.))則an＝2n－7，n∈N.(2)當(dāng)n≥4時(shí)，an＝2n－7>0，當(dāng)n≤3時(shí)，an＝2n－7<0.則T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝13，Sn＝n2－6n，當(dāng)n≤3時(shí)，Tn＝－Sn＝6n－n2；當(dāng)n≥4時(shí)，Tn＝Sn－2S3＝n2－6n＋18.即Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6n－n2，n≤3，,n2－6n＋18，n≥4，))n∈N*.(理)(2014·安徽程集中學(xué)期中)Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，且S4＝S9，a1＝－12.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)an及Sn；(2)求和Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.[解析](1)∵S4＝S9，a1＝－12，∴4×(－12)＋6d＝9×(－12)＋36d，∴d＝2，∴an＝－12＋2(n－1)＝2n－14，Sn＝－12n＋n(n－1)＝n2－13n.(2)令an＝2n－14≤0，得n≤7，當(dāng)n≤7時(shí)，Tn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝13n－n2，當(dāng)n≥8時(shí)an>0，Tn＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋…＋an)＝Sn－2S7＝n2－13n＋84.19．(本小題滿分12分)(文)(2014·山東省德州市期中)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列(bn>0)，且a1＝b1＝2，a3＋b3＝16，S4＋b3＝34.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記Tn為數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和，求Tn.[解析](1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋2d＋2q2＝16，,8＋6d＋2q2＝34，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝3，,q＝2.))因此an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1，bn＝b1qn－1＝2n.(2)Tn＝2×2＋5×22＋…＋(3n－1)×2n，2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－1)×2n＋1，兩式相減得－Tn＝4＋3×22＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝4＋eq\f(121－2n－1,1－2)－(3n－1)×2n＋1＝－8－(3n－4)2n＋1，故Tn＝(3n－4)2n＋1＋8.(理)(2014·遼寧師大附中期中)已知等比數(shù)列{an}中，公比q∈(0,1)，a2＋a4＝eq\f(5,4)，a1a5＝eq\f(1,4)，設(shè)bn＝eq\f(1,2)nan(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.[解析](1)由題意知：a2·a4＝a1·a5＝eq\f(1,4)，聯(lián)立方程得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝\f(5,4),a2·a4＝\f(1,4).))∵q∈(0,1)，∴a2>a4，∴解方程組得a2＝1，a4＝eq\f(1,4)，∴q＝eq\f(1,2)，a1＝2，∴an＝2×(eq\f(1,2))n－1＝(eq\f(1,2))n－2.(2)由(1)知：an＝(eq\f(1,2))n－2，所以bn＝n(eq\f(1,2))n－1.∴Sn＝1×(eq\f(1,2))0＋2×(eq\f(1,2))1＋3×(eq\f(1,2))2＋…＋(n－1)·(eq\f(1,2))n－2＋n(eq\f(1,2))n－1，①eq\f(1,2)Sn＝1×(eq\f(1,2))1＋2×(eq\f(1,2))2＋…＋(n－2)(eq\f(1,2))n－2＋(n－1)·(eq\f(1,2))n－1＋n(eq\f(1,2))n，②∴①－②得：eq\f(1,2)Sn＝(eq\f(1,2))0＋(eq\f(1,2))1＋(eq\f(1,2))2＋…＋(eq\f(1,2))n－2＋(eq\f(1,2))n－1－n(eq\f(1,2))n＝eq\f(1×[1－\f(1,2)n],1－\f(1,2))－n(eq\f(1,2))n＝2－(eq\f(1,2))n－1－n·(eq\f(1,2))n，∴Sn＝4－(eq\f(1,2))n－2－n(eq\f(1,2))n－1＝4－(n＋2)(eq\f(1,2))n－1.20．(本小題滿分12分)(2014·浙北名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝2an－2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝an·log2an＋1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，即eq\f(an,an－1)＝2，∴數(shù)列{an}為以2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2n.(2)bn＝2n·log22n＋1＝(n＋1)·2n，∴Tn＝2×2＋3×22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n，∴2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，兩式相減得，－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1.21．(本小題滿分12分)(文)(2014·華安、連城、永安、漳平、泉港一中、龍海二中六校聯(lián)考)現(xiàn)在市面上有普通型汽車(chē)(以汽油為燃料)和電動(dòng)型汽車(chē)兩種．某品牌普通型汽車(chē)車(chē)價(jià)為12萬(wàn)元，第一年汽油的消費(fèi)為6000元，隨著汽油價(jià)格的不斷上升，汽油的消費(fèi)每年以20%的速度增長(zhǎng)．其他費(fèi)用(保險(xiǎn)及維修費(fèi)用等)第一年為5000元，以后每年遞增2000元．而電動(dòng)汽車(chē)由于節(jié)能環(huán)保，越來(lái)越受到社會(huì)認(rèn)可．某品牌電動(dòng)車(chē)在某市上市，車(chē)價(jià)為25萬(wàn)元，購(gòu)買(mǎi)時(shí)一次性享受?chē)?guó)家補(bǔ)貼價(jià)6萬(wàn)元和該市市政府補(bǔ)貼價(jià)4萬(wàn)元．電動(dòng)汽車(chē)動(dòng)力不靠燃油，而靠電池．電動(dòng)車(chē)使用的普通鋰電池平均使用壽命大約兩年(也即兩年需更換電池一次)，電池價(jià)格為1萬(wàn)元，電動(dòng)汽車(chē)的其他費(fèi)用每年約為5000元．(1)求使用n年，普通型汽車(chē)的總耗資費(fèi)Sn(萬(wàn)元)的表達(dá)式(總耗資費(fèi)＝車(chē)價(jià)＋汽油費(fèi)＋其他費(fèi)用)；(2)比較兩種汽車(chē)各使用10年的總耗資費(fèi)用．(參考數(shù)據(jù)：(1.24≈2.11.25≈2.51.29≈5.21.210≈6.2)[解析](1)依題意，普通型每年的汽油費(fèi)用為一個(gè)首項(xiàng)為0.6萬(wàn)元，公比為1.2的等比數(shù)列，∴使用n年，汽油費(fèi)用共計(jì)0．6(1＋1.2＋1.22＋…＋1.2n－1)＝eq\f(0.61－1.2n,1－1.2)＝3(1.2n－1)，其他費(fèi)用為一個(gè)首項(xiàng)為0.5萬(wàn)元，公差為0.2萬(wàn)元的等差數(shù)列，故使用n年其他費(fèi)用共計(jì)0.5＋(0.5＋0.2)＋…＋[0.5＋0.2(n－1)]＝0.5n＋eq\f(nn－1,2)×0.2＝0.1n2＋0.4n，∴Sn＝12＋3×1.2n－3＋0.1n2＋0.4n＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9(萬(wàn)元)．(2)由(1)知Sn＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9，∴S10＝3×1.210＋0.1×102＋0.4×10＋9≈3×6.2＋10＋13＝41.6(萬(wàn)元)，又設(shè)T10為電動(dòng)型汽車(chē)使用10年的總耗資費(fèi)用，則T10＝25－6－4＋eq\f(10,2)×1＋0.5×10＝25(萬(wàn)元)，41．6－25＝16.6(萬(wàn)元)，∴使用10年，普通汽車(chē)比電動(dòng)型汽車(chē)多花費(fèi)16.6萬(wàn)元．答：(1)使用n年，普通型汽車(chē)的總耗資費(fèi)用Sn＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9，(2)使用10年，普通型汽車(chē)比電動(dòng)型汽車(chē)多花費(fèi)16.6萬(wàn)元．(理)(2014·湖南省五市十校聯(lián)考)學(xué)校餐廳每天有500名學(xué)生就餐，每星期一有A，B兩種套餐可選，每個(gè)學(xué)生任選一種，其中A是本校的傳統(tǒng)套餐，B是從外校引人的套餐．調(diào)查資料表明，若在這星期一選A套餐的學(xué)生，下星期一會(huì)有eq\f(1,5)的學(xué)生改選B套餐；而選B套餐的學(xué)生，下周星期一會(huì)有r(0<r<eq\f(4,5))的學(xué)生改選A套餐，用an，bn分別表示在第n個(gè)星期選A套餐的人數(shù)和選B套餐的人數(shù)．(1)用an－1表示an；(2)若r＝eq\f(3,10)，且選A套餐的學(xué)生人數(shù)保持不變，求a1；(3)根據(jù)調(diào)查，存在一個(gè)常數(shù)k，使得數(shù)列{an－k}為等比數(shù)列，且k∈[250,300]，求r的取值范圍．[解析](1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝\f(4,5)an－1＋rbn－1，,an－1＋bn－1＝500，))∴an＝eq\f(4,5)an－1＋r(500－an－1)，得an＝(eq\f(4,5)－r)an－1＋500r.(2)∵r＝eq\f(3,10)，∴an＝eq\f(1,2)an－1＋150＝an－1，∴an－1＝300，∴a1＝300.(3)∵{an－k}是等比數(shù)列，∴an－k＝(eq\f(4,5)－r)(an－1－k)，得an＝(eq\f(4,5)－r)an－1＋(eq\f(1,5)＋r)k，∴(eq\f(1,5)＋r)k＝500r，得k＝eq\f(2500r,5r＋1)，∵k∈[250,300]，∴250≤eq\f(2500r,5r＋1)≤300，∴eq\f(1,5)≤r≤eq\f(3,10).22．(本小題滿分14分)(文)(2014·長(zhǎng)安一中質(zhì)檢)已知{an}為等比數(shù)列，a1＝2，a3＝18，{bn}是等差數(shù)列，b1＝2，b1＋b2＋b3＋b4＝a1＋a2＋a3>20.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)Pn＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2，Qn＝b10＋b12＋b14＋…＋b2n＋8，其中n∈N＋，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明．[解析](1)設(shè){an}的公比為q，由a3＝a1q2得，q2＝eq\f(a3,a1)＝9，∴q＝±3.當(dāng)q＝－3時(shí)，a1＋a2＋a3＝2－6＋18＝14<20，這與a1＋a2＋a3>20矛盾．當(dāng)q＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝2＋6＋18＝26>20，符合題意．設(shè){bn}的公差為d，由b1＋b2＋b3＋b4＝26得，4b1＋eq\f(4×3,2)d＝26，又b1＝2，∴d＝3，∴bn＝3n－1.∴Sn＝eq\f(nb1＋bn,2)＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(1,2)n.(2)∵b1、b4、b7，…，b