常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

關于常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)第1頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)二、常數(shù)項級數(shù)的概念

三、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)四、級數(shù)收斂的必要條件第一節(jié)

第九章一、問題的提出

第2頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三一、問題的提出1.計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積第3頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三二、級數(shù)的概念1.級數(shù)的定義:(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項部分和數(shù)列級數(shù)的部分和第4頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2.級數(shù)的收斂與發(fā)散:第5頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三余項第6頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三解第7頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上第8頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三解已知級數(shù)為等比級數(shù)，第9頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三解第10頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三第11頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三

例4.判別級數(shù)的斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為第12頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三三、基本性質(zhì)結論:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.結論:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.第13頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三解第14頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三第15頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)3.在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.證:

將級數(shù)的前k項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當級數(shù)收斂時,其和的關系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第16頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)4.

收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:

設收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列為原級數(shù)部分和序列的一個子序列,推論:若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.因此必有例如機動目錄上頁下頁返回結束第17頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散第18頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三例6.判斷級數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.第19頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三四、級數(shù)收斂的必要條件

設收斂級數(shù)則必有證:

可見:

若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結束第20頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.事實上,假設調(diào)和級數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設不真.機動目錄上頁下頁返回結束第21頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三五、小結常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法第22頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三一、正項級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:定理部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.第23頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法第24頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).第25頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三解由圖可知第26頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).第27頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三證明第28頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三4.比較審斂法的極限形式:設?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1)當時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當時，若收斂,則收斂;(3)當時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;第29頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三證明由比較審斂法的推論,得證.第30頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三第31頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三解原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.第32頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三證明第33頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三收斂發(fā)散第34頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).兩點注意:第35頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三第36頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三解第37頁，講稿共40