等腰三角形的證明及計(jì)算大題訓(xùn)練（50道）（人教版）（解析版）

專題13.6等腰三角形的證明及計(jì)算大題專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共50題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可深化學(xué)生對(duì)等腰三角形工具的應(yīng)用及構(gòu)造等

腰三角形！

解答題（共50小題）

1.（2022秋?勃利縣期末）如圖：ZVIBC的邊AB的延長(zhǎng)線上有一個(gè)點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。FLAC于F,交BC

于E,且求證：ZVIBC為等腰三角形.

【分析】要證△ABC為等腰三角形，須證NA=NC,而由題中已知條件，DF±AC,BD=BE,因此，可

以通過角的加減求得/A與/C相等，從而判斷△A8C為等腰三角形.

【詳解】證明：?.?。凡LAC,

:.NDFA=NEFC=90°.

：.ZA^ZDFA-ZD,/C=NEFC-NCEF,

,:BD=BE,

：.ZBED=ZD.

'：ZBED=ZCEF,

:.ND=NCEF.

：.ZA=ZC.

...△ABC為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,乙4=50°,A8的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,

交AB于點(diǎn)E,求NO8c的度數(shù).

E,

【分析】分別求出NABC,ZABD,可得結(jié)論.

【詳解】解：:△ABC中，AB=AC,ZA=50°,

：.ZABC=ZC=-2(1800-NA)=65°,

\,AB的垂直平分線MN交AC于D,

：.AD=BD,

：.ZABD=ZA=50°,

AZDBC=AABC-ZABD=65°-50°=15°.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形

的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

3.(2022秋?林州市期末)已知△ABC的兩邊長(zhǎng)a和〃滿足佝與+(b-4)2=0.

(1)若第三邊長(zhǎng)為c,求c的取值范圍.

(2)若△ABC是等腰三角形，求△A8C的周長(zhǎng).

【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得“、〃的值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得c的范圍；

(2)分腰長(zhǎng)為9或4兩種情況進(jìn)行計(jì)算；

【詳解】解：(I)VVa^9+(b-4)2=0,

.,.a-9=0,b-4=0?

解得a=9,b=4,

V9-4<c<9+4,

即5<c<13；

(2)當(dāng)腰長(zhǎng)為9時(shí)，

此時(shí)三角形的三邊為9、9、4,滿足三角形三邊關(guān)系，周長(zhǎng)為22；

當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，

此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)為4、4、9,4+4<9,不滿足三角形三邊關(guān)系.

綜上可知，△A8C的周長(zhǎng)為22.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等、兩底角相等是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級(jí)期中）如圖1,點(diǎn)A、。在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸上，C。平分/AC8

（1）求證：AC=BC；

（2）如圖2,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,0），點(diǎn)E為4c上一點(diǎn)，且=求BC+EC的長(zhǎng).

【分析】（1）由題意NCAO=90°-NBDO,可知NCAO=/C8O,CO平分NAC8與y軸交于。點(diǎn)，

所以可由AAS定理證明△ACD絲△BCD,由全等三角形的性質(zhì)可得AC=BC；

（2）過。作CW_L4C于N點(diǎn)，可證明RlZ\BDOgRtZ\E￡）N、△OOC絲△ONC,因此，BO=EN、OC=

NC,所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC,即可得8C+EC的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：：NC4O=90°-NBDO,

：.ZCAO=ZCBD.

AACD=乙BCD

在△AC。和△"?￡)中'Z.CAO=“BD,

CD=CD

：./\ACD^/\BCD(AAS).

：.AC=BCi

(2)由(1)知NCAD=NDEA=/DBO,

:.BD=AD=DE,過。作。NJ_ACTN點(diǎn)，如右圖所示:

,/ZACD=ZBCD,

：.DO=DN,

在RtABDO和Rt^EDN中｛囂:囂，

.?.RtABDO^RtA￡￡)/V(HL),

：.BO=EN.

ZDOC=Z.DNC=90°

在△OOC和△ONC中，zOCD=乙NCD

DC=DC

:.△DOg/XDNC(A4S),

可知：OC=NC；

：.BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8.

v

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)，做題時(shí)添加了輔助線,正確作出輔助線是解決問

題的關(guān)鍵.

5.(2022秋?武岡市期中)已知如圖，△ABC中，EF//BC,交AB、AC于E、FNB的平分線交E尸于O

點(diǎn).

(1)求證：EO=BE；

(2)若EF=BE+CF,求證：OC平分N4CB.

【分析】(1)利用平行線以及角平分線的定義證明NEOB=NEBO即可.

(2)想辦法證明ZOCF=ZOCB即可.

【詳解】證明：(1)'：EF//BC,交AB、AC于E、F.

:"BOE=NCBO,ZCOF^ZBCO,

VZB的平分線交EF于O點(diǎn),

：.ZEBO=ZCBO,

：.ZEBO=ZBOE,

：.EO=BE.

(2)'：EF=BE+CF,KEF=OE+OF,

：.OE+OF=BE+CF,

"：EO=BE,

OF=CF,

：.ZCOF=ZFCO,

'：ZCOF=ZBCO,

：.NBCO=ZFCO,

，0C平分/AC8.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識(shí).進(jìn)行線段的等量

代換是正確解答本題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?盤龍區(qū)期末)如圖，在△ABC中，A8=AC,點(diǎn)。、E、尸分別在48、BC、AC邊上，且BE

=CF,BD=CE.

(1)求證：是等腰三角形：

(2)當(dāng)NA=50°時(shí)，求NOE尸的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得N8=/C,利用“邊角邊”證明△8/)E和△CEF全等，根據(jù)全等三

角形對(duì)?應(yīng)邊相等可得DE=EF,再根據(jù)等腰三角形的定義證明即可：

(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得N8DE=NCEF,然后求出NBED+NCEF=/BED+NBDE,再利

用三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義求出/B=ZDEF.

【詳解】(1)證明：?.?ABMAC,

:./B=NC,

在△BDE和△CEF中，

BD=CE

乙B=Z.C,

BE=CF

：./\BDE^/\CEF(SAS),

:?DE=EF,

，△。七尸是等腰三角形;

(2)解：VABDE^ACEF,

:?/BDE=/CEF,

:./BED+/CEF=NBED+/BDE,

VZB+(/BED+NBDE)=180°,

NDEF+(NBED+NBDE)=180°,

:./B=NDEF,

VZA=50°,AB=AC,

：.ZB=-(180°-50°)=65°,

2

:.NDEF=65°.

【點(diǎn)睛】本題考杳了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記

各性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.(2022秋?大石橋市期末)如圖，ZxABC是等邊三角形，延長(zhǎng)8c到點(diǎn)E,使CE=?C,若。是4c的

中點(diǎn)，連接M并延長(zhǎng)交A8于點(diǎn)F.

(1)若A尸=3,求的長(zhǎng)；

(2)證明：DE=2DF.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，易證CD=CE,從而求出N￡=NCOE=30°,然后再根據(jù)N3=60°,

求出/4/。=90°,最后放在直角三角形AFZ)中，即可解答；

(2)根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到連接8D,易證8￡>=。瓦然后放在直角三角形8尸力中，即

可解答.

【詳解】(1)解：???△ABC為等邊三角形,

：.AC=BC,NA=NAC8=60°,

???。為AC中點(diǎn),

：.CD=AD=^AC,

VCE=|BC,

:.CD=CE,

:?NE=NCDE,

VNACB=NE+NCDE,

:?NE=NCDE=30°,

ZADF=ZCDE=30°,

,/ZA=60°

ZAFD=180°-NA-NAZ)/=90°,

VAF=3

：.AD=2AF=6；

(2)證明：連接5Q,

???△A8C為等邊三角形，。為AC中點(diǎn)，

???3￡>平分NA8C,ZABC=60°,

ZDBC=ZABD=iZABC=30°,

2

?；NBFD=90°

：.BD=2DF

?/ZDBC=ZE=30°

：.BD=DE

；.DE=2DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的三線合一添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

8.（2022春?大埔縣期末）如圖，△A8C是等邊三角形，AACE是等腰三角形，ZAEC=\20°,AE=CE,

產(chǎn)為BC中點(diǎn)，連接A尸.

(1)直接寫出ZBAE的度數(shù)為90°；

(2)判斷4F與CE的位置關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)分別求出N8AC,NC4E即可解決問題.

(2)證明AFA.BCEC±BC即可判斷.

【詳解】解：(1);△ABC是等邊三角形，

：.ZBAC=ZACB=60°,

'：EA=EC,ZAEC=120°,

.?./E4C=/EC4=30°,

N8AE=ZBAC+ZCAE=90°.

故答案為90°.

(2)結(jié)論：AF//EC.

理由：'：AB=AC,BF=CF,

：.AF1BC,

VZACB=60°,ZACE=30°,

AZfiCE=90°,

：.ECVBC,

C.AF//EC.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練學(xué)

握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.

9.(2022秋?寧明縣期末)如圖，在△ABC中，AC=BC,ZACB=120°,CE_LA8于點(diǎn)。，JiDE=DC.求

證：△CE8為等邊三角形.

4E

CR

【分析】根據(jù)CE_LA8丁點(diǎn)。，且。E=OC得出8C=8E,根據(jù)角的關(guān)系得出/EC8=60°,即可證得

△CEB為等邊三角形.

【詳解】證明：?.?CELAB于點(diǎn)D,且。E=OC,

：.BC=BE,

\"AC=BC,ZACB=120°,CELAB于點(diǎn)D,

ZECB=60°,

.；△CEB為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.（2022春?二七區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，AB=AC,。是直線BC上一點(diǎn)，以AO為一邊在AO的右側(cè)

作△AOE,使AE=AZ）,ZDAE^ZBAC,連接C￡設(shè)N8AC=a,ZBCE=p.

（1）如圖（1），點(diǎn)。在線段BC上移動(dòng)時(shí)，①角a與。之間的數(shù)量關(guān)系是a+B=180°；

②若線段BC=2,點(diǎn)4到直線BC的距離是3,則四邊形4DCE周長(zhǎng)的最小值是8；

（2）如圖（2）,點(diǎn)。在線段8c的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，

①請(qǐng)問（1）中a與。之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，請(qǐng)說明理由；

②線段8C、DC、CE之間的數(shù)量是CE=BC+CD.

圖（1）圖⑵

【分析】（1）①先證再證明△A8O絲△4CE,得出對(duì)應(yīng)角相等NACE,即可

得出結(jié)論；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）①如圖2,根據(jù)等式的性質(zhì)就可以得出就可以得出就可以得出/

ABD=ZACE,就可以得出結(jié)論；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解:（1）①a+p=180°；理由如下:

NDAE=ABAC,

AZDAE-ZDAC=ZBAC-ZDAC

：.ZCAE=ZBADf

在△ABO和△ACE中，

AB=AC

/-BAD=乙CAE,

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

???ZABD=NACE,

???NA4C+NA8O+NACB=180°,

AZBAC+ZACE+ZACB=180°,

：.ZBAC+ZBCE=180°,BPa+p=180°,

故答案為：a+0=18O°；

②由①知，△ABO絲△ACE,

：.BD=CE,AD=AE,

：.CD+CE=BD+CD=BC=2,

當(dāng)AOLBC時(shí)，4。最短，

即四邊形AQCE周長(zhǎng)的值最小，

?.?點(diǎn)A到直線8c的距離是3,

.\AD=AE=39

：.四邊形ADCE周長(zhǎng)的最小值是2+3+3=8,

故答案為：8；

(2)①成立，理由如下：

,/ZDAE=ZBACf

：.ADAE+ACAD=NBAC+NCAD,

???NBAD=NCAE,

在△3AO和△CAE中，

AB=AC

Z-BAD=乙CAE,

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

???ZABD=ZACE,

,/ZACD=ZABD+ZBAC=ZACE+ZDCE,

：.ZBAC=ZDCE,

：.ZBAC+ZBCE^/￡)CE+N3CE=180°,

即a+p=180°；

②.?.△AB。出/XACE(SAS),

；.NABD=NACE,BD=CE,

\"BD=BC+CD,

：.CE=BC+CD,

故答案為：CE=BC+CD.

圖(I)圖(2)

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)：證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)角相等、

對(duì)應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵.

11.(2022秋?臺(tái)江區(qū)期末)如圖，已知NABC=NAZ)C=90°,BC=CD,CA=CE.

(1)求證：NACB=NACD；

(2)過點(diǎn)E作ME〃AB,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)過點(diǎn)M作MP_LOC,交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

①連接PE,交AM于點(diǎn)N,證明AM垂直平分PE；

②點(diǎn)O是直線AE上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，證明點(diǎn)。與點(diǎn)E重合.

【分析】(1)證明RizMBC絲RtzMOC(HL)即可;

(2)①證明絲△川氏?(SAS)即可；

②延長(zhǎng)PC、ME交于。點(diǎn)，結(jié)合①推導(dǎo)出/"O=N￡)QE=30°,則PE=EQ,則ME+PE=QE+ME2

M。，止匕時(shí)ME+PE的值最小，再由點(diǎn)0是直線4E上的動(dòng)點(diǎn)，可得當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，，E點(diǎn)與。點(diǎn)

重合.

【詳解】證明：（1）VZABC=ZADC=90°,BC=CD,AC=ACf

ARtAABC^RtAADC(HL),

:.ZACB=ZACD；

(2)@VRtAABC^RtAADC,

???ZBAC=ZCADf

*：CA=CE,

：.ZCAE=ZCEAf

VZ￡BA=90°,

AZBEA=ZBAC=ZCAE=30°,

?；PD上AE,MP.LPD,

：.AE//MP,

：.ZPMC=ZMAE=30°,

?:ME"kB,

：.ZMEB=ZABE=90°,

/.ZMEA=900+30°=120°,

???/MAE=30°,

：.ZEMA=30°,

?:CPLMP,CEA.ME,NMCP=NMCE=60°,

:ANEg4NPC(SAS),

:.EN=PN,

???N是"的中點(diǎn)，NCLPE,

???AM垂直平分尸E；

②延長(zhǎng)P。、ME交于。點(diǎn)，

由①知，ZBEA=30°,NMEB=90。,

AZMEA=120°,

AZDEQ=60°,

VPD±AE,

：.NEOQ=90°,

：.ZEQD=30°,

；NCPN=30°,

:.NEPD=NDQE,

：.PE=EQ,

；.ME+PE=QE+ME》MQ,此時(shí)ME+PE的值最小,

;點(diǎn)O是直線AE上的動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，E點(diǎn)與0點(diǎn)重合.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平

分線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離是解題的關(guān)鍵.

12.（2022春?市南區(qū)期末）如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,。是A2上一點(diǎn)，BD=BC,過點(diǎn)。作AB

的垂線交AC于點(diǎn)E,求證：BE垂直平分CZX

【分析】證明RSDE絲RSCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EO=EC,根據(jù)線段垂直平分線的判定

定理證明.

【詳解】證明：\'ZACB=90°,DELAB,

：.ZACB=ZBDE=90°,

在RtABDE和RtABCE中,

(BD=BC

(BE=BE'

LRtABDE學(xué)RtABCE,

：.ED=EC,

:ED=EC,BD=BC,

.?.BE垂直平分CD.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的判定，掌握到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂宜平

分線上是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?平房區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。、E在△ABC的邊8C上，AD=AE,BD=CE.

（1）求證：AB=AC；

（2）若NBAC=108°,ZDAE=36°,直接寫出圖中除aABC與△4￡>“外所有的等腰三角形.

【分析】（1）首先過點(diǎn)A作AnL8C于點(diǎn)凡由根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得。F=EF,又由

BD=CE,可得8尸=（?尸，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得A8=4C.

（2）根據(jù)等腰三角形的判定解答即可.

（詳解】證明：（1）過點(diǎn)A作AFLBC于點(diǎn)F,

\"AD=AE,

：.DF=EF,

,;BD=CE,

：.BF=CF,

：.AB=AC.

（2）；NB=NBAD,ZC^ZEAC,NBAE-BEA,ZADC=ZDAC,

...除△ABC與△4DE外所有的等腰三角形為：△ABO、△4EC、△A8E、△4OC,

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

14.（2022秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在AC上，且B￡?=BC=AQ,求△ABC各

角的度數(shù).

【分析】設(shè)NA=x,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得各角的度數(shù).

【詳解】解：設(shè)NA=x.

"：AD=BD,

ZABD—ZA=x；

\"BD=BC,

：.NBCD=NBDC=NABD+NA=2x；

'：AB=AC,

：.ZABC=ZBCD^2x,

：.ZDBC=x；

VJC+2X+2JC=180°,

；.x=36°,

：.ZA=36°,NABC=NAC8=72°.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)：利用了三角形的內(nèi)角和定理得到相等關(guān)系，通過列方程求解是正

確解答本題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?鞏義市期末）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,/A=60°,AB=12cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)B

出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以Icro/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)尸、。分別從點(diǎn)8、A

同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為此

（1）用含f的式子表示線段AP、A。的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)f為何值時(shí)，△4P。是以PQ為底邊的等腰三角形？

（3）當(dāng)r為何值時(shí)，PQ//BC1?

B

P

【分析】(1)由題意，可知N8=30°,AC=6cm.BP=2t,AP=AB-BP,AQ=t.

(2)若△AP0是以P。為底的等腰三角形，則有AP=AQ,即12-2f=f,求出f即可.

(3)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出入8的度數(shù)，再山平行線的性質(zhì)得出/。用的度數(shù)，根據(jù)直角三角形

的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)；RtZ\ABC中，/C=90°,NA=60°,

：.ZB=30Q.

又,.?A8=12cvn,

：.AC=6cm,BP=2t,AP=AB-BP^\2-2t,4Q=f；

(2);△AP。是以PQ為底的等腰三角形，

：.AP=AQ,即12-2f=f,

.?.當(dāng)t=4時(shí)，△4尸。是以PQ為底邊的等腰三角形；

(3)當(dāng)PQ_L4C時(shí)，PQ//BC.

VZC=90°,/A=60°,

二ZB=30°

■:PQ//BC,

：.ZQPA=30°

：.AQ=I尸，

(12-2r),解得r=3,

.?.當(dāng)r=3時(shí)，PQ//BC.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定及平行線的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此

題的關(guān)鍵.

16.(2022秋?清江浦區(qū)校級(jí)月考)如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,AC=20cm,

P、。是aABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A-8方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1?！?，點(diǎn)。從

點(diǎn)8開始沿B-C-4方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2c〃?，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為r秒.

(1)BP=(16—)。"(用t的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？

(3)當(dāng)點(diǎn)。在邊C4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)11秒或12秒后，△BCO是以BC或8。為底邊的等腰三角形?

備用圖

【分析】(I)根據(jù)題意即可用t可分別表示出BP；

(2)結(jié)合(1),根據(jù)題意再表示出8Q,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到8尸=BQ,可得到關(guān)于f的

方程，可求得八

(3)用/分別表示出8。和C。，利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ=8C和BQ=CQ三種情況，分別得到

關(guān)于，的方程，可求得r的值.

【詳解】解：(1)由題意可知BQ—It,

'：AB=\6cm,

：.BP=AB-AP=(16-r)cm,

故答案為：(16-r)cm-.

(2)當(dāng)點(diǎn)。在邊8c上運(yùn)動(dòng)，/XPOB為等腰三角形時(shí)，則有8P=80,

即16-r=2f,解得

出發(fā)竽秒后，△PQ8能形成等腰三角形；

(3)①當(dāng)△BCQ是以8c為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ=BQ,如圖1所示，

VZ/1BC=90°,

.../CBQ+NABQ=90°.

ZA+ZC=90°,

：.ZA=ZABQ,

：.BQ=AQ,

：.CQ=AQ=\O(an),

...BC+CQ=22(cm),

.1=22+2=11：

②當(dāng)，aBCQ是以3Q為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ=8C,如圖2所示,

圖2

則BC+CQ=24（cm）,

；"=24+2=12,

綜上所述：當(dāng)/為11或12時(shí)，ABC。是以8c或8。為底邊的等腰三角形.

故答案為：II秒或12.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí).用時(shí)間/表示出相應(yīng)線段的

長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用.

17.（2022春?渠縣校級(jí)期末）已知：如圖，AB=AC,。是AB上一點(diǎn)，OEJ_8c于點(diǎn)E,的延長(zhǎng)線交

CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：△AQF是等腰三角形.

【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出再利用等角的余角相等和對(duì)頂角相等得出NEFC=/AD凡進(jìn)

而證明即可.

【詳解】解：：AB=AC,

（等邊對(duì)等角），

'：DELBC^E,

:.NFEB=NFEC=90°，

：.ZB+ZEDB=/C+/EFC=90°,

：.NEFC=NEDB（等角的余角相等），

（對(duì)頂角相等），

二ZEFC=NADF,

：.AD=AF,

...△A。尸是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的判定，關(guān)鍵是利用等角的余角相等和對(duì)頂角相等得出NEFC=NAD?

18.（2022秋?北侖區(qū)期中）（1）如圖1,△ABC中，作/ABC、/4C3的角平分線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O

作EF〃BC分別交48、AC于E、F.

①求證：OE=BE；

②若△4BC的周長(zhǎng)是25,BC=9,試求出AAE尸的周長(zhǎng)；

（2）如圖2,若/ABC的平分線與/ACB外角/AC￡＞的平分線相交于點(diǎn)P,連接AP,試探求/B4C與

的數(shù)量關(guān)系式.

【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：（1）①'.?BO平分NABC,

/EBO=ZOBC,

'：EF//BC,

：.ZE0B=Z0BC,

：.ZEOB=ZEBO,

：.OE=BE；

②△AEF的周長(zhǎng)=AE+A尸+EF=AE+A尸+EB+FC=AB+AC=25-9=16；

(2)解：延長(zhǎng)8A,做PN_L8。，PFLBA,PM±AC,

?..CP平分NACO,

：.ZACP=ZPCD,PM=PN,

平分乙ABC,

AZABP=ZPBC,PF=PN,

:.PF=PM,

：.ZFAP^ZPAC,

：.ZFAC=2ZPAC,

VZMC+ZBAC=180°,

；.2/B4C+/84c=180°.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

19.（2022秋?余干縣期中）如圖，在四邊形4BCD中，AB=AD,ZABC^ZADC.

【分析】連接8。，根據(jù)A8=AO,可得再根據(jù)/A8C=/4OC,可證NCBO=/COB

即可.

【詳解】證明：連接8D,

'：AB=AD,

，ZAHD=ZADB,

又?.?&%=NADC,

ZCBD=ZABC-NABD,ZCDB=ZADC-AADB,

:.NCBD=NCDB,

：.BC=DC

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，連接BD,求證△A3。是等腰三

角形，這是解答此題的關(guān)鍵.

20.（2022春?焦作期末）如圖，在等邊三角形ABC中NB,NC的平分線相交于點(diǎn)。，作80,CO的垂直

平分線分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)F.小明說：“E,尸是3c的三等分點(diǎn).”你同意他的說法嗎？請(qǐng)說明理

由.

【分析】連接OE、OF,根據(jù)等邊三角形角平分線的性質(zhì)，可得/OBC=/OCB=30°,由8c的垂直

平分線，可知8E=0E,NEBO=NEOB=30°,ZOEF=60°,再證，NOFE=60°,得出△OEF為

等邊三角形，從而可知EF=OE=BE=OF=FC,得出結(jié)論.

【詳解】解：連接OE、OF,

為80垂直平分線上的點(diǎn)，且NO8c=30°,

：.BE=OE,NEBO=NEOB=30°,

：.NOEF=NEBO+NEOB=60°,

同理，NOFE=NFCO+NFOC=60°,

.?.△OEF為等邊三角形，

即EF=OE=BE,EF=OF=FC,

故E、F為8c的三等分點(diǎn)，

故該說法正確.

A

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，考查了垂直平分線的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理

求BE、C/的值是解題的關(guān)鍵.

21.(2022秋?工業(yè)園區(qū)期末)已知：如圖，在四邊形A8CD中，/ABC=/ADC=90°,點(diǎn)E是AC的中

點(diǎn).

(1)求證：△8EO是等腰三角形:

(2)當(dāng)NBCD=150°時(shí)，△BED是等邊三角形.

【分析】⑴根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=/C,DE=^AC,從而得到8E=

DE.

(2)利用等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)得出即可得出ND4B=30°,然后根據(jù)

四邊形內(nèi)角和即可求得答案.

【詳解】證明：(1),??NABC=/AOC=90°,點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，

：.BE=^AC,DE=^AC,

：.BE=DE,

...△8EZ)是等腰三角形；

(2)'：AE=ED,

：.ZDAE=ZEDA,

"：AE=BE,

:.NEAB=NEBA,

'：ZDAE+ZEDA-ZDEC,

ZEAB+ZEBA=ZBEC,

：.ZDAB=-ZDEB.

2

*//\BED是等邊三角形，

：.ZDEB=60°,

：.ZBAD=30°,

AZBCD=360°-90°-90°-30°=150°.

故答案為：150.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出］/力破

=ND4B是解題關(guān)鍵.

22.(2022春?梅州校級(jí)期末)如圖，在RtZiABC中，ZACB=90Q,ZA=30°,8c=1.將三角板中30°

角的頂點(diǎn)。放在A8邊上移動(dòng)，使這個(gè)30°角的兩邊分別與△A8C的邊AC,BC相交于點(diǎn)￡,F,且使

OE始終與A8垂直.

(1)△3OF是什么三角形？請(qǐng)說明理由；

(2)設(shè)A￡>=x,CF=y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(不用寫出自變量x的取值范圍)

(3)當(dāng)移動(dòng)點(diǎn)。使EF〃AB時(shí)，求A。的長(zhǎng).

【分析】(1)由已知可得//。8=60°,N8=60°,從而可得到△8。尸是等邊三角形.

(2)由/4=30°,ZACB=90°可得A8=2BC=2,再將Cr=?BF=1-y,代入即可得出x,y的關(guān)

系；

(3)當(dāng)E尸〃AB時(shí)，ZC￡F=30°,NFED=NEDA=90°,CF=汐,EF=^DF,代入計(jì)算即可求得

AD的長(zhǎng).

【詳解】解：(1)ABDF是等邊三角形,證明如下：

'JEDLAB,Z￡DF=30°,:.NFDB=60°,

VZA=30°,NAC8=90°,AZB=60°,

AZDFB=60°,.?.△8/)尸是等邊三角形.

(2)VZA=30°,ZACB=90°,：.AB=2BC=2,

'：CF^y,：.BF=\-y,又△BQF是等邊三角形，.?.8D=8F=1-y,

??A,==2-(1-y)1+y,??y~~x~1,

(3)當(dāng)所〃A8時(shí)，NCEF=30°,ZFED=ZEDA=90°,

CF=^EF,EF=|Z)F,

'：DF=BF=\-y,；.y=：(l-y),.,.y=I，

.,.x=y+l=g,即A￡>=g.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，難度較大，要熟練地掌握等邊三角形的判定與性質(zhì).

23.(2022秋邛日新縣校級(jí)期末)如圖1,在RtZ\AC8中，/ACB=90°,/A8C=30°AC=1點(diǎn)。為AC

上一動(dòng)點(diǎn)，連接8。，以80為邊作等邊△BDE,E4的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于凡設(shè)C￡>=〃，

(1)當(dāng)”=1時(shí)，則AF=2；

(2)當(dāng)0</<1時(shí)，如圖2,在84上截取B4=A￡>,連接EH,求證：AAEH為等邊三角形.

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/B4C=60°,再根據(jù)平角等于180°求出/用C=60°,然

后求出2尸=30°,根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解即可；

(2)根據(jù)三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和利用NC8。表示出NAOE=30°+Z

CBD,又NHBE=30°+ZCBD,從而得到NADEn/HBE,然后根據(jù)邊角邊證明△相>￡與全等，

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=HE,對(duì)應(yīng)角相等可得然后推出/BE。

=60°,再根據(jù)等邊三角形的判定即可證明.

【詳解】(1)解：???△BOE是等邊三角形，

：.ZEDB=60°,

VZACB=90°,ZABC=30°,

AZBAC=180°-90°-30°=60°,

.?.MC=180°-60°-60°=60°,

/.ZF=180°-90°-60°=30°,

VZACB=90°,

ZACF=180°-90°,

：.AF=2AC=2X\=2；

(2)證明：是等邊三角形，

:?BE=BD,ZEDB=ZEBD=60°,

在△8CO中，NADE+NEDB=NCBD+NC,

BPZADE+600=ZCBD+90°,

AZADE=30°+NCBD,

?；/HBE+/ABD=60°,ZCBD+ZABD=30°,

；?NHBE=30°+NCBD,

：.NADE=NHBE,

在△4￡)￡：與中，

BH=AD

/.ADE=乙HBE,

BE=BD

:.AADE烏AHBE(SAS),

：.AE=HE,NAED=NHEB,

:.NAED+NDEH=/DEH+NHEB,

即乙4七"=/痛)=60°,

???△?!￡//為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角

形的性質(zhì)與判定，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，(2)中求出NAOE

=是解題的關(guān)鍵.

24.(2022?寧德一模)如圖，已知△A8C中，ZABC=ZACB,以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的弧分別交

AC,A8于點(diǎn)。，E,連接BD,ED.

(1)寫出圖中所有的等腰三角形；

(2)若/AEZ)=114°,求NA8。和/ACB的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的判定，兩底角相等或兩條邊相等的三角形是等腰三角形，即可找出圖中

所有的等腰三角形；

(2)根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得/8E￡)=66°,在中可求得乙48。=180°-2NBED=48°,設(shè)/

ACB=x°,則/ABC=NACB=x°,求得NA=180°-2x°,又根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出N8OC=N

A+ZABD,貝?。輝=180-2r+48,求得/ACB=76°.

【詳解】解：(1),.?/ABC=/4CB,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形：

,:BE=BD=BC,

:.△BCD,△BE。是等腰三角形；

圖中所有的等腰三角形有：△ABC,△BCQ,ABED；

(2)解：VZA￡D=114°,

.*.ZBED=1800-ZAED=66°.

,:BD=BE,

:./BDE=NBED=66°.

；.NA8D=180°-66°X2=48°.

解法一：設(shè)N4C8=x°,

r.ZABC=AACB=x°.

：.Z/4=18O°-2x°.

,:BC=BD,

:.NBDC=NACB=x°.

又,:ZBDC為△ABO的外角，

：.ZBDC=ZA+ZABD.

...x=180-2x+48,解得：x=76.

：.ZACB=J6°.（10分）

解法二：設(shè)/AC3=x°,

/ACB=x°.

:.NDBC=x°-48°.

,:BC=BD,

：.ZBDC=ZACB=x，".

又ZDBC+ZBCD+ZBDC=180°,

...x-48+x+x=180,解得：x=76.

；./4C8=76°.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，難度一般.

25.(2022秋?平輿縣期末)如圖，在aABC中，NABC=45°,點(diǎn)P為邊BC上的一點(diǎn)，BC=3BP,且/

以8=15°,點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為。，連接8￡>,又△APC的PC邊上的高為AH

(1)求NBP3的大??；

(2)判斷直線8。，A”是否平行？并說明理由；

(3)證明：ZBAP^ZCAH.

【分析】(I)根據(jù)點(diǎn)C關(guān)于直線PA的對(duì)稱點(diǎn)為D,即可得到△A。尸絲△ACP,進(jìn)而得出

=60°,即可得到N8P￡>=180°-120°=60°；

(2)先取PZ)中點(diǎn)E,連接8E,則△BEP為等邊三角形，△8OE為等腰三角形，進(jìn)而得到/。8尸=90°,

即80_L8c.再根據(jù)的尸C邊上的高為4H,可得AH_L8C,進(jìn)而得出

(3)過點(diǎn)A作出入/)P的垂線，垂足分別為G、尸.根據(jù)NGBA=NC84=45°,可得點(diǎn)A在/G8C的

平分線上，進(jìn)而得到點(diǎn)A在/GOP的平分線上.再根據(jù)/GOP=150。，即可得到/C=/4OP=75°,

進(jìn)而得到RtZ\AC”中，/C4"=15°,即可得出/84尸=NCAH.

【詳解】解：(I)VZMB=15°,ZABC=45°,

：.ZAPC=15°+45°=60°,

點(diǎn)C關(guān)于直線PA的對(duì)稱點(diǎn)為D,

：.PD=PC,AD=AC,

：.△AOPdACP,

.?./4PC=/”n=60°,

.,.ZBPD=180°-120°=60°；

(2)直線BD,平行.理由：

;BC=3BP,

:.BP=-PC=-PD,

22

如圖，取P。中點(diǎn)，連接8E,則△8EP為等邊三角形，△8OE為等腰三角形,

：.ZBEP=60°,

:.NBDE=LBEP=30°,

2

：?NDBP=90°,EPBD±BC.

又,/AAPC的PC邊上的高為AH,

：.AHLBC,

(3)如圖，過點(diǎn)A作3。、。尸的垂線，垂足分別為G、F.

VZAPC=ZAPD,即點(diǎn)A在NDPC的平分線上，

：.AH=AF.

VZCBD=90°,ZABC=45°,

：.ZGBA=ZCBA=45°,

即點(diǎn)A在NG8C的平分線上，

：.AG=AH,

：.AG=AF,

???點(diǎn)A在/GDP的平分線上.

又?.?NBDP=30°,

：.ZGDP=\50°,

ZADP=-x\50°，

A2=75°

.,./C=/A4P=75°,

.?.RtzXAC〃中，ZCAH=\5°,

：.ZBAP=ZCAH.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，

解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)與判定構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

26.(2022春?本溪縣期中)如圖，/XABC中，ADLBC,EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)凡交BC于點(diǎn)E,

且BD=DE.

(1)若NBAE=40°,求/C的度數(shù)；

(2)若aABC周長(zhǎng)為2(kro,AC=Scm,求。C長(zhǎng).

A

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出A8=AE=CE,求出NAE8和NC=NEAC,

即可得出答案；

(2)根據(jù)已知能推出2￡>E+2EC=12cw,即可得出答案.

【詳解】解：

(1)垂直平分BE,E尸垂直平分AC,

：.AB=AE=EC,

.?./C=/CAE,

VZfiAE=40°,

AZAED=70°,

.\ZC=-Z/1ED=35O；

2

(2)???△ABC周長(zhǎng)20。小AC=8cm,

：,AB+BE+EC=l2cmf

即2DE+2EC=12cm,

DE+EC=DC=6cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是

解題的關(guān)鍵.

27.(2022秋?澧縣期末)如圖，一只船從A處出發(fā)，以18海里/時(shí)的速度向正北航行，經(jīng)過10小時(shí)到達(dá)3

處.分別從4、B處望燈塔C,測(cè)得/M4C=42°,NNBC=84度.求8處與燈塔C距離.

N

【分析】本題的關(guān)鍵是利用題中給出的角的度數(shù)，求得BC=AB,再速度乘時(shí)間就是路程，從而求出8c

的長(zhǎng).

【詳解】解：；NN8C是△48C的外角

：.ZC=ZNBC-/NAC=42°

.?./C=/BAC

：.BC=BA=]SX10=180（海里）

因此8處與燈塔C距離是180海里.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；利用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決特殊的實(shí)際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫

出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來求解.

28.（2022春?西安期末）如圖，在△ABC中，是AC的垂直平分線，AE=5cm,△A8D的周長(zhǎng)為17a”，

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到D4=￡>C，AC=2AE=l0cm,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算.

【詳解】解：?..DE是AC的垂直平分線，

.,.DA=DC,AC=2AE=]0cm,

;△A3。的周長(zhǎng)為17cm,

：.AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17cm,

：.△ABC的周長(zhǎng)=48+BC+AC=27CVM.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距

離相等是解題的關(guān)鍵.

29.(2022春?嵩縣期末)如圖所示.點(diǎn)P在N40B的內(nèi)部，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線04、08的對(duì)

稱點(diǎn)，線段交。A、。8于點(diǎn)E、F.

(1)若MN=20cm,求的周長(zhǎng).

(2)若乙408=35°,求NEPF的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出ME=PE,NF=PF,再由MN=20c??即可得出結(jié)論；

(2)要求/EP尸的度數(shù)，要在尸中進(jìn)行，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)找出與NA/PN的

關(guān)系，利用已知/408=35°可求出/EPF,答案可得

【詳解】解：(1)?點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于。A、的對(duì)稱