平面問題的有限元法

關(guān)于平面問題的有限元法第1頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)

將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在節(jié)點處連結(jié)起來，構(gòu)成所謂“離散化結(jié)構(gòu)”。3.1結(jié)構(gòu)的離散化第2頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三離散化要注意:1.單元形狀的選擇:

平面問題的單元，按其幾何特性可分為兩類：以三節(jié)點三角形為基礎(chǔ)；以任意四邊形為基礎(chǔ)。

較高精度的三角形等參數(shù)單元；

運用非常廣泛的四邊形等參數(shù)單元。這兩類都可以增加節(jié)點也構(gòu)成一系列單元：首選三角形單元和等參數(shù)單元。第3頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三2.對稱性的利用

利用結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性：如結(jié)構(gòu)和載荷都對于某軸對稱，可以取一半來分析；若對于x軸和y軸都對稱，可以取四分之一來分析。3.單元的劃分原則

通常集中載荷的作用點、分布載荷強度的突變點、分布載荷與自由邊界的分界點，支承點都應(yīng)取為節(jié)點第4頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三單元的形狀和尺寸可以根據(jù)要求進行調(diào)整。對于重要或應(yīng)力變化急劇的部位，單元應(yīng)劃分得小些；對于次要和應(yīng)力變化緩慢的部位，單元可劃分得大些；中間地帶以大小逐漸變化的單元來過渡。單元的劃分原則

單元數(shù)量要根據(jù)計算精度和計算機的容量來決定。在保證精度的前提下，盡可能減少單元數(shù)量。不要把不同厚度或不同材料的區(qū)域劃分在一個單元里。第5頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三單元的劃分原則

根據(jù)誤差分析，應(yīng)力及位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角正弦成反比，所以單元的邊長力求接近相等。即單元的三（四）條邊長盡量不要懸殊太大。第6頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三4.節(jié)點的編號應(yīng)盡量使同一單元的節(jié)點編號相差小些，以減少整體剛度矩陣的半帶寬，節(jié)約計算機存儲。上圖，節(jié)點順短邊編號為好。第7頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三3.2三角形常應(yīng)變單元的位移模式和形函數(shù)首先以平面單元中最基本的三節(jié)點三角形單元為例，介紹有限元法。單元分析的步驟可表示如下：節(jié)點位移內(nèi)部各點位移→應(yīng)變應(yīng)力→→節(jié)點力

單元分析分為四步求出相鄰各量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,綜合起來,得出由節(jié)點位移求節(jié)點力的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

單元剛度矩陣位移模式第8頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三1.位移模式單元的若干個節(jié)點有基本未知量，即位移模式:單元內(nèi)任一點的位移表達式，假定為坐標的簡單函數(shù)。反映單元的位移分布形態(tài)，是單元內(nèi)的插值函數(shù)。在節(jié)點處等于該節(jié)點位移。位移模式可表示為：N為形態(tài)矩陣（形函數(shù)矩陣）第9頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三平面問題每個節(jié)點位移分量有兩個，所以整個單元有6個節(jié)點位移分量，即6個自由度。單元節(jié)點位移列陣:第10頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三三角形單元有6個自由度，內(nèi)部任一點的位移是由6個節(jié)點位移分量完全確定的，位移模式中應(yīng)含有6個待定系數(shù)，所以位移模式可取為：位移函數(shù)一般用多項式來構(gòu)造。位移模式:單元內(nèi)任一點的位移表達式，假定為坐標的簡單函數(shù)。反映單元的位移分布形態(tài)。第11頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三在彈性體內(nèi)，位移變化非常復(fù)雜。有限元法將整個彈性體分割成許多小單元，在每個單元內(nèi)采用簡單的函數(shù)來近似表達單元的真實位移，將各單元連接起來，便可近似表達整個彈性體的真實位移函數(shù)。這種化整為零、化繁為簡的方法，正是有限元法的精華。第12頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三假設(shè)節(jié)點i，j，m的坐標分別為(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)2.形函數(shù)第13頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三聯(lián)立求解左邊3個方程，得：其中A為三角形單元的面積注意：為了使得出的面積值不為負值，節(jié)點i,j,m的次序必須是逆時針。至于將那個節(jié)點作為起始點i則沒有關(guān)系。第14頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三同理，求解右邊的三個方程，得到a4，a5，a6，解得：i，j，m輪換整理后得：第15頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三其中Ni，Nj，Nm是坐標的線性函數(shù)，反應(yīng)了單元的位移形態(tài)，稱為形（狀）函數(shù)。第16頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三寫成矩陣形式式中：I二階單位陣，N形函數(shù)矩陣第17頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三3.三角形面積坐標定義：在三角形內(nèi)任一點P，向三個角點（節(jié)點）連線，將原三角形分割成三個子三角形，設(shè)子三角形的面積分別是：Ai，Aj，Am，則：即面積坐標定義為子三角形與原三角形面積之比；記為：P（Li，Lj，Lm）。第18頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三面積坐標的性質(zhì)：1.Li，Lj，Lm中只有兩個是獨立的。2.三角形三個角點處3.三條邊上i-j:Lm=0j-m:Li=0m-i:Lj=0形心處：推論：三角形內(nèi)一條平行于三角形任一邊的直線上的各點，具有相同的與該邊對應(yīng)的坐標值。第19頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三面積坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)換：（i,j,m)(i,j,m)因此：即三角形面積坐標就是三角形相應(yīng)的形函數(shù)。第20頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三所以，位移模式也可以用面積坐標表示為：(i,j,m)將面積坐標的表達式：寫成矩陣形式：求逆得：第1行展開為面積坐標性質(zhì)1，第2行和第3行展開即為局部的面積坐標和整體直角坐標的關(guān)系：第21頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三例題下圖為一平面應(yīng)力的直角三角形單元，直角邊長均為a,厚度為t，彈性模量為E,泊松比μ=0.3,求形函數(shù)。第22頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三1.單元應(yīng)變應(yīng)變矩陣為常量，單元內(nèi)應(yīng)變是常數(shù)3.3單元剛度矩陣第23頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三2.單元應(yīng)力S——稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣

應(yīng)用平面應(yīng)力問題的彈性矩陣：第24頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三

應(yīng)變矩陣為常量，單元內(nèi)應(yīng)力也是常數(shù)，相鄰單元的應(yīng)變與應(yīng)力將產(chǎn)生突變，但位移是連續(xù)的。第25頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三

能量轉(zhuǎn)換與守恒定律，是自然界基本的運動規(guī)律之一。實功原理：處于平衡狀態(tài)的可變形固體，在受外力作用而變形時外力對其相應(yīng)的位移所做的功（實功），等于積蓄在物體中的應(yīng)變能（實應(yīng)變能）。能量法的優(yōu)點：與坐標系的選擇無關(guān)，因而應(yīng)用極為廣泛。能量法與數(shù)學(xué)工具—變分法的結(jié)合，導(dǎo)出虛位移（虛功）原理，使得用數(shù)學(xué)分析的方法解決力學(xué)問題的理論得到發(fā)展而更趨完善。3.虛位移（功）原理第26頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三單元節(jié)點力列陣：單元節(jié)點虛位移列陣：節(jié)點力在虛位移所做的功：簡寫為：4.單元剛度矩陣第27頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三單元虛應(yīng)變：單元內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功（虛應(yīng)變能）：其中：t為單元厚度單元應(yīng)力：第28頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三單元剛度矩陣ke取決于單元的大小、方向和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標軸的平行移動而改變。對于三角形常應(yīng)變單元：單元剛度矩陣為對稱矩陣。第29頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三例題下圖為一平面應(yīng)力的直角三角形單元，直角邊長均為a,厚度為t，彈性模量為E,泊松比μ=0.3,求單元剛度矩陣。第30頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三理論力學(xué)中質(zhì)點、質(zhì)點系（剛體）的虛位移原理；材料力學(xué)中桿件的虛位移原理。彈性力學(xué)中的虛位移（虛功）原理：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當給與該物體微小位移時，外力總虛功在數(shù)值上等于變形體的總虛應(yīng)變能。虛：微小的、任意的、可能的，變分的思路實功是力在自己產(chǎn)生位移上所做的功，虛功是力在別的（人為的）因素產(chǎn)生的位移上做的功。所謂”虛“并不是虛無，而是可能、虛設(shè)的意思?！疤摗钡谋磉_：δ虛位移（虛功）原理：第31頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三3.4單元位移函數(shù)的選擇原則三角形常應(yīng)變單元簡單，精度較差，要提高精度：1.增加單元數(shù)目和節(jié)點數(shù)目；2.采用更高精度的單元。FEM中的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。所以當單元趨于很小時，即△x,△y→0時，為了使FEM之解逼近于真解，即為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件：1.位移模式必須能反映單元的剛體位移。單元位移包含兩部分：本單元的形變引起的位移；其他單元的形變引起的位移，即剛體位移。在位移函數(shù)中，常數(shù)項即提供剛體位移。2.位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。單元應(yīng)變包含兩部分：變量應(yīng)變和常量應(yīng)變。位移函數(shù)的一次項提供常量應(yīng)變。當單元→0時，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量—剛體位移和常量位移。

第32頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三3.位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性

使相鄰單元之間的位移保持連續(xù)，即受力后，相鄰單元在公共邊界上，即既不互相脫離，也不互相嵌入。使相鄰單元在公共節(jié)點處具有相同的位移。使單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)。位移函數(shù)取坐標的單值連續(xù)函數(shù)。滿足條件1、2的單元，稱為完備單元；滿足條件3的單元，稱為協(xié)調(diào)單元。第33頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三常采用“帕斯卡三角形”來選取位移模式代數(shù)多項式的形式。第34頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三按照帕斯卡三角形選擇位移模式的原則：1.多項式的階次及項數(shù)，由單元的節(jié)點數(shù)目和自由度數(shù)目來決定。保證多項式中的待定系數(shù)同單元的自由度數(shù)目相一致，以避免在確定待定系數(shù)時增加困難。2.當高次多項式只選取一部分項時，應(yīng)遵循“對稱性”原則，即取其最高次中的位置對稱的相應(yīng)項，以保證在各坐標軸方向上具有相同的精度。3.應(yīng)滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求。第35頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三3節(jié)點三角形單元：6節(jié)點三角形單元：4節(jié)點四邊形單元：第36頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三3.5整體分析

結(jié)構(gòu)的整體分析是將離散后的所有單元通過節(jié)點連接成原結(jié)構(gòu)，進行分析。分析過程是將所有單元平衡方程組集成整體平衡方程，引進邊界條件后求解整體節(jié)點位移向量。整體平衡方程：F=KδK為整體剛度矩陣設(shè)彈性體被劃分為N個三角形單元和n個節(jié)點，則結(jié)構(gòu)就有2n個自由度。K2n×2n第37頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三整體剛度矩陣的組裝：例：求下面結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣解：1）結(jié)構(gòu)離散，單元和節(jié)點編碼用三角形單元把該結(jié)構(gòu)分成4個單元，6個節(jié)點節(jié)點兩種編碼：一是節(jié)點總碼；二是節(jié)點局部碼，每個三角形單元的三個節(jié)點按逆時針方向的順序各自編碼為i，j,m。單元1：節(jié)點號碼1，2，3單元2：節(jié)點號碼2，5，3單元3：節(jié)點號碼5，6，3單元4：節(jié)點號碼2，4，5第38頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三2）分別寫出各個單元的分塊剛度矩陣：單元1：節(jié)點號碼1，2，3單元2：節(jié)點號碼2，5，3單元3：節(jié)點號碼5，6，3單元4：節(jié)點號碼2，4，53）組裝整體剛度矩陣利用單元分塊矩陣中，各子塊的節(jié)點和單元信息，直接把單元剛度的各元素送入總體剛度矩陣的相應(yīng)行列上，并同總體剛度矩陣該元素的已有值相加?！皩μ柸胱钡?9頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三組裝一般規(guī)則：1)當[Krs]中r=s時，該點被哪幾個單元所共有，則整體剛度矩陣中的子矩陣[Krs]就是這幾個單元的剛度矩陣中的子矩陣[Krs]e的相加。2)當[Krs]中r≠s時，若rs邊是組合體的內(nèi)邊，則整體剛度矩陣中的子矩陣[Krs]就是共用該邊的兩相鄰單元剛度矩陣中的子矩陣[Krs]e的相加。3)當[Krs]中r和s不同屬于任何單元時，整體剛度矩陣中的子矩陣[Krs]=[0]。第40頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三整體剛度矩陣的性質(zhì)：1）整體剛度矩陣是對稱矩陣。2）整體剛度矩陣每一個元素的物理意義：3）整體剛度矩陣的主對角線上的元素總是正的。4）整體剛度矩陣是一個奇異陣。只有排除剛體位移后，K才是正定的，其逆矩陣才存在。在F=Kδ中，令節(jié)點1在x方向的位移u1=1，而其余節(jié)點位移均為0，則：第41頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三5）整體剛度矩陣是一個稀疏陣。離散后結(jié)構(gòu)的任一節(jié)點，只和與它相連的元素發(fā)生聯(lián)系，所以K存在大量的零元素，而非零元素往往分布在主對角線的附近。帶形矩陣半帶寬：在半個斜帶形區(qū)域內(nèi)，每行具有的元素個數(shù)，用d表示。半帶寬d=（相鄰節(jié)點碼的最大差值+1）×2第42頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三半帶存儲：利用帶形矩陣的特點和矩陣的對稱性，計算機中可以只存儲上半帶的元素。在同一網(wǎng)格中，如果采用不同的編碼方式，則相應(yīng)的半帶寬也可能不同。應(yīng)采取合理的節(jié)點編碼方式（使相鄰節(jié)點碼盡可能小），以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)約計算機存儲容量。不同的編碼方式，相鄰節(jié)點的最大差值分別為4，6，8，半帶寬分別為10，14，18。第43頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三3.6等效節(jié)點載荷計算根據(jù)有限元法的思想，所有有關(guān)的量都要轉(zhuǎn)換為節(jié)點的量。結(jié)構(gòu)所受的載荷也必須轉(zhuǎn)換為等效的節(jié)點載荷。整體剛度方程中的載荷列陣F，是由彈性體全部單元等效節(jié)點力集合而成，而單元的等效節(jié)點力，是由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移植到節(jié)點上，再逐點加以合成求得。第44頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三第45頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三1.單元自重：下面用上述公式計算幾種常用載荷作用下的等效節(jié)點力。三角形單元i,j,m的厚度為t，重度為γ，面積為A，則體積力：節(jié)點力為：由形函數(shù)的性質(zhì)得：則：受自重載荷作用下的等效節(jié)點力為單元重量的1/3。第46頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三2.均布面力：三角形單元i,j,m的ij邊上作用有均勻的分布力，集度為：單元節(jié)點力為：由形函數(shù)性質(zhì)：把作用于ij邊上的均布面力按靜力等效平均分配到該邊兩端的節(jié)點上。第47頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三3.線性分布面力：三角形單元i,j,m的ij邊上作用有三角形分布表面力設(shè)j點表面力為0，i點集度為：4.集中力：集中力G作用與ij邊上作用總載荷的2/3分配給i點，1/3分配給j點。第48頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三整體剛度矩陣的奇異性，可以通過引入邊界約束條件來排除彈性體的剛體位移，以達到求解的目的。引用邊界條件后，待求節(jié)點未知量的數(shù)目和方程的數(shù)目可相應(yīng)的減少。3.7約束條件的處理引入節(jié)點位移最常用的方法有以下兩種：計算機常用的方法是，以某種方法引入已知的節(jié)點位移（包括零約束位移），而保持非常原有的數(shù)目不變，只是修正K和F中的某些元素，以避免計算機存儲做大的變動。第49頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三設(shè)已知u1=β1，u2=β3，則若已知節(jié)點i在y方向位移vi，則令K中的元素K（2i）（2i）為1，第2i行和第2i列的其余元素都為零。F中的第2i個元素則用位移vi的已知值代入，F(xiàn)中的其他各行元素都減去節(jié)點位移的已知值與原來K中這行的相應(yīng)元素的乘積。若已知節(jié)點i在x方向位移ui，則令K中的元素K（2i-1）（2i-1）為1，第2i-1行和第2i-1列的其余元素都為零。F中的第2i-1個元素則用位移ui的已知值代入，F(xiàn)中的其他各行元素都減去節(jié)點位移的已知值與原來K中這行的相應(yīng)元素的乘積。1.化1置0法第50頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三2.乘大數(shù)法將K中與已知節(jié)點位移相關(guān)的主對角線元素乘上一個計算機可接受的充分大的數(shù)，同時將F中的對應(yīng)元素換上已知節(jié)點位移與對角線元素及同一個大數(shù)的乘積。設(shè)已知u1=β1，u2=β3，則第51頁，講稿共59頁，2023年5月2日，星期三3.8有限元分析的實例有限元法的解題過程2.結(jié)構(gòu)的離散化。包括單元劃分、節(jié)點和單元編號、節(jié)點坐標計算。3.等效節(jié)點力的計算。按單元逐個進行分析，計算體積力、表面力和集中力的等效節(jié)點力，進行疊加，得到每個單元的等效節(jié)點力載荷。對每個節(jié)點，所有環(huán)繞該節(jié)點的單元節(jié)點力求和，得到整個結(jié)構(gòu)的節(jié)點力載荷列陣。1.力學(xué)模型的確定。根據(jù)工程實際情