集合的基本運(yùn)算

集合的基本運(yùn)算

本節(jié)課是集合這一章的核心內(nèi)容，也是高考?？伎键c(diǎn)之一，因此必須掌握并集、補(bǔ)集和交集的概念。集合的基本運(yùn)算是在學(xué)習(xí)集合定義和性質(zhì)后學(xué)到的，它對于日后學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間等內(nèi)容具有知識(shí)儲(chǔ)備作用。課程目標(biāo)：A.理解并集和交集的含義，能夠用不同的描述法表示集合。B.理解給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能夠求給定子集的補(bǔ)集。C.能夠使用韋恩圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算方法。D.能夠進(jìn)行集合的數(shù)學(xué)運(yùn)算，包括集合相等時(shí)的參數(shù)計(jì)算和將集合的描述法轉(zhuǎn)化為列舉法時(shí)的運(yùn)算。E.能夠利用數(shù)軸和圖形表示法來直觀地想象數(shù)集和集合。F.能夠運(yùn)用集合思想對實(shí)際生活中的對象進(jìn)行判斷和歸類。教學(xué)重點(diǎn)：并集、交集和補(bǔ)集的概念。教學(xué)難點(diǎn)：如何理解并集、交集和補(bǔ)集，以及如何進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算。知識(shí)梳理：1.集合的運(yùn)算：A∩B={x|x∈A且x∈B}，表示A和B的交集。A∪B={x|x∈A或x∈B}，表示A和B的并集。?UA={x|x∈U且x?A}，表示A的補(bǔ)集。2.集合運(yùn)算的性質(zhì)：A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪?=A，A∪B=A?B?A，A?(A∪B)。A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩?=?，A∩B=A?A?B，A∩B?A∪B，A∩B?A，A∩B?B。A∪(?UA)=U，A∩(?UA)=?，?U(?UA)=A。題型探究：類型一：并集、交集的性質(zhì)應(yīng)用。例1：已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x<－1或x>5}，若A∪B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：首先要準(zhǔn)確翻譯題目中的條件，例如“A∪B=B”等，然后將其轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系。在翻譯時(shí)，不要忘記空集是任何集合的子集。根據(jù)題目中的條件，我們可以得到：A∪B={x|2a≤x≤a+3或x<－1或x>5}=B因此，我們可以列出不等式：2a≤－1或a+3≥5解得：a≥3/2因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥3/2。跟蹤訓(xùn)練1：設(shè)集合A={x|2x^2+3px+2=0}，B={x|2x^2+x+q=0}，其中p，q為常數(shù)，x∈R。當(dāng)A∩B={1/2}時(shí)，求p，q的值和A∪B。解：根據(jù)題目中的條件，我們可以列出方程：2x^2+3px+2=02x^2+x+q=0由于A∩B={1/2}，因此1/2既是2x^2+3px+2=0的根，也是2x^2+x+q=0的根。因此，我們可以列出以下方程組：2(1/2)^2+3p(1/2)+2=02(1/2)^2+(1/2)+q=0解得：p=-5，q=-1。因此，A={-1/2，-1}，B={-1/2，1}，A∪B={-1/2，-1，1}。2.類型二補(bǔ)集性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1：補(bǔ)集性質(zhì)在集合運(yùn)算中的應(yīng)用例2：已知$A=\{0,2,4,6\}$，$\overline{A}=\{-1,-3,1,3\}$，$\overline{B}=\{-1,0,2\}$，用列舉法寫出集合$B$。解：因?yàn)?A=\{0,2,4,6\}$，$\overline{A}=\{-1,-3,1,3\}$，所以全集$U=\{-3,-1,0,1,2,3,4,6\}$。又因?yàn)?\overline{B}=\{-1,0,2\}$，所以$B=\overline{\overline{B}}=\overline{U\setminus\overline{B}}=\{-3,1,3,4,6\}$。反思與感悟：從Venn圖的角度，$A$和$\overline{A}$可以看作圈內(nèi)和圈外的關(guān)系。由于$(\overline{A}\capA)=\varnothing$，$(\overline{A}\cupA)=U$，所以可以借助圈內(nèi)推知圈外，也可以反推。跟蹤訓(xùn)練2：如圖所示的Venn圖中，$A$，$B$是非空集合，定義$A*B$表示陰影部分的集合。若$A=\{x|0\leqx\leq2\}$，$B=\{y|y>1\}$，則$A*B=$_______。解：$A*B=\{z|z\inA\text{且}z\inB\}=[1,2]$。3.關(guān)于交并補(bǔ)集的綜合問題命題角度2：補(bǔ)集性質(zhì)在解題中的應(yīng)用例3：關(guān)于$x$的方程：$x^2+ax+1=0$，$x^2+2x-a=0$，$x^2+2ax+2=0$。若三個(gè)方程至少有一個(gè)有解，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。解：假設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有$\Delta_1=a-4<0$，$\Delta_2=4+4a<0$，$\Delta_3=4a^2-8<0$。解得$-2<a<-1$。因此，當(dāng)$a\leq-2$或$a\geq-1$時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，即$a$的取值范圍為$\{a|a\leq-2\text{或}a\geq-1\}$。反思與感悟：運(yùn)用補(bǔ)集思想求參數(shù)取值范圍的步驟為：(1)把已知的條件否定，考慮反面問題；(2)求解反面問題對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍；(3)求反面問題對應(yīng)的參數(shù)的取值集合的補(bǔ)集。跟蹤訓(xùn)練3：若集合$A=\{x|ax^2+3x+2=0\}$中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。解：$A$中至多有一個(gè)元素，即$ax^2+3x+2=0$至多有一個(gè)實(shí)根。因此，$\Delta=9-8a\geq0$，即$a\leq\frac{9}{8}$。又因?yàn)?ax^2+3x+2=0$有實(shí)根時(shí)，$a\neq0$，所以$a<0$。綜上，$a$的取值范圍為$\{a|a<0\text{且}a\leq\frac{9}{8}\}$。4.類型三集合的綜合運(yùn)算命題角度3：有限集合的交并補(bǔ)運(yùn)算例4：已知全集$U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合$P=\{1,3,5\}$，$Q=\{1,2,4\}$，則$(\overline{P}\cupQ)=$_