幾何算術(shù)平均收斂公式

關(guān)于幾何算術(shù)平均收斂公式第1頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三兩個(gè)重要的極限§1-4第2頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三預(yù)備知識(shí)1.有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí)2.有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù)y=logex，叫做自然對(duì)數(shù)，在工程技術(shù)中經(jīng)常被運(yùn)用，常簡記為y=lnx.數(shù)e

是一個(gè)無理數(shù)，它的前八位數(shù)是：

e=2.7182818第3頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三3.有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的知識(shí)4.無窮小量定義在某個(gè)變化過程中，以0為極限的變量稱為在這個(gè)變化過程中的無窮小量，常用字母性質(zhì)

無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量.第4頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三5.極限的運(yùn)算法則第5頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三X10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998X－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一個(gè)重要極限第6頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三OxBACD證第7頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解這個(gè)結(jié)果可以作為公式使用例1

求第8頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三例

2

注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計(jì)算：第9頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)1.求下列極限:第10頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第11頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三

例

3

解例

4

解第12頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三思考題第13頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)3：下列等式正確的是（）

．

練習(xí)4：下列等式不正確的是（）第14頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)5.下列極限計(jì)算正確的是（）練習(xí)6.已知當(dāng)（）時(shí)，為無窮小量.

第15頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三，當(dāng)

時(shí)，為無窮小量．

練習(xí)7.已知練習(xí)8.練習(xí)9.第16頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三

X-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828

X10100100010000100000…2.5942.7052.7172.7182.71827第二個(gè)重要極限第17頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第18頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第19頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解因?yàn)樗?，有?/p>

1第20頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三例

2

解

方法一令u=-x，因?yàn)閤0時(shí)u0，所以第21頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三方法二掌握熟練后可不設(shè)新變量第22頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三例3解

第23頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)1.解第24頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)2.解第25頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)3.解第26頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三兩個(gè)重要極限:小結(jié)第27頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)題第28頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第29頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三思考題解因?yàn)樗粤顄=x

-3

，當(dāng)x

時(shí)u

，因此第30頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第一章作業(yè)2作業(yè)第31頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三附錄兩個(gè)重要極限的證明第32頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三OxRABC證

AOB

面積<扇形AOB

面積<AOC

面積,即例兩個(gè)重要極限的證明第33頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三因?yàn)樗栽俅芜\(yùn)用定理6即可得≤≤第34頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三重要極限1

其中的兩個(gè)等號(hào)只在x=0時(shí)成立.證設(shè)圓心角過點(diǎn)A作圓的切線與OB的延長線交于點(diǎn)C，又作則sinx=BD，tanx=AC，第35頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第36頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三這就證明了不等式(7).從而有第37頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第38頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三重要極限2證第39頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第40頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三這是重要極限2常用的另一種形式.第41頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三分析：此是一個(gè)和式的極限，顯然第一項(xiàng)及第二項(xiàng)函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運(yùn)算法則求解。極限綜合練習(xí)題(一)

第42頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第43頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三例3求下列極限：第44頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解：當(dāng)x從0的左側(cè)趨于0時(shí)，當(dāng)x從0的右側(cè)趨于0時(shí),第45頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三例5求下列極限分析：本例中均是求分式的極限問題，且在各自的極限過程中，分子、分母的極限均為零，不能直接用極限商的運(yùn)算法則。求解此類極限的關(guān)鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解。尋找致零因式常用的方法為：①若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；②若是無理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。第46頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。第47頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三求解。又當(dāng)x→0時(shí)，ax→0，bx→0，于是有第48頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三分析：當(dāng)x→0時(shí)，分子，分母的極限均為0，且分子是一個(gè)無理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1個(gè)重要極限。第49頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第50頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解法2：第51頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三分析：當(dāng)x→0時(shí)，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極限的運(yùn)算法則，但前面所介紹“分解因式”、“有理化”的方法在此又不適用。能否利用第1個(gè)重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?。?2頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解：因當(dāng)x→∞時(shí)，sinx的極限不存在，故不能用極限的運(yùn)算法則求解，考慮到第53頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三第54頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解1.求極限:極限綜合練習(xí)題(二)

第55頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即2.求下列極限：第56頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解:對(duì)分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第一重要極限計(jì)算，即3.求下列極限：第57頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三分析：此極限屬于時(shí)有理分式的極限問題，且m=n，可直接利用上述結(jié)論得出結(jié)果，也可用分子、分母同除以x15來計(jì)算。解：分子分母同除以x15，有第58頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三=22+1=5解5.求第59頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解6.

求極限第60頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三解：容易算出分式分子的最高次項(xiàng)是，分式分母的最高次項(xiàng)是，所以7.

求極限第61頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三8.求極限第62頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三9.設(shè)函數(shù)問：（1）當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在x=0右連續(xù)；（2）a,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處有極限存在；（3）當(dāng)a,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)。處右連續(xù)。在時(shí)，。故當(dāng)，從而，，又右連續(xù)，須有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(====?==?=++xxfaa