2023學(xué)年完整公開(kāi)課版命題的否定

1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定探究（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇函數(shù)；（3）它們與原命題在形式上有什么變化？定義全稱量詞命題：它的否定：也就是，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.例1寫出下列全稱量詞命題的否定（1）所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；（2）每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上（3）對(duì)任意的個(gè)位數(shù)字不等于3解答（1）該命題的否定：存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)（2）該命題的否定：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上.（3）該命題的否定：的個(gè)位數(shù)字等于3.探究寫出下列命題的否定：（1）存在一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；（2）有些平行四邊形是菱形；（3）它們與原命題在形式上有什么變化？定義存在量詞命題：它的否定：也就是，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

命題否定?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）?x∈M，﹁p（x）?x∈M，﹁p（x）總之，全稱量詞命題、存在量詞命題的否定要注意兩個(gè)變、一個(gè)不變．“?”與“?”互變，結(jié)論“p”變?yōu)椤唉鑠”，條件中的范圍不變．新知探究例2寫出下列存在量詞命題的否定：（1）（2）有的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù).例2寫出下列存在量詞命題的否定：（1）（2）有的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù).解:（1）該命題的否定：（2）該命題的否定：所有的三角形都不是等邊三角形（3）該命題的否定：任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)例3寫出下列命題的否定，并判斷真假：（1）任意兩個(gè)等邊三角形都相似（2）解:（1）該命題的否定：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似（2）該命題的否定：練習(xí)1.寫出下列命題的否定（1）（2）任意奇數(shù)的平方還是奇數(shù)；（3）每個(gè)平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形練習(xí)1.寫出下列命題的否定（1）（2）任意奇數(shù)的平方還是奇數(shù)；（3）每個(gè)平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形解（1）（2）存在奇數(shù)的平方不是奇數(shù)（3）存在平行四邊形不是中心對(duì)稱圖形練習(xí)2.寫出下列命題的否定（1）有些三角形是直角三角形（2）有些梯形是等腰梯形（3）存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)練習(xí)2.寫出下列命題的否定（1）有些三角形是直角三角形（2）有些梯形是等腰梯形（3）存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)解:（1）所有三角形都不是直角三角形（2）所有的梯形都不是等腰梯形（3）所有的實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)練習(xí)3.設(shè)命題p：?x∈(-1，1)，|x|<1，則﹁p為(

)A.?x∈(-1，1)，|x|<1

B.?x∈(-1，1)，|x|≥1C.?x∈(-1，1)，|x|≥1 D.?x?(-1，1)，|x|≥1【解析】選B.命題p是全稱量詞命題，其否定﹁p為?x∈(-1，1)，|x|≥1.練習(xí)4.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出這些命題的否定.(1)有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除.(2)?x∈Z，與3的和不等于0.(3)有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都為60°.(4)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線.解答【解析】(1)是存在量詞命題，否定為：每一個(gè)奇數(shù)都能被3整除.(2)是全稱量詞命題，否定為：?x∈Z，與3的和等于0.(3)是存在量詞命題，否定為：任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不都為60°.解答(4)是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意”，即“任意一條與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線”，否定為：存在一條與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不是圓的切線.常見(jiàn)的詞語(yǔ)的否定有哪些？原詞否定詞原詞否定詞等于不等于至多一個(gè)至少兩個(gè)大于不大于至少一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有小于不小于任意某個(gè)是不是所有的某些都是不都是題型三全稱量詞命題與存在量詞命題的綜合應(yīng)用例4已知命題p：?x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立.求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

令y＝x2＋4x－1，x∈R，則y＝(x＋2)2－5≥－5，因?yàn)?x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可.所以所求m的取值范圍是{m|m<－5}.變式訓(xùn)練1.把本例中的條件變?yōu)椋骸按嬖趯?shí)數(shù)x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

令y＝－x2＋4x－1，因?yàn)閥＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，又因?yàn)?x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函數(shù)的最大值即可，所以所求m

的取值范圍是{m|m<3}.2.把本例中的條件“?x∈R”改為“?x≥1”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

令y＝x2＋4x－1，x≥1，則y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4，因?yàn)?x≥1，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<4即可.所以所求m的取值范圍是{m|m<4}.總結(jié)：求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略(1)對(duì)于全稱量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin).(2)對(duì)于存在量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax).跟蹤訓(xùn)練3已知命題p：?x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且p是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

因?yàn)?/p>

p是假命題，所以p是真命題，又?x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2}?{x|a－4≤x≤a＋5}，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3≤a≤1.3當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1.命題“?x>0,2x2＝5x－1”的否定是A.?x>0,2x2≠5x－1 B.?x≤0,2x2＝5x－1C.?x>0,2x2≠5x－1 D.?x≤0,2x2＝5x－1√解析存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.2.(多選)關(guān)于命題p：“?x∈R，x2＋1≠0”的敘述，正確的是A.p：?x∈R，x2＋1＝0B.p：?x∈R，x2＋1＝0C.p是真命題，p是假命題D.p是假命題，p是真命題√解析命題p：“?x∈R，x2＋1≠0”的否定是“?x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命題，p是假命題.√3.命題“同位角相等”的否定為_(kāi)_________________.解析全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故否定為：有的同位角不相等.有的同位角不相等4.（1）已知?x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求實(shí)數(shù)m的取值范圍________________；（2）已知?x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求實(shí)數(shù)m的取值范圍________________；解析(1)對(duì)于全稱量詞命題“?x∈M，m≥x”的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求x的最大值，即m≥xmax(2)對(duì)于存在量詞命題“?x∈M，m≥x”的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求x的最小值，即m≥xmin.

{m|m≥3}{m|m≥1}5.若命題“?x∈R，x2－4x＋a≠0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析

∵命題?x∈R，x2－4x＋a≠0為假命題，∴?x∈R，x2－4x＋a＝0是真命題，