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關(guān)于函數(shù)連續(xù)性定義和間斷點(diǎn)第1頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三第2頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三第3頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性可見,函數(shù)在點(diǎn)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;1.定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且第4頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三注意:在點(diǎn)連續(xù),則極限運(yùn)算和函數(shù)運(yùn)算可以交換順序。即:(1)若(2)函數(shù)存在例1:討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性第5頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三2.函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義定義:設(shè)函數(shù)自變量由變到,則叫做自變量的增量;相應(yīng)的函數(shù)值由變到,則叫做函數(shù)值的增量(改變量)第6頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三當(dāng)時(shí),有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:右連續(xù)左連續(xù)第7頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三例2.證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).定義1:若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).同理可證:函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).3.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).第8頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.由例2知函數(shù)及在其定義域區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的第9頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三二、函數(shù)的間斷點(diǎn)若函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù),則稱在點(diǎn)間斷,稱為間斷點(diǎn).
在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):則下列情形之一函數(shù)
在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且在無(wú)定義;第10頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三1.可去間斷點(diǎn),則稱為的可去間斷點(diǎn)但如果,而在點(diǎn)無(wú)定義,或者有定義例2:設(shè),討論在x=1的連續(xù)性第11頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三注意:可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例3:設(shè),討論在x=0處的連續(xù)性解:第12頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三2.跳躍間斷點(diǎn)例4:解則稱為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)如果在點(diǎn)存在左、右極限,但第13頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):3.第二類間斷點(diǎn)則稱為的第二類間斷點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)的左、右極限至少有一個(gè)不存在,例5:處的連續(xù)性在討論函數(shù)第14頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三例6解第15頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三例7解第16頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見下圖)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在第17頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyx可去型oyx第18頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性性質(zhì)1:(局部有界性)若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)則存在的一個(gè)鄰域及定值,當(dāng)時(shí),有。當(dāng)時(shí),性質(zhì)2:(局部保號(hào)性)若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),則存在的一個(gè)鄰域,有第19頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三性質(zhì)3:(連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則)例如:例1:證明函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的。第20頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三性質(zhì)4:(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)例2:討論函數(shù)的連續(xù)性。在上連續(xù),在上各自連續(xù)連續(xù),解:函數(shù)可以看做是由,復(fù)合而成的,在上各自連續(xù)。所以第21頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三性質(zhì)5:(反函數(shù)的連續(xù)性)
連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增(遞減)的反函數(shù)必是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增(遞減)的函數(shù).五、初等函數(shù)的連續(xù)性定理2:一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.例如,定理1:基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.第22頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三備用題
確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.解:間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn).第23頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三1、解右連續(xù)但不左連續(xù),第24頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三2、解第25頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個(gè)定理;兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性.第26頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三思考題第27頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三思考題解答是它的可去間斷點(diǎn)第28頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三練習(xí)題第29頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三第30頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三第31頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三練習(xí)題答案第32頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)第33頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)無(wú)定義、值太高、值太低跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)第34頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒有支撐,我掉下去了!!!注意到:這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).第35頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒有支撐,我掉下去了!!!注意到:這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好,連上了,我和其他的點(diǎn)連上了!第36頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著,又有個(gè)洞,我還是掉下去了!!!●注意到:這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好,連上了,我和其他的點(diǎn)連上了!第37頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去,唉,只能在下面呆著了!!!●●注意到:這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好,連上了,我和其他的點(diǎn)連上了!第38頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三間斷的演示●●哎呀,前不著村,后不著店的,就是能單邊撐著,也靠不住啊,我還是掉下去了!!!●注意到:這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn).
這點(diǎn)放哪兒能接上呢?●第39頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三間斷的演示●●哎,小紅點(diǎn),你跑哪去了?快救救我,我要跑到未知世界去了!這種間斷點(diǎn)稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)第40頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三間斷的演示●:Hi,小紅點(diǎn),你能不能停???我怎么也停不住,那可怎么連上???●:Hi,小藍(lán)點(diǎn),你停不住,我也停不住啊。還想連上,你可真逗!●●●●這種間斷點(diǎn)稱為震蕩間斷點(diǎn)。第41頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三有界定理;最值定理;零點(diǎn)定理;介值定理.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例3.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=
,b=
.提示:第42頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三1.當(dāng)時(shí),較等價(jià)無(wú)窮小量(B)同階無(wú)窮小量(C)低階無(wú)窮小量(D)高階無(wú)窮小量是()課堂測(cè)驗(yàn)第43頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三2.下列各式中正確的是()
B
CDA第44頁(yè),講稿共48頁(yè),2023年5月2日,星期三3.無(wú)窮小量是()A比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù)
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