§.幾何證明選講

課標(biāo)版理數(shù)§12.1幾何證明選講1.平行線截割定理(1)平行線等分線段定理及其推論(i)定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段①相等

,那么在其知識(shí)梳理他直線上截得的線段也②相等

.(ii)推論1:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.(iii)推論2:經(jīng)過梯形一腰的③中點(diǎn)

,且與底邊④平行

的直線平分

另一腰.(2)平行線分線段成比例定理及其推論(i)定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段⑤成比例

.(ii)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的

對(duì)應(yīng)線段⑥成比例

.2.相似三角形(1)相似三角形的判定(i)判定定理a.⑦兩角

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.b.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角⑧相等

的兩個(gè)三角形相似.c.三邊⑨對(duì)應(yīng)成比例

的兩個(gè)三角形相似.(ii)預(yù)備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相

交,所構(gòu)成的三角形與⑩原三角形

相似.(iii)直角三角形相似的特殊判定斜邊與一條

直角邊

對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.(2)相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于

相似比

,面積比等于

相似比的平方

.(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上

射影

的

比例中項(xiàng)

;兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的

比例中項(xiàng)

.3.圓周角定理(1)圓周角:頂點(diǎn)在

圓周上

且兩邊都與圓相交的角.(2)圓周角定理:圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的

一半

.(3)圓周角定理的推論(i)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也

相等

.(ii)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是

直角

;90°的圓周角所對(duì)的弦是

直徑

.4.圓的切線(1)直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)直線到圓心的距離d與圓的半徑r的關(guān)系相交兩個(gè)d

<

r相切一個(gè)d

=

r相離無d

>

r(2)切線的性質(zhì)及判定定理(i)切線的性質(zhì)定理:圓的切線

垂直于

經(jīng)過

切點(diǎn)

的半徑.(ii)切線的判定定理:經(jīng)過半徑的

外端

并且

垂直

于這條半徑的

直線

是圓的切線.(3)切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長

相等

,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.5.弦切角(1)弦切角:頂點(diǎn)在

圓

上,一邊與圓

相切

、另一邊與圓相交的角.(2)弦切角定理及推論(i)定理:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的

圓周角

.(ii)推論:同弧或等弧所對(duì)的弦切角

相等

,同弧或等弧所對(duì)的弦切角與圓周角

相等

.6.與圓有關(guān)的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理

弦AB、CD相

交于圓內(nèi)點(diǎn)P(1)PA·PB=

PC·PD

;(2)△ACP∽

△DBP

(1)在PA、

PB、PC、PD

四條線段中,知

三可求一;(2)

求弦長及角切割線定理

PA切☉O于A,

PBC是☉O的

割線(1)PA2=

PB·PC

;(2)△PAB∽△

PCA(1)在PA、

PB、PC中,知

二可求一;(2)

求AB、AC割線定理

PAB、PCD是

☉O的割線(1)PA·PB=

PC·PD

;(2)△PAC∽△

PDB(1)在PA、

PB、PC、PD

中,知三可求

一;(2)應(yīng)用相

似求AC、BD7.剪圓內(nèi)足接四骨邊形(1磚)圓棗內(nèi)接畢四邊貴形性貓質(zhì)定殖理:(i洽)圓宣的內(nèi)房誠接四疾邊形判的對(duì)束角互補(bǔ).(i遺i)銜圓內(nèi)溉接四某邊形架的外蛙角等宜于它苗的內(nèi)置角的傷對(duì)角江.(2賀)圓嘆內(nèi)接四四邊桑形判們定定席理及逼推論(i恰)定料理:象如果塌一個(gè)蚊四邊廈形的招對(duì)角互補(bǔ),那遺么這手個(gè)四破邊形晉的四份個(gè)頂聽點(diǎn)共圓塞.(i肅i)層推論題:如憂果四炊邊形雪的一臨個(gè)外舉角等貫于它算的內(nèi)較角的俯對(duì)角濫,那存么這惰個(gè)四狠邊形四的四個(gè)絞頂點(diǎn)紙共圓騾.1.充如圖內(nèi),PA腸B,PC分別爸是圓O的割輪線和臂切線謙(C為切邊點(diǎn))泊,若PA=AB=3慕,則PC的長為(衫)A.新6B.像6問C.論3D.群3答案苦C古由切搞割線琴定理慢得PC2=PA·PB=3×6=卸18輸,故PC=3,故到選C虹.2.惑如圖士,從違圓O外一幣點(diǎn)P引圓O的切誼線PA和割農(nóng)線PB降C,已堤知PA=2,PC=4儉,圓心O到BC的距守離為,則棵圓O的半責(zé)徑為.答案茄2解析香取BC的中模點(diǎn)M,連只結(jié)OM,OB,則OM⊥BC.由舊切割躍線定終理知PA2=PB·PC,故PB=2粗,所疤以BC=2焦.因峰為在拘Rt巡壽△OM管B中,BM=1姨,OM=,所價(jià)以O(shè)B=2源.3.柔如圖角,已膀知PA是圓O的切南線,齡切點(diǎn)獲為A,PB渠C為圓O的割幻玉線,床且過肯圓心O,PA=,PB=1臟,則練圓O的半萍徑r=,∠C=.解析PA為切鴨線,PB程C為割破線,焰則有PA2=PB·PC,即彩3=功1×(1村+2r),鋸則r=1惰.連結(jié)OA,則OA⊥PA,又OA=1封,OP=2殃,則超∠AO樓B=6揪0°.因巴為OA=OC,所濕以∠C=∠OA星C=3謎0°.答案滔1;據(jù)30°4.鋤如圖傅,PA與圓O相切棕于A,PC見B為圓O的割唉線,趣并且器不過剪圓心O,已質(zhì)知∠BP轎A=30°,PA=2,PC=1方,則鵲圓O的半浮徑等獸于.答案抬7解析斧由PA2=PC·PB,得PB=1天2,市連結(jié)OA,交PB于D,并貸反向迷延長OA,交油圓O于點(diǎn)E.在簡直角歲三角復(fù)形AP返D中可纏以求狗得PD=4述,DA=2撤,故CD=3梅,DB=8騾.記稀圓O的半徑仍為R,由頂于ED·DA=CD·DB,所魄以(艇2R-2遼)×2=宅3×8,爸解得R=7京.5.崖如圖剩,在萄△AB嚷C中,D是AC的中錫點(diǎn),E是BD的中賠點(diǎn),鞭延長AE交BC于F,則=.答案解析厚過蝴點(diǎn)E作BC的平階行線吳交AC于點(diǎn)M,可宏知M為DC的中豎點(diǎn),供故=,=,∴=,∴=.典例閑1甘(布20歪14壁廣東瞧,1說5,森5分色)如模圖,飛在平差行四掘邊形AB含CD中,量點(diǎn)E在AB上且EB=2AE,AC與DE交于協(xié)點(diǎn)F,則=.答案氏9解析瞧依豪題意春得△CD烤F∽△AE迫F,由EB=2AE可知AE∶CD=1儉∶3喝.故=9減.典例題組相似亂三角確形的珍判定欠及性諒質(zhì)判定燥兩個(gè)塌三角貫形相愚似的講幾種賊方法季:①嗓兩角雖對(duì)應(yīng)叮相等儉,兩帳三角螞形相史似;例②兩剪邊對(duì)應(yīng)仁成比理例且糟夾角達(dá)相等藏,兩事三角霞形相駕似;酬③三蒜邊對(duì)宮應(yīng)成弱比例孝,兩喝三角恐形相種似.1-仆1遇如圖處所示潔,在涉△AB乒C中,AD為BC邊上達(dá)的中送線,F為AB上任岔意一脖點(diǎn),CF交AD于點(diǎn)E.求隙證:AE·BF=2DE·AF.在△BC堪F中,D是BC的中逗點(diǎn),DN∥BF,∴DN=BF.∵DN∥AF,∴宅△AF著E∽△DN販E,∴=.又DN=BF,∴=,即AE·BF=2DE·AF.證明筍過盯點(diǎn)D作AB的平看行線DM交AC于點(diǎn)M,交FC于點(diǎn)N.典例躬2希(令20蔑14悠課標(biāo)運(yùn)Ⅰ,疤22準(zhǔn),1鏟0分怒)如搜圖,擔(dān)四邊窮形AB繞CD是☉O的內(nèi)涼接四盛邊形肺,AB的延須長線云與DC的延泥長線節(jié)交于美點(diǎn)E,且CB=CE.(1忌)證勵(lì)明:領(lǐng)∠D=∠E;(2滾)設(shè)AD不是板☉O的直膚徑,AD的中攤點(diǎn)為M,且MB=MC,證弱明:詳△AD漠E為等海邊三角形谷.有關(guān)綠圓的扔定理殿的應(yīng)販用解析顯(1疤)證水明:努由題襲設(shè)知A,B,C,D四點(diǎn)咳共圓游,所撫以∠D=∠CB晃E.由已只知得傾∠CB熊E=∠E,故梨∠D=∠E.(2鴨)設(shè)BC的中針點(diǎn)為N,連違結(jié)MN,則趨由MB=MC知MN⊥BC,故O在直命線MN上.又AD不是特☉O的直尼徑,M為AD的中析點(diǎn),轟故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故忍∠A=∠CB肯E.又∠CB請(qǐng)E=∠E,故羽∠A=∠E.由唉(1什)知怠,∠D=∠E,所迅以△AD丟E為等禁邊三訊角形奔.相交砍弦定鄰理、粘切割寧線定釣理主鹿要是庸用于晃與圓變有關(guān)貼的比嫂例線乎段的由計(jì)算踐與證組明.解決腦問題朽時(shí)要胞注意鞋相似城三角衡形知找識(shí)及沈圓周絡(luò)角、行弦切荒角、綿圓的毫切線幅等相脖關(guān)知識(shí)凡的綜貧合應(yīng)必用.2-絲式1象如圖鬼,已鼠知AP是☉O的切葡線,P為切翻點(diǎn),AC是☉O的割詠線,偶與☉O交于B、C兩點(diǎn)晚,圓會(huì)心O在∠PA鹿C的內(nèi)奧部,輛點(diǎn)M是BC的中孩點(diǎn).(1湊)證見明:A,P,O,M四點(diǎn)正共圓良;(2奇)求閉∠OA倍M+∠AP冷M的大盾小.解析陳(1澇)證深明:衛(wèi)連結(jié)OP、OM.因?yàn)锳P與☉O相切明于點(diǎn)P,所膠以O(shè)P⊥AP.因?yàn)镸