. 兩角和與差的正弦余弦和正切公式

學(xué)案5兩角和與差的正弦、余弦和正切公式考點(diǎn)1考點(diǎn)2填填知學(xué)情課內(nèi)考點(diǎn)突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測(cè)考點(diǎn)3返回目錄

考綱解讀兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.(2)會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.(3)會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.考向預(yù)測(cè)

在選擇題、填空題以及解答題中出現(xiàn)最多的題型就是三角求值問(wèn)題.解答這類題目需要重視應(yīng)用三角公式對(duì)三角式進(jìn)行變換，需要有熟練的恒等變形能力，故求值題仍將是今后命題的重點(diǎn)內(nèi)容.返回目錄

返回目錄

1.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))cos(α+β)=

(C(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))sin(α+β)=

(S(α+β))tan(α-β)=(T(α-β))tan(α+β)=(T(α+β))cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ前面4個(gè)公式對(duì)任意的α,β都成立,而后面兩個(gè)公式成立的條件是α≠kπ+,β≠kπ+,k∈Z,且α+β≠kπ+(T(α+β)需滿足),α-β≠kπ+(T(α-β)需滿足)k∈Z時(shí)成立,否則是不成立的.當(dāng)tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存在時(shí),不能使用公式T(α±β)處理有關(guān)問(wèn)題,應(yīng)改用誘導(dǎo)公式或其它方法求解.2.要辨證地看待和角與差角,根據(jù)需要,可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q:α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α)等.返回目錄

3.二倍角公式sin2α=

;cos2α=

=

=

;tan2α=

.4.在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上,要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題:如公式的正用、逆用和變形應(yīng)用等.如T(α±β)可變形為:tanα±tanβ=

,tanαtanβ=

=

.

2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α返回目錄

5.函數(shù)f(α)=acosα+bsinα(a,b為常數(shù)),可以化為f(α)=

或f(α)=

,其中可由a,b的值唯一確定.返回目錄

【分析】注意角之間的關(guān)系,切化弦,從題設(shè)代數(shù)式聯(lián)系與三角函數(shù)公式結(jié)構(gòu)的差異,尋找解題思路,同時(shí)將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或通過(guò)約分消掉.考點(diǎn)1三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.返回目錄

【解析】原式=〔董2s騰in流50控°+謝si纏n1鉆0°評(píng)×(詳1+囑)桌〕·飲s此in兔80偶°=(串2s裂in料50囑°+滴si神n1立0°嗽×凝)閥·買s似in職80痕°=(雅2s魔in歇50拉°+壇2s恩in仰10刮°×陸)·光c名os缸10嘗°=(暴2s忠in熄50俊°+斜)·騎c國(guó)os濤10霜°=襖·號(hào)2c文os尸10谷°=占2攏s妄in鬼60勵(lì)°=2事×雨=厘.返回奇目錄對(duì)于華給角韻求值摘問(wèn)題,往往兇所給繡角都博是非開(kāi)特殊沿角,解決線這類姻問(wèn)題氧的基腸本思羞路有:(1講)化為湯特殊駕角的灶三角黨函數(shù)選值;(2御)化為孩正、麻負(fù)相畜消的轎項(xiàng)，總消去降求值計(jì)；(3聯(lián))化分胞子、叢分母校出現(xiàn)別公約嘆數(shù)進(jìn)鎖行約神分求嬌值.返回索目錄求下樹(shù)列各肺式的盟值:（1）;（2）返回勺目錄(1嘴)原式返回墓目錄（2）原臨式返回蒸目錄已知ta川nα=-籍,co集sβ=遭,α嫁,β到∈(勝0,包π)困.(1說(shuō))求ta伶n(仙α+侮β)的值境；（2）求狠函數(shù)f(療x)=si敏n(猜x-展α)柜+c等os耗(x程+β）的屋最大驅(qū)值.考點(diǎn)2三角士函數(shù)謀的給逼值求嚴(yán)值問(wèn)據(jù)題【分析】(1競(jìng))先求錫出ta參nβ的值,再求ta亭n(柄α+吊β)的值.(2備)求出α,抖β的正日、余參弦，川再展柄開(kāi)化芝簡(jiǎn).返回經(jīng)目錄

【解析】(1)由cosβ=,β=(0,π),得sinβ=,tanβ=2,所以tan(α+β)==1.(2)因?yàn)閠anα=-,α∈(0,π),所以sinα=,cosα=-,f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值為.返回筍目錄對(duì)于無(wú)給值為求值楊問(wèn)題,即由誘給出燈的某謊些角袍的三盈角函絹數(shù)的傭值,求另再外一常些角歉的三待角函劍數(shù)值,關(guān)鍵痛在于繪“變俯角”竹，使靜“所衡求角顛”變買為“佛已知唇角”饞，若律角所父在象者限沒(méi)恒有確攝定，蓋則應(yīng)敢分類振討論.應(yīng)注帶意公刪式的唉靈活午運(yùn)用,掌握俘其結(jié)宋構(gòu)特梨征,還要籍會(huì)拆妨角、屯拼角笛等技漿巧.返回睛目錄已知α為第二象限角,sinα=,β為第一象限角,cosβ=,求tan(2α-β)的值.

【解析】解法一:,∵α為第二象限角,sinα=,∴cosα=,∴tanα=.∴tan2α=.∵β為第一象限角,cosβ=,∴sinβ=,∴tanβ=,∴tan(2α-β)=.返回蔽目錄解法二：∵α為第二象限角，sinα=,∴cosα=.∵β為第一象限，cosβ=,∴sinβ=.故sin2α=2sinαcosα=,cos2α=1-2sin2α=,sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=-,cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=-,∴tan(2α-β)=.返回下目錄若si躺nα=推,si賞nβ=駕,且α,砌β為銳丈角,求α+孝β的值.【分析】欲求α+游β,先求α+偷β的一礦個(gè)三砌角函忍數(shù)值,再由α,槐β的范腿圍確題定出α+油β的值.考點(diǎn)3給值東求角篩問(wèn)題【解析】∵α,故β為銳思角,且si辯nα=務(wù),si俗nβ=貍,∴co絞sα=企,co壁sβ=同.∴co漆s(事α+閥β)=co末sα伴co衫sβ殖-s朱in產(chǎn)αs節(jié)in碧β=魂.又α,租β均為夠銳角,∴擾0<α+懶β<π,掛∴α壩+β=宰.返回鑰目錄(1拖)通過(guò)犁求角或的某圣種三瀉角函篩數(shù)值錘來(lái)求桃角,在選凈取函釀數(shù)時(shí),可遵堆照下患列原槳?jiǎng)t:①已知脅正切幣函數(shù)飼值,選正陪切函神數(shù);②已知枝正、箭余弦禮函數(shù)宣值，腦選正梨弦或害余弦倍函數(shù)冬；若券角的原范圍構(gòu)是(0，)，選競(jìng)正、攤余弦挎皆可藥；若阻角的臉?lè)秶柺牵?，π），濱選余鋪弦較佛好；條若角努的范蟲圍是(覺(jué))，選暗正弦追較好.(2鉆)解這削類問(wèn)漠題的誕一般赤步驟君為:①求角理的某擺一個(gè)鋪三角慌函數(shù)壓值;②確定扯角的玩范圍;③根據(jù)摧角的疤范圍策寫出及所求洞的角.返回唉目錄已知0<栗α<飲,錦0<造β<執(zhí),且3s嫩in罷β=棋si熱n(公2α劣+β沿),種4t趁an=1權(quán)-t惕an2,求α+到β的值.返回端目錄由4t仆an肝=1緞-嗓ta賓n2,得由3s佩in［(α+察β)福-α］=s省in［(α+執(zhí)β)賊+α］,得ta醫(yī)n(潮α+利β)=巷2t狡an營(yíng)α,行∴t埋an擦(α朱+β伐)=床1.又∵0<容α<美,虧0<耐β<啟,∴0嬸<α+辯β<稀,∴α+過(guò)β=糾.返回引目錄1.巧用韻公式山變形:和差艷角公漢式變矮形:ta把nx伸±t裹an牧y=t魂an丹(x憲±y調(diào))·遞(1拴t痛an茶x·錯(cuò)ta禮ny低);倍角掩公式懼變形:降冪姐公式co促s2α=殿,因si襲n2α=講;配方厚變形酷：1±業(yè)si第nα叉=（si咸n毯±co殲s）2,1濃+c偷os恭α=忙2c訂os2,1襖-c邊os伏α=縱2s鐮in2.2.利用察輔助弦角公絞式求肚最值迅、單薄調(diào)區(qū)杰間、軋周期.y翻=as吉in園α+御bc報(bào)os幕α=si丹n(陡α+具φ)其中ta狡nφ=有：蠶≥|y蓬|.返回歪目錄3.重視紋三角喊函數(shù)喘的“材三變候”：獸“三桶變”只是指謀“變煉角、禮變名繼、變穗式”誕；變丑角為冠：對(duì)呆角的摸分拆冰要盡蒸可能封化成揮同名另、同起角、框特殊選角；殖變名臉：盡伴可能懲減少世函數(shù)域名稱讓；變槐式：游對(duì)式粗子變扭形一房誠(chéng)般要副盡可絲式能有僅理化刺、整乳式化主、降分低次壩數(shù)等.在解量決求售值、帝化簡(jiǎn)行、