浙江省杭州市文海中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析

浙江省杭州市文海中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量、滿足(+2)·(－)=－6，且||=1，||=2，則與的夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．120°參考答案：C【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】首先通過展開已知等式得到與的數(shù)量積，然后由數(shù)量積公式求夾角．【解答】解：因為(+2)·(－)=－6，且||=1，||=2，展開得，即1﹣8+=﹣6，所以=1，所以與的夾角余弦值為，所以與的夾角為60°；故選C．【點評】本題考查了平面向量的運算以及數(shù)量積公式的運用；屬于基礎(chǔ)題．2.已知i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

A．第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：C3.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣，﹣） B．[，）C．（﹣，﹣]

D．（﹣1，﹣]參考答案：C【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范圍，結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有兩個整數(shù)解的實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，當a＞0時，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此時不等式f2（x）+af（x）＞0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當a=0時，f2（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此時不等式f2（x）+af（x）＞0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當a＜0時，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有兩個整數(shù)解，必須滿足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故選：C．4.已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，與軸的交點,位于軸的兩側(cè)，以線段為直徑的圓與軸交于和，則點所在曲線為

A．圓

B．橢圓 C．雙曲線

D．拋物線參考答案：B

【知識點】軌跡方程；二次函數(shù)的性質(zhì)．B5解析：結(jié)合二次函數(shù)的頂點坐標為()，根據(jù)題意可得，①，二次函數(shù)圖像和x軸的兩個交點分別為()和()，利用射影定理即得：，結(jié)合①先求出和之間的關(guān)系，代入①可得到，()所在的曲線為，表示橢圓．故選B.【思路點撥】確定以線段PQ為直徑的圓的圓心坐標，利用|CM|=|CQ|，及二次函數(shù)y=ax2+bx+c（ac≠0）圖象的頂點坐標，化簡，即可求得點（b，c）所在曲線．5.若當方程所表示的圓取得最大面積時，則直線的傾斜角（

）．A.

B.

C.

D.

參考答案：A略6.“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的………（

）充分非必要條件．

必要非充分條件．充要條件．

既非充分又非必要條件．參考答案：7.已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當x＞0時，f（x）=（2x﹣1）lnx，則曲線y=f（x）在點（﹣1，f（﹣1））處的切線斜率為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：B【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】利用切線的斜率是函數(shù)在切點處導數(shù)，求出當x＞0時，切線斜率，再利用函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵當x＞0時，f（x）=（2x﹣1）lnx，∴f′（x）=2lnx+2﹣，∴f′（1）=1∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴f′（﹣1）=﹣1，∴曲線y=f（x）在點（﹣1，f（﹣1））處的切線斜率為﹣1，故選：B．8.已知a，b，c是空間中三條不同的直線，α，β，γ為空間三個不同的平面，則下列說法中正確的是（）A.若α⊥β，a?α，a⊥β，則a∥αB.若α⊥β，且α∩β＝a，b⊥a，則b⊥αC.若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，則a∥b∥cD.若α∩β＝a，b∥a，則b∥α參考答案：A【分析】在A中，由線面平行的判定定理得a∥α；在B中，b與α相交、平行或b?α；在C中，a、b、c相交、平行或異面；在D中，b∥α或b?α．【詳解】解：a，b，c是空間中三條不同的直線，α，β，γ為空間三個不同的平面，知：在A中，若α⊥β，a?α，a⊥β，則由線面平行的判定定理得a∥α，故A正確；在B中，若α⊥β，且α∩β＝a，b⊥a，則b與α相交、平行或b?α，故B錯誤；在C中，若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，則a、b、c相交、平行或異面，故C錯誤；在D中，若α∩β＝a，b∥a，則b∥α或b?α，故D錯誤．故選：A．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力．9.點為雙曲線：和圓：的一個交點，且，其中為雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.已知雙曲線(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線的離心率為e=，若雙曲線的左支上有一點到右焦點F2的距離為18，N為MF2的中點，O為坐標原點，則|NO|等于A．B．1C．2

D．4參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列{an}前n項和為Sn.若m>1,m∈N且,則m等于____________.參考答案：1012.已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），對任意x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，則不等式的解集為

．參考答案：（1，+∞）【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】令g（x）=，利用導數(shù)研究其在R上的單調(diào)性即可得出．【解答】解：令g（x）=，則g′（x）==＞0，∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，而不等式化為：＞，∴2x﹣1＞x，解得x＞1，∴不等式的解集為（1，+∞）．故答案為：（1，+∞）．【點評】本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．13.在中，若，則角B= 。參考答案：【知識點】同角三角函數(shù)關(guān)系；余弦定理的應(yīng)用.

C2

C8

或

解析：把，代入已知等式得：，又，所以角B=或.【思路點撥】把余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系，代入已知等式得，又，所以角B=或.14.已知函數(shù)(為奇函數(shù),且函數(shù)的圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）（）.解析：（Ⅰ）．……………3分因為為奇函數(shù)，所以，又，可得所以，由題意得，所以．故．因此．

……………6分（Ⅱ）將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，所以．……………9分當（），即（）時，單調(diào)遞增，因此的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．……………12分

略15.如圖，AB是半圓O直徑，BAC=30o。BC為半圓的切線，且BC=4，則點O到AC的距離OD=

．參考答案：316.已知，用秦九昭法計算，其中乘法的次數(shù)是

．參考答案：5由已知，得，易知計算f(5)共乘了5次.

17.的值為_________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.學校為了了解A、B兩個班級學生在本學期前兩個月內(nèi)觀看電視節(jié)目的時長，分別從這兩個班級中隨機抽取10名學生進行調(diào)查，得到他們觀看電視節(jié)目的時長分別為（單位：小時）：A班：5、5、7、8、9、11、14、20、22、31；B班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35．將上述數(shù)據(jù)作為樣本．（Ⅰ）繪制莖葉圖，并從所繪制的莖葉圖中提取樣本數(shù)據(jù)信息（至少寫出2條）；（Ⅱ）分別求樣本中A、B兩個班級學生的平均觀看時長，并估計哪個班級的學生平均觀看的時間較長；（Ⅲ）從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過11的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過11的數(shù)據(jù)記為b，求a＞b的概率．參考答案：【考點】莖葉圖；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（Ⅰ）作出莖葉圖．（II）計算A、B班樣本數(shù)據(jù)的平均值，比較即可得出結(jié)論；（Ⅲ）由A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個；利用列舉法求出從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個的基本事件數(shù)，計算對應(yīng)的概率．【解答】解：（Ⅰ）莖葉圖如下（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）：從莖葉圖中可看出：①A班數(shù)據(jù)有集中在莖0、1、2上，B班數(shù)據(jù)有集中在莖1、2、3上；②A班葉的分布是單峰的，B班葉的分布基本上是對稱的；③A班數(shù)據(jù)的中位數(shù)是10，B班數(shù)據(jù)的中位數(shù)是23．（Ⅱ）A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(5+5+7+8+9+11+14+20+22+31)=13.2小時；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(3+9+11+12+21+25+26+30+31+35)=20.3小時．因為，所以由此估計B班學生平均觀看時間較長．（Ⅲ）A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過11的數(shù)據(jù)a有6個，分別為5，5，7，8，9，11；B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過11的數(shù)據(jù)b有3個，分別為3，9，11．從上述A班和B班的數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個，記為（a，b），分別為：（5，3），（5，9），（5，11），（5，3），（5，9），（5，11），（7，3），（7，9），（7，11），（8，3），（8，9），（8，11）（9，3），（9，9），（9，11），（11，3），（11，9），（11，11）共18種，其中a＞b的有：（5，3），（5，3），（7，3），（8，3），（9，3），（11，3），（11，9），共7種．故a＞b的概率為P=．19.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)(Ⅰ)當時，求函數(shù)的最大值；(Ⅱ)令（），其圖象上存在一點，使此處切線的斜率，求實數(shù)的取值范圍；(Ⅲ)當，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．參考答案：(Ⅰ)依題意，的定義域為，當時，，……2分由，得，解得由，得，解得或，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；所以的極大值為，此即為最大值……4分(Ⅱ)，則有在上有解，∴≥，

所以當時，取得最小值……………8分(Ⅲ)方法1由得，令，令，∴在單調(diào)遞增，……………10分而，∴在，即，在，即，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，……………12分∴極小值=,令，即時方程有唯一實數(shù)解.14分方法2：因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，設(shè)，則令，因為所以（舍去），，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，取最小值.

……………10分若方程有唯一實數(shù)解，則必有即所以因為所以……………12分設(shè)函數(shù)，因為當時，是增函數(shù)，所以至多有一解.∵，∴方程(*)的解為，即，解得………14分20.已知拋物線，過點(－1,0)的直線與拋物線C相切，設(shè)第一象限的切點為P.(Ⅰ)證明：點P在x軸上的射影為焦點F；(Ⅱ)若過點(2,0)的直線l與拋物線C相交于兩點A，B，圓M是以線段AB為直徑的圓過點P，求直線l與圓M的方程.參考答案：解：由題意知可設(shè)過點的直線方程為聯(lián)立得：，又因為直線與拋物線相切，則，即當時，直線方程為，則聯(lián)立得點坐標為又因為焦點，則點在軸上的射影為焦點設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立得：，則恒成立，，則，由于圓是以線段為直徑的圓過點，則，，則或當時，直線的方程為，圓的方程為當時，直線的方程為，圓的方程為

21.已知過點(0，1)的直線l與曲線C：交于兩個不同點M和N。求曲線C在點M、N處切線的交點軌跡。參考答案：解：設(shè)點M、N的坐標分別為(x1，y1)和(x2，y2)，曲線C在點M、N處的切線分別為l1、l2，其交點P的坐標為(xp，yp)。若直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1。由方程組，消去y，得，即(k?1)x2+x?1=0。由題意知，該方程在(0，+∞)上有兩個相異的實根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k?1)>0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。對求導，得，則，，于是直線l1的方程為，即，化簡后得到直線l1的方程為…(4)。同理可求得直線l2的方程為…(5)。(4)?(5)得，因為x1≠x2，故有…(6)。將(2)(3)兩式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得2yp=(3?2k)xp+2，而xp=2，得yp=4?2k。又由得，即點P的軌跡為(2，2)，(2，2.5)兩點間的線段（不含端點）。22.如圖，在底面是正方形的四棱錐中，面，交于點，是中點，為上一點．⑴求證：；⑵確定點在線段上的位置，使//平面，并說明理由．⑶當二面角的大小為時，求與底面所成角的正切值．參考答案：