第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣演示文稿

第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣演示文稿本文檔共29頁；當(dāng)前第1頁；編輯于星期三\15點26分（優(yōu)選）第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣本文檔共29頁；當(dāng)前第2頁；編輯于星期三\15點26分2、方陣行列式的性質(zhì)（1）設(shè)

A，B均為n階方陣（2）（3）推廣：為同

階方陣,則特別地：本文檔共29頁；當(dāng)前第3頁；編輯于星期三\15點26分例1設(shè)解求本文檔共29頁；當(dāng)前第4頁；編輯于星期三\15點26分注：例2設(shè)其中是數(shù),

求及解一般地本文檔共29頁；當(dāng)前第5頁；編輯于星期三\15點26分4、退化矩陣：設(shè)

A為n階方陣,若則稱

A是非若則稱

A是退化如：∵∴A是非退化矩陣。退化的或非奇異的；的或奇異的。本文檔共29頁；當(dāng)前第6頁；編輯于星期三\15點26分第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣一、逆矩陣的定義二、逆矩陣判斷及計算三、逆矩陣的性質(zhì)本文檔共29頁；當(dāng)前第7頁；編輯于星期三\15點26分一、逆矩陣的定義單位陣具有與數(shù)1在數(shù)的乘法中類似的性質(zhì).在矩陣乘法中，對于任意n階方陣A都有類似地,引入逆矩陣的概念而對于任意數(shù)，若,則存在使得本文檔共29頁；當(dāng)前第8頁；編輯于星期三\15點26分對于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得成立，則矩陣A稱為可逆矩陣，B

稱為A

的定義：逆矩陣或逆陣。

的逆矩陣是.

由于所以是可逆矩陣,且例如,說明：零矩陣不是可逆矩陣。本文檔共29頁；當(dāng)前第9頁；編輯于星期三\15點26分

同樣,當(dāng)都不為零時,由本文檔共29頁；當(dāng)前第10頁；編輯于星期三\15點26分是其逆矩陣.知對角矩陣是可逆矩陣,且

一般地,若都不為零,則對角矩陣是對角矩陣的逆矩陣本文檔共29頁；當(dāng)前第11頁；編輯于星期三\15點26分例因為即所以A為可逆矩陣，B

為A

的逆矩陣。同理A也是B

的逆矩陣,A、B

互為逆矩陣。本文檔共29頁；當(dāng)前第12頁；編輯于星期三\15點26分注：這是因為:如果方陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯一的.所以A的逆矩陣是唯一的.

今后將A的逆矩陣記作.

B、C都是A逆矩陣,則有即若AB=BA=E,則本文檔共29頁；當(dāng)前第13頁；編輯于星期三\15點26分注1并不是A的-1次方，不能寫成的形式。問題是否所有的方陣都可逆呢？否則，如何判別矩陣是否可逆？若A為可逆矩陣，如何求本文檔共29頁；當(dāng)前第14頁；編輯于星期三\15點26分二.矩陣可逆的判別、逆矩陣的求法方陣可逆的必要條件：命題：設(shè)A可逆,則它有逆矩陣使得從而若A可逆,則證：所以本文檔共29頁；當(dāng)前第15頁；編輯于星期三\15點26分伴隨矩陣:稱為矩陣A

的伴隨矩陣.設(shè)行列式的各所構(gòu)成的如下矩陣個元素的代數(shù)余子式注：中第i行第j列處的元素是而不是問題：上述必要條件是不是充分的？即若,A一定可逆嗎？本文檔共29頁；當(dāng)前第16頁；編輯于星期三\15點26分例1.設(shè)求A

的伴隨矩陣.解:本文檔共29頁；當(dāng)前第17頁；編輯于星期三\15點26分本文檔共29頁；當(dāng)前第18頁；編輯于星期三\15點26分例2:設(shè)A

為n階方陣,是A

的伴隨矩陣,計算本文檔共29頁；當(dāng)前第19頁；編輯于星期三\15點26分所以

同理故有當(dāng)時，我們有從而A可逆,且本文檔共29頁；當(dāng)前第20頁；編輯于星期三\15點26分

這樣我們得到下述定理：說明：定理:

n階方陣A是可逆的充分必要條件是即A是非退化的,而且

該定理給出了判斷一個矩陣是否可逆的一種方法，并且給出了求逆矩陣的一種方法，稱之為伴隨矩陣法。本文檔共29頁；當(dāng)前第21頁；編輯于星期三\15點26分例3：設(shè)判斷A是否可逆？若可逆，求出解：因為所以A可逆，且本文檔共29頁；當(dāng)前第22頁；編輯于星期三\15點26分因為所以本文檔共29頁；當(dāng)前第23頁；編輯于星期三\15點26分下面給出判別矩陣可逆的更簡便的方法：命題：設(shè)A、

B為n階方陣，若則，A、B

都可逆，且因為所以因此有故A、

B

都可逆,則有證：本文檔共29頁；當(dāng)前第24頁；編輯于星期三\15點26分說明：

該命題給出了判斷一個方陣是否可逆的一種方法，同時又可以立即寫出可逆矩陣的逆矩陣問題：可逆矩陣有哪些性質(zhì)？本文檔共29頁；當(dāng)前第25頁；編輯于星期三\15點26分若A可逆，則也可逆，且性質(zhì)1：性質(zhì)2：若A可逆，則也可逆，且因為所以證：三.性質(zhì)本文檔共29頁；當(dāng)前第26頁；編輯于星期三\15點26分若A可逆，數(shù)

則kA可逆,且若A、

B

都可逆，則AB

也可逆，且因為

所以證：性質(zhì)3：性質(zhì)4：本文檔共29頁；當(dāng)前第27頁；編輯于星期三\15點26分若n階方陣可逆，則若A可逆，則因為A可逆，