(學(xué)案)5.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和Word版含答案

第二節(jié)前和1．等念(1定義：①文字語(yǔ)言：從第2項(xiàng)．?dāng)?shù).2(2)中：列aAb成等差是a＋b，其中A做ab等2中．2．等式22前．223．等質(zhì)且則(3a為則aakakm…N為md差．若前項(xiàng)和列Sm，S2－Sm，S3－S2m，…也是等．1．巧(1為－a，ad.(2為－a＋d定．2．論偶－S奇S偶

aa-1-S奇S奇a≥0，m 1a＞0dm 1am＋1≤0

的數(shù)m得值Sm；a≤0，m若a1＜，m若a1am＋1≥0

的數(shù)m得值Sm.3．?dāng)?shù)≠0；d dd d若則于( )A3 B．4C．5 D6：A )A1 B．2C．3 D4：B243．(求前項(xiàng)和列5，7，37前和24＝_______．5答案：145：項(xiàng)列a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝_______．答案105現(xiàn)用從1960m空第1秒落4.90，落90m，那么經(jīng)___秒面．：0-2-題型一等力[例析][例] (1)(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和若3S3＝S2＋S4a1＝2，則a5＝( )A－2 －0 C．0 ．2解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3S3＝S2＋S4， 222得33a1＋3×（3－1）d＝2a1＋2×（2－1）d＋4a1＋4×（4－1）d將a1 222得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.：B(2)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為( )A1 B．2C．4 D82解析：a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋6×52

2a＋7d＝24，①1d＝48，聯(lián)立6a1＋15d＝48，1①×－得6d＝24，∴d＝4.：C(3)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為整數(shù)，且a1＝－5，a3a4＝－1，則|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( )A70 B．8C．51 D0解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，得d∈Z，-3-6222221122222 22因?yàn)閍1＝－5，以a3a4＝(－5＋2d)(－5＋3d)＝－1，化簡(jiǎn)得6222221122222 222或d＝13(去)以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×（1＋13）＝.：B法結(jié)列通法(1項(xiàng)a1差d，然后由通項(xiàng)公式或前n公組．(2前n量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就．[點(diǎn)練]1．已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10＝( )A7 B19C．10 D2：為a1，則S8＝8a1＋8×（8－1）×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋4×（4－1）×1＝4a1＋6，因?yàn)镾8＝4S4，即8a1＋28＝16a1＋24，所以a1＝2則a10＝a1＋(10－1)·d＝2＋99.：B2．若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝S18，則S22于( )A0 B．2C－1 D－2：為d，由S4＝S18得4a1＋4×3d＝18a1＋18×17d，a1＝－21d，以S22＝22a1＋22×21d＝22×－21d＋21d＝0.：A-4-S有＋S有＋＝題型二明[例析]型1 法[例1] (2021·江蘇南京模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，1a1＝2.11(1)求證：Sn差；(2)求a1：為an＝Sn－Sn－1(n≥2)，11又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，又Sn≠0.因此Sn－Sn－1＝2(n≥2).故由等差111SS

S以11S

1＝a1＝2，2．1(2)由(知1n

1＝S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，11即Sn＝2n.11當(dāng)n≥2有an＝－2Sn·Sn－1＝－2n（n－1），11＝2為a1＝2，1（1＝21以an －2n（n－1）（n≥2）.1型2 等差法例2] 已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.若S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成數(shù)．：由S3，S9，S6得S3＋S6＝2S9.若q＝1，則3a1＋6a1＝18a1，解得a1＝0，這與{an}是等比數(shù)列矛盾，所以q≠1，a1（1－q3）1－q

a1（1－q6）1－q

2a1（1－q9）1－q

得q3＋q6＝2q9.111為q≠0且q≠1，所以q3＝－2，a8＝a2q6＝4a2，a5＝a2q3＝－2a2，111-5-1，111223a111所以2a8＝a2＋a5，即a8－a2＝a5－a81，111223a111型3 法例3] (2020·高考全國(guó)卷Ⅲ節(jié)選)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3an＋1＝3an－4n.計(jì)算a2a3猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明．解析：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1.得an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，…，a2－5＝3(a1－3).因?yàn)閍1＝3，所以an＝2n＋1.法結(jié)判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1意n∈N*，an＋1－an．用)(2意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1.(證明用)(3式an是n．(4前n前n式Sn是n為.醒．[組破]1在數(shù)列{an}中若a1＝1a2＝2

2an＋1

＝an＋an＋2(n∈N*)則該數(shù)列的通項(xiàng)為( )A．a(chǎn)n＝nC．a(chǎn)n＝n＋2

B．a(chǎn)n＝n＋1D．a(chǎn)n＝n：由2n＋1

＝an＋an＋2(n∈N*)可知數(shù)列an是．-6-aa首項(xiàng)為1＝，1＝2差＝1，1 2aa11an＝1＋(n1)·1＝an＝n.答案A111112．如果ab，c成列相ab，c解111一．a(chǎn)bc為＝＋q且c，1111而a，b，c為yn＋q的．1111111故a，b，c不．111型三等用析]型1 質(zhì)例] (1記Sn列{an}前n項(xiàng)若aa5＝24S6＝8則{an}為( )A1 B．2C．4 D82：S66（a1＋a）＝3(a1＋a6＝a3＋a4)＝4，2∴a3＋a＝6.又∵a＋a5＝4，∴(a4＋a5)－a3＋a4)8，∴2＝8∴＝.：C(2)已知{an為等差，1＋a3＋a5，a2a4＋6＝99則a20于( )A7 B．3C－1 D1：由{an及a1＋a＋a55，得3a35即a3＝35，-7-＝2由{an}是等差數(shù)列及a2＋a4＋a6＝99，得3a4＝99，即a4＝33＝2差d＝a4－a3＝－2，則a20＝a3＋(20－3)d＝35－34＝1.答案D型2 質(zhì)例] (1)一個(gè)正項(xiàng)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為3前3n項(xiàng)的和為21則前2n為( )A8 B．2C．10 D6解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，即2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n).∵Sn＝3，S3n＝21，∴2(S2n－3)＝3＋21－S2n，解得S2n＝10.：C(2)(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15.①求{an}的通項(xiàng)公式；②求Sn，并求Sn．解析：①設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.由得S a1＋ann

·n＝n2－8n＝(n－4)2－16，當(dāng)n＝4時(shí)，Sn－.法結(jié)1．巧就．-8-d dd dmmS＝bb＝a3S5＝d dd dmmS＝bb＝a3S5＝果a＞＜0正或)項(xiàng)或)則者．果a＜0d＞或或則者．3：a≥0，a1>0d0am＋1≤0，a≤0，a1<0d0am＋1≥0，

值S；值Sm.[組破]·前為前為

2

，則a3＝( )3A8 B．59C．530 D31

b3＝T5

2018×513×54

＝.：D前為S若S96則a解析：S3，S－S3，S－S6，即97S9－S6，∴a7＋a＋a9S9－S627－＝5.案5為前為當(dāng)取最大值則d為___．-9-22d＜0，解析當(dāng)n＝8時(shí)Sn有a8＞0，a9＜0

d＜0，即7＋7＞0，7＋8＜07－1＜－8.7 7答案：－1 7研考回義本式1．(2019·高全國(guó)卷Ⅰ記Sn列{an}前n項(xiàng)和．已知S＝0a5＝則( )Aan＝2－5 B．a(chǎn)＝3－01C．S＝2n－8n DSn2n2－2n1：為a1，為d.a＋4＝5，1由S4＝，a554a1＋61由S

a－，1解d＝1以a－＋(n－)n－5，2Sn＝n·(－n（n1）2：A2．(2020·高考山東卷)將數(shù)列{n－1}與{3n－}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為_．：一法){2－為3，57，，1，3列3n－}的為，，70，3，…為，7，3…是為1為6則an＝＋(－＝6n5，前n為S n（a1an）＝2＝2

＝n（16n5）＝3n－2n.二(法)令n＝2n1cm3－b＝cm則2n1＝－2即m＝n＋1m令an＝n－.-10-22．答案：3n2－2n3(2020·高考全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝－2a2＋a6＝2則S0＝_______．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＋a6＝2a1＋6d＝2.為a1＝－2，所以d＝1，2以S10＝10×(－2)0×9×1＝2.2：5S54．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1≠0，a2＝3a1，則S10S5____.解析由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，2以S1010a110×9d＝100a1，2S5＝5a1＋5×4：4養(yǎng)華

S1d＝25a，所以S10.5S1學(xué)化1盤十題把96斤給8照年齡從大到