高二數(shù)學(xué)必修五導(dǎo)學(xué)案：一元二次不等式及其解法

3.2.1一元二次不等式及其解法（一）

**學(xué)習目標**

1.理解一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)之間的關(guān)系;

2.掌握圖象法解一元二次不等式的方法。

3.掌握含有字母系數(shù)的不等式的解法。

**要點精講**

1.設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax?+Zu+c=O（aN0）的兩根為玉、%且玉4%2,

△=4ac,不等式的解的各種情況如下表:

A>0A=0A<0

y=ax2+/?x+cy=ax2+bx+cy二=ax1++c

二次函數(shù)

廿ILu.

y=ax2+bx+c

(?>0)的圖象

一元二次方程

有兩相異實根有兩相等實根

ax2+bx+c=0b

%1,x(%1<x)無實根

（a>0的根22

ax2+0x+c>0b)

VX］或X〉/}<Jexw---R

(a>0)的解集2a

ax1+bx+c20

^x\x<xi^x>x2^RR

3>o)的解集

ax1+Z?x+c<0

{xjXj<x<x2}00

(a>0)的解集

ax2+/?x+c<0b

[x\x]<x<x21?Xx=-?--0

(〃>0)的解集2a

a<0時，不等式兩邊同乘以-1,轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的標準一元二次不等式

0ftz>0[a=b=0

2.若辦2+bx+c>0的解集是R,貝火或4

A<0[c>0

3.若以2+法+。>0的解集是。，則1或1

A<0c<0

**范例分析**

例1.(1)不等式/+21-15<0的解集是.；

(2)不等式―一+3%+2<61-2的解集是.；

(3)不等式―一+2》+420的解集是；

4

(4)不等式(2%+1)(%-3)>3,+2)的解集是

例2.已知關(guān)于x的不等式,zu?+2》+6〃?>0

⑴若不等式的解集為｛x12<x<3｝,求實數(shù)加的值;

⑵若不等式的解集為“|xH-工｝,求實數(shù)〃?的值;

m

⑶若不等式的解集為R,求實數(shù)機的取值范圍；

(4)若不等式的解集為①，求實數(shù)m的取值范圍。

例3.解關(guān)于x的不等式:

(l)x2一(。+。2)工+。3>0(2)a(x-a)(x+2d)<0

例4.解關(guān)于x的不等式：2x2+ax-a<0o

規(guī)律總結(jié)

1.解一元二次不等式的步驟

（1）判號：檢查二次項系數(shù)。是否為正，若為負值，則利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為正值；

（2）求根：計算判別式△,求出相應(yīng)方程的實數(shù)根；

（3）標根：在數(shù)軸上標出所得的實數(shù)根（注意兩實數(shù)根的大小順序，特別是當實數(shù)根中含

有字母系數(shù)時），并畫出開口向上的拋物線的示意圖；

（4）寫解集：根據(jù)示意圖及其一元二次不等式的幾何意義，寫出解集。

2.當一元二次不等式的二次項系數(shù)含有字母系數(shù)時，不能忽略二次項系數(shù)為零的特殊情形。

3.不等式的解要寫成解集的形式，即用集合或區(qū)間表示.

**基礎(chǔ)訓(xùn)練**

一、選擇題

I.在下列不等式中，解集為。的是()

(A)2X2-3X+2>0(B)X2+4X+4<0

(C)4-4x-x2<0(D)-2+3x-2x2>0

2.集合A={xk2-3x—io<o,xeZ},8={耳2/—x—6〉0,xeZ},則的子集

有()

A.15個B.16個C.7個D.8個

3.若不等式or?+區(qū)+2>。的解集是{x|-g<,則a-b=()

(A)-4(B)14(C)-10(D)10

□□□

4.若關(guān)于1的不等式1:解是1或

(D)或

5.設(shè)。<一1,則關(guān)于/的不等式<。的解集是()

a

(A){x\x<a^Lx>—}(B){x|x>a](C){x\x>a^ix<—}-(D){x|x<—}

aaat

二、填空題

6.若/(x)=x2-ar+l有負值，則a的取值范圍是。

7.在R上定義運算<8)：xS)y=x(l—y),則不等式,(x-l)(8)(x+l)<—2的解集為

8.不等式a?-灰+。>0的解集是(_!,2),對于系數(shù)。、b、c有下列結(jié)論

2

(1)a>0(2)b>0(3)c>On(4)a+b+c>0(5)a-b+c>0,

其中正確結(jié)論的序號是.

三、解答題

9.解下列不等式：

(l)x2—7x+12>0；(2)—x2—2x+3^0；

(3)x2—2x+l<0；(4)x2—2x+2<0o

10.設(shè)ao-解關(guān)于光的不等式〃％+62(1-力之[5+。(1一1)了。

四、能力提高

11.設(shè)k￡R,xi,X2是方程X?—2kx+l—k2=0的兩個實數(shù)根，則X；+x；的最小值為(C)

A—2B.OC.1D.2

12.解不等式：2ax?-2ax+a+3K0。

3.2一元二次不等式及其解法(一)

例1.(1){M-5<x<3}；(2){x[x<T或x>l}；(3)R；(4)。。

2

例2.(1)2,3是方程〃優(yōu)？+2x+6根=0的兩個實根，且加<0,得加=一《；

得加邛;

(2)〃z>0且A=4-24加2=0,

6

(3)m>0且A=4-24〃2?<0,得o<根<；

6

得一噲

(4)加<0且A=4-24/??<0,<m<0o

6

例3.解：⑴九2—(Q+q~)x+Q"=(尤—>0

因為Q—片=。。—。)，對參數(shù)。進行分類討論:

①若4=0,則不等式的解集為卜卜工0｝；

②若4=1,則不等式的解集為｛x|xHl｝;

③若a<0或a>l,則不等式的解集為或x<a卜

④若0<。<1,則a>4,不等式的解集為｛小>a或"寸；

(2)①若,a=0,則不等式的解集為0；

②若a>0,則不等式的解集為｛乂一2。<》<。｝；

③若a<0則不等式的解集為｛x\x>_2a或v<a｝；

評注：若對參數(shù)進行分類討論，其結(jié)果應(yīng)對參數(shù)分類敘述，不可將各類結(jié)果求并集，為了表

述簡潔明了，可把其解的結(jié)構(gòu),一樣的相同參數(shù)合，在一起。

例4.解：A=a1+8a=a(a+8)

(1)當A>0,即。<一8或a>0時，不等式的解集為

—a—+8?！猚i+JcT+8r

X-----------<x<

44

(2)當△=(),即。=一8或。=0時，不等式的解集為

(3)當△<(),即—8<av0時，不等式的解集為0。

**參考答案**

1?5DBCCA

6.。＞2或av—2；提示：八〉。。

7.{x/x<>2}

一3

8.(3)(5)；提示：a<O,h=—a,c=-ao

9.答案：(1)卜|%<3或丫>4}：(2){x|-3<x<1}；(3)0；(4)弧

1.0.解：移項整理得(a—/?)2(爐—x)〈o,因為a。/,,所以O(shè)WxWl。

11.C；

10.解：△=—4a(a+6),

①若aNO,則不等式的解集