函數(shù)的單調(diào)性定義

關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性定義第1頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三問題提出德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：時(shí)間間隔t剛記憶完畢20分鐘后60分鐘后8-9小時(shí)后1天后2天后6天后一個(gè)月后記憶量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明，記憶量y是時(shí)間間隔t的函數(shù).艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”,如圖.123tyo20406080100第2頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三函數(shù)的單調(diào)性思考1:當(dāng)時(shí)間間隔t逐漸增大你能看出對應(yīng)的函數(shù)值y有什么變化趨勢？通過這個(gè)試驗(yàn)，你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識?思考2:“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋？tyo20406080100123第3頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：

1、從左至右圖象上升還是下降____? 2、在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升第4頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三1、在區(qū)間____上，f(x)的值隨著x的增大而______．2、在區(qū)間_____上，f(x)的值隨著x的增大而_____．

f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大減小畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：

圖象在y軸左側(cè)”下降“圖象在y軸右側(cè)”上升“第5頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…第6頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三思考：如圖為函數(shù)f(X)在定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的圖象，對于該區(qū)間上任意兩個(gè)自變量x1和x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系如何？思考:我們把具有上述特點(diǎn)的函數(shù)稱為增函數(shù)，那么怎樣定義“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)”？yxox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)對于函數(shù)定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，若當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).

第7頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三考察下列兩個(gè)函數(shù):xyoxoy二者有何共同特征？ f(x)=-xf(x)=x2(x<0)第8頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三思考：如圖為函數(shù)f(X)在定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的圖象，對于該區(qū)間上任意兩個(gè)自變量x1和x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系如何？思考:我們把具有上述特點(diǎn)的函數(shù)稱為減函數(shù)，那么怎樣定義“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)”？對于函數(shù)定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，若當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).

xyox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)第9頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三一、函數(shù)單調(diào)性定義

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．

1．增函數(shù)第10頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．2．減函數(shù)

第11頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

二．函數(shù)的單調(diào)性定義第12頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三（1）對于某函數(shù)，若在區(qū)間(0，+∞)上，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3

，能否說在該區(qū)間上y隨x的增大而增大呢?問題：xy21013思考第13頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三（2）若x＝1，2，3，4，時(shí)，相應(yīng)地y＝1，3，4，6，能否說在區(qū)間(0，+∞)上，y隨x的增大而增大呢？xy10342第14頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三（3）若有n個(gè)正數(shù)x1<x2<x3<······<xn，它們的函數(shù)值滿足:y1<y2<y3<······<yn．能否就說在區(qū)間(0，+∞)上y隨著x的增大，而增大呢？

若x取無數(shù)個(gè)呢?

xyx10x2x3xny1y2y3yn第15頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三思考:一般地，若函數(shù)在區(qū)間A、B上是單調(diào)函數(shù)，那么在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)嗎？注意：

1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2、必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)

分別是增函數(shù)和減函數(shù).第16頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三yoxoyxyoxyoxyox在增函數(shù)在減函數(shù)在增函數(shù)在減函數(shù)在(-∞,+∞)是減函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)是減函數(shù)在(-∞,+∞)是增函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)是增函數(shù)yox第17頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三例1、下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個(gè)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]

其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)是減函數(shù)， 在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù)。第18頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三例2、物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以，函數(shù)是減函數(shù).也就是說，當(dāng)體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.取值定號變形作差結(jié)論第19頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三三．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3變形（通常是因式