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文檔簡介
§12.8二階常系數(shù)齊次線性微分方程上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁
方程ypyqy0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程其中p、q均為常數(shù)
如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解那么yC1y1C2y2就是它的通解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.
特征方程及其根
特征方程的求根公式為下頁二階常系數(shù)齊次線性微分方程
方程ypyqy0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程其中p、q均為常數(shù)
有兩個不相等的實(shí)根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2i
yex(C1cosxC2sinx)下頁特征方程的根與通解的關(guān)系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情況有兩個相等的實(shí)根
r1r2
第一步寫出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的兩個根r1、r2
第三步根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況,寫出微分方程的通解.
求y+py+qy=0的通解的步驟:
下頁有兩個不相等的實(shí)根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2i
yex(C1cosxC2sinx)特征方程的根與通解的關(guān)系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情況有兩個相等的實(shí)根
r1r2
下頁有兩個不相等的實(shí)根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2i
yex(C1cosxC2sinx)特征方程的根與通解的關(guān)系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情況有兩個相等的實(shí)根
r1r2
因此微分方程的通解為yC1exC2e3x
例1
求微分方程y2y3y0的通解
解微分方程的特征方程為r22r30特征方程有兩個不相等的實(shí)根r11
r23即(r1)(r3)0
下頁有兩個不相等的實(shí)根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2i
yex(C1cosxC2sinx)特征方程的根與通解的關(guān)系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情況有兩個相等的實(shí)根
r1r2
特征方程有兩個相等的實(shí)根r1r21
例2
求方程y2yy0的通解
解微分方程的特征方程為r22r10
即(r1)20
因此微分方程的通解為yC1exC2xex即y(C1C2x)ex下頁通解形式r22r50
特征方程的根為r112i
r212i
是一對共軛復(fù)根
因此微分方程的通解為yex(C1cos2xC2sin2x)
例3
求微分方程y2y5y0的通解
有兩個不相等的實(shí)根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2i
yex(C1cosxC2sinx)特征方程的根與通解的
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