.運籌學(xué)-整數(shù)規(guī)劃案例

整數(shù)規(guī)劃建模應(yīng)用最廣泛的整數(shù)規(guī)劃問題是各種類型的決策問題，決策者希望模型能回答諸如：是否要執(zhí)行某些項目（或某些活動），在什么時候或什么地點執(zhí)行等決策問題，回答這類“是—否”或“有—無”問題可借助整數(shù)規(guī)劃中的0-1整數(shù)變量。0-1整數(shù)變量只有兩個選擇，0由于它在數(shù)學(xué)上的特性可以很好的代表“無”或“否”，而1則可以很好地代表“有”或“是”。0-1變量由于它的特殊性也被稱為二進制變量、決策變量或邏輯變量。0-1變量的作用1.xj＝1…方案j被選中0…方案j未被選中2.從n個方案中必須選中一個：3.從n個方案中最多選中m個：4.方案i只有在方案j選中時，才可能被選中：5.方案i與方案j是否選中是同時的：與0－1變量相關(guān)的幾個實際問題1.投資問題

現(xiàn)有總額為b的資金可用于投資，共有n個項目可供投資者選擇，已知項目j所需投資額為aj，投資后可得利潤cj（j＝1，2，…，n），不妨設(shè)b，aj，cj均是整數(shù)，試問為使所得利潤最大，應(yīng)選取那些項目進行投資？先引入0－1變量xj，令

xj＝1…對項目j投資0…否則則可得到如下整數(shù)規(guī)劃問題：例1：華美公司有5個項目被列入投資計劃，各項目的投資額和期望的投資收益見下表：項目投資額（萬元）投資收益（萬元）121015023002103100604130805260180該公司只有600萬元資金可用于投資，由于技術(shù)上的原因，投資受到以下約束：①在項目1、2和3中必須有一項被選中；②項目3和4只能選一項；③項目5被選中的前提是項目1必須被選中。問如何在上述條件下選擇一個最好的投資方案，使投資收益最大。令0-1變量為決策變量，即xi＝1表示選中項目i，否則xi＝0表示項目i未被選中。則模型可以表示為：解：2.背包問題背包問題由來以久，它是從旅行者如何選擇放在背包中的用品引出的。旅行者可背負的重量有限，但旅行者需要攜帶的物品很多，如：食品、水、衣物、帳篷、急救用品等等，旅行者不可能將所有想攜帶的物品都統(tǒng)統(tǒng)背上，他只能選擇那些最重要的物品隨身攜帶，又不超過他可能負擔(dān)的最大重量，為解決這個問題，旅行者可給每種物品指定一個重要性系數(shù)，他的目標是在小于一定重量的前提下，使所攜帶的物品的重要性系數(shù)之和最大。例2：一登山隊員做登山準備，他需要攜帶的物品有：食品、氧氣、冰鎬、繩索、帳篷、照相機和通訊設(shè)備每種物品的重要系數(shù)和重量如下表所示，假定登山隊員可攜帶的最大重量為25千克。問他如何抉擇？序號1234567物品食品氧氣冰鎬繩索帳篷照相器材通訊設(shè)備重量（千克）55261224重要系數(shù)201518148410

令xi＝1表示登山隊員攜帶物品i，xi＝0表示不帶物品i。則問題可寫為：Maxz=20x1+15x2+18x3

+14x4+8x5+4x6+10x7s.t.5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7≤25

xi=1或0，i=1,2,…,7解：背包問題應(yīng)用（作業(yè)）

要把7種規(guī)格的包裝箱裝到兩輛鐵路平板車上去，包裝箱的寬和高相同，但厚度和重量不同，見下表：

每輛車有10.2m長的地方可以用來裝箱（類似面包片），載重為40噸。C5，C6，

C7，三類包箱所占總空間（厚度）不超過302.7cm，試建立數(shù)學(xué)模型，盡量將這些包裝箱裝到平板車上去，使浪費的空間最小。例3.一公孟司考路慮在故四個捆城市胡：北姻京、尋上海耽、廣幻玉州和蓮武漢毀設(shè)立宏庫房滋。這些頭庫房聚負責(zé)組向三情個地守區(qū)：裂華北鋪、華標中和閃華南唱地區(qū)膜發(fā)運摟貨物搞，每個庫濱房每省月可惡處理雙貨物10鞏00件。音在北茄京設(shè)謀庫房仿每月午的成撓本為4.休5萬元。幕上海亡為5萬元鼻，廣知州為7萬元范，武昂漢為4萬元熱。每侄個地喪區(qū)的條月平均需慣求量頓為：株華北汽每月60忽0件，摟華中膝每月70唐0件，臭華南恥每月80臣0件。發(fā)運慌貨物陜的費左用（紗元/件）腿見下液表：華北華中華南北京200400500上海300250450廣州600400250武漢300150350公司青希望鉤在滿咐足地數(shù)區(qū)需麥要的釀前提澡下使鳥平均哄月成環(huán)本最宏小，謎且還要滿脅足以夫下條壞件：①如果壤在上州海設(shè)搜立庫監(jiān)房，爛則必般須也察在武策漢設(shè)干庫房；②最多湯設(shè)立檔三個繩庫房葉；③武漢享和廣鑒州不蹤蝶能同割時設(shè)謙立庫統(tǒng)房。請建閣立一嚴個滿利足上案述要北求的權(quán)整數(shù)棒規(guī)劃南模型來。3.工廠遞選址陳運輸督問題設(shè)每勢個月端從倉巾庫i運往頭地區(qū)j的產(chǎn)費品的治貨物桿數(shù)量滾為xij，引粉入0－1變量yi=距1表示剃在Ai設(shè)立胸倉庫堅，否誘則不鄉(xiāng)豐設(shè)。設(shè)每反個月胞的總移花費含為z，則受上述疊問題皂的數(shù)源學(xué)模酸型為Mi驚n氣z＝20逢0x11+4層00軍x12+5思00烏x13+3青00倡x21+2擱50淘x22+4置50祝x23+6菠00守x31+4遺00開x32+2故50廚x33+3仁00娃x41+1賄50快x42+3纏50魯x43+4泛50棵00馳y1+5唯00篩00齡y2+7舍00貌00紹y3+4獎00笑00杠y4s.毀t.飲x11+x12+x13≤1坑00梢0y1x21+x22+x23≤1猛00泡0y2x31+x32+x33≤1領(lǐng)00園0y3x41+x42+x43≤1練00威0y4x11+x21+x31+x41≥60繁0x12+x22+x32+x42≥7勁00x13+x23+x33+x43≥8鍛00y2-y4≤0y1+y2+y3+y4≤3y3+y4≤1xij≥0；yi＝0或1；i=翻1,駐2,貨3,系4；j=義1,誘2,羊3工廠糖選址籌運輸毅問題設(shè)有n個需易求點竟，有m個可惡供選甜擇的滾廠址毯，每個扭廠址予只能被建一議個工車廠，怠在i處建熊廠，蹦生產(chǎn)能力年為Di，單域位時飄間的肝固定綁成本矛為ai，需薯求點j的需塑求量鳳為bj，從滴廠址i到需造求點j的單陜位運窄費為Cij，問餐應(yīng)如繞何選菌擇廠滅址才葛能獲牛得經(jīng)煉濟上科的總花費婦最小襯的方翼案。設(shè)在叛單位弓時間鍋內(nèi)，添從廠招址i運往聞需求點j的產(chǎn)本品數(shù)曬量為xij，引入0－1變量yi=1…在i地建膀廠0…否則設(shè)在遼單位錘時間阻內(nèi)的竭總花挺費為z，則上述裳問題啞的數(shù)壘學(xué)?？葱蜑?.集合喊覆蓋勒和布糠點問宋題集合僑覆蓋獎問題映也是懇典型板的整熟數(shù)規(guī)至劃問剩題，演在集耀合覆蓋陶問題坦中，爪一個雀給定停集合談（集擺合一繩）的桂每一砌個元盤素必須徒被另棋一個逢集合坐（集驗合二每）的徑元素糟所覆笨蓋。脖在滿迷足覆蓋魄集合菠一所榨有元主素的世前提強下，桑集合做覆蓋冷問題憑的目湖標是求艱需要陣的集爆合二慮的元飽素最補少，從該問惡題之贏所以喚又稱庫為布點搞問題鎖，是嗓因為淺它常涌被用特于一鏈些公背共設(shè)攀施，本如：索學(xué)校、猶醫(yī)院送、商耍業(yè)區(qū)隸、消習(xí)防隊斯等設(shè)豬施的伴布點銳問題什，解單決如何縫既滿幣足公飯共要規(guī)求，毯又使蜓布的參點最籌少，艱以節(jié)崇約投課資費用豈。例4：解橡決某桂市消驅(qū)防站辯的布辮點問喊題：弓某城找市共鎖有6個區(qū)雜，每雅個都合可以撫建消墳防站蚊。市陰政府億希望勢建設(shè)急的消敘防站煉最少跑，但路必須欺滿足賞在城濃市任擠何地蹲區(qū)發(fā)而生火鬼警時繪，消駕防車妹要在15分鐘辛內(nèi)趕緊到現(xiàn)像場。艇據(jù)實庸地測晚定，低各區(qū)采之間怒消防瓶車行游駛的績時間艱見下睬表：疊請幫炕助該程市制起定一子個最會節(jié)省翁的計框劃。表3.協(xié)5消防劈燕車在盛各區(qū)環(huán)行駛貨距離齊表地區(qū)1地區(qū)2地區(qū)3地區(qū)4地區(qū)5地區(qū)6地區(qū)1瞧0呢10坐1敘6私2普8換2嘴7高2年0地區(qū)2單1善0惜0蘋2述4逗3隔2脊1劣7篇1輩0地區(qū)3獲1啦6摧2統(tǒng)4采0今1愁2膝2扣7冊2私1地區(qū)4洗2跑8袍3你2滅12輕0豆1辭5慣2絨5地區(qū)5瞧2奪7犧1焰7和27饅15傷0耍1壺4地區(qū)6妥2錫0球1駐0煤21夏25牽14轉(zhuǎn)0解：Xj=1表地匪區(qū)設(shè)楚消防須站，Xj=0表地筑區(qū)不叨設(shè)消狂防站頌。Z＝消寸防站賽總數(shù)廈，則漫模型騾如下溉：Mi渠nZ=X1+X2+X3+X4+X5+X6s.紐奉t：X1+X2≥1X1+X2+X6≥1X3+X4≥1X3+X4+X5≥1X4+X5+X6≥1X2+X5+X6≥1Xj=0，1；j=眨1，2，3，4，5，6。作業(yè)某市級有8個區(qū)因，救警護車牽從一肆個區(qū)鉆開往噸另一兼?zhèn)€區(qū)黨所需行時間柳：區(qū)號12345678人口（萬人）10246898104022054861293034502235735464203254205882302241569632203250781255230245810974422060該市混只有階兩輛創(chuàng)救護垃車，濫且希四望救然護車妻，所蒸在的軋位置撈能使盡可青能多島的人追口位建于救傭護車脖在兩非分鐘以內(nèi)可惑達到正的范耍圍內(nèi)，請籮幫助擔(dān)該市校構(gòu)造我一個居整數(shù)獄規(guī)劃孕模型鈔來解卷決這毯個問